Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 5
Текст из файла (страница 5)
и тр. д. Неопределенный интеграл от суммы (разности) дирЗФеренциалов равен сумме (разности) интегралов от каждого ди1р4еренциала в отдельности. 3 а м е ч а н и е. По поводу этих двух формул заметим следующее. е них входят неопределенные интегралы, содержащие каждый произвольное постоянное слагаемое. Равенства подобного типа понимаются в том смысле, что разность между правой и левой частями его есть постоянная. Можно понимать эти равенства и буквально, но тогда о д и н из фигурирующих в них интегралов перестает быть и р он з в о л ь н о й первообразной: постоянная в нем устанавливается после выбора постоянных в других интегралах.
Это важное замечание следует иметь в ви))у и впредь. П1. Если ГЛ. УЦ1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 2) Легко происПЕГрнравать мнагОЧЛЕи и в Обпсем виде (1П; 4) (111; 9) (Ш; 7) ( а,х" +а,хл-се... бал,х+ал) с(х= = аз ~хл с)к+а, ) хл ' ссх+... 1-ал !) х ссх+ал ~ с(х = аз а! ал-! - — ха+с+ — хл+... + — — х'-1-алх-1-С. (11, 1; 3, 2) л+1 л 2 3) ~ (2 + !)з (х == )г(ах +1 +бхз Г !) с(х- 8 12 = — х'+ — х'.1-2хз 4 х+ С. (пример 2) 7 5 4) ~(1+ )сх)сЫх= ) (!+4(сх+бх+4х)сх+хз) с(х= ! з = ~ ссх 1-4) хз ссх+6 ~ х ссх+4~х'с(х+ ~ х' с)х= 8-,'8з1 . х-г-аз ФЗхз+-хз+-хз+Г. (11, 1; 3, 2) 3 5 3 (х-1 1)(х' — 3) гхз+хз-Зх-3 5) — ссх= ) с(хЗх' " Зх' —.- ~ ~~-х+ — — — — — ~~ 4х=- ~" х (х-г- ~" )х- ~" —— ~3 3 ° .--3 ЗЗ ЗЗ 3 ° 1 1 1 — ~х зс(х — х'+ — х — !Вх+-+С.
(11, 1; 3, 2, 4) 6 3 х (х — 'гх)(1+'гх) ( х!/х-)!х з 3 )СХ ~ )1х з . ! сз 6 — 6 = ) хз ссх- ~ хз с)х= — хе --хе+С. (11; 3) 13 7 Ладим рад примеров на применение правила 1Н: г ссх 7) (а) ) — — =!и (х — а)-«С. х-а г всх (б) ) — =- )(х — а) х с(х(х-а)л .1 11, 1 1 1 1 (х — а) "+'+С- — +С, (Ш; 3) — )с+ 1 (!с — 1)(х — а)" 1 8) (а) ~ в)п тх с(х - --сов тх+С, Ол «о) 1 (б) ~ сов тх с)х — в!и тх ! С 1 (в) ~е — зхс!х — — — е зх 1С. 3 21 1 ). пеостеишие пеиемы вычислнгия "--.%аг -":" (а с) г Их 1 гх 1 х (б) ~ „=- =- агс гй-яС. 1+~ — ) (1П; б) 9) (а) (П1; 5) Првмеры на все правила: г(е«-1)(с~+1) 10) ) — Ых= ~ (ек« вЂ” е«41 — е «)Фх= е* 1 = — еж-е"+х+е «~-С.
(П, П1; 7, 2) 2 Разделав числитель на знаменатель, представим подюпегральное выражение в виде а Ьс аг) 1 с с схЧ-г( Отсюда искомый интеграл равен а Ьс-ж( — х+ 1и )сх-) 4-ьС. с с' (П, 1, П1; 2, 4) г2х' — Зх41 6 12) )! — ах= 5! ~гх-54 — !ат-х'-5«4 б!и )х+1! Ч С. х„) ! ц ~ Я ~ — ! Для дроби более общего вида 1 (х+ а)(х-~- Ь) можно указать, например, такой прием. Очевидно, (х+а)-(х-)-Ы=-а — Ь. Тогда имеем тождественно 1 1 (х+а)-(х+Ь) 1 (' 1 1 (х+а)(х+Ь) а-Ь (х ьа)(х+Ы а-Ь !гхч.Ь х+а~ Таким образом, 14) г(г 1 ~х-ьЬ - — -. 1п — -- -~ С. (х~-а)(х+ Ы а- Ь )х+а Интегрирование дроби со сложным знаменателем часто облегчается разложе- нием ее на сумму дробей с более простыми знаменателями.
Например, 1 1 1(1 1 х'-а' (х-а)(х-ьа) 2а (х — а хьа) поэтому (см. пример 7) (а)) [267 22 гл. щгп пвивоозиазнля езнкция В частности, з(х [ Вл ~х-3~ 15) (а) - — -- [ — — — — - — )п ~ — и С, х'-5х+б 1 (х — 2)(х-3) [х-2[ г)х 1 г(х 1 [2Х вЂ” 1~ (б) =. — — --- - )п — ( С. 4хз 1-4х-3 4 ~ 1)[ 3[ в [2хе3) Ах 16) ! - (при В'-АС- О).
.1 Ах'Ч-2ВХ-~-С Знаменатель следующим образом разлагается на вещественные множители: А(х — а) (х — ф), где -В- )В' — АС А А тогда, согласно примеру 14), полщая в нем а =- — ф, Ь = — а„получим Ах 1 Ах+В- [(В'-АС Ьз "; С'. Ахь+Вх+С 2[(Вз АС Ах+В-~- [ГВ5-АС Некоторые тригонометрические выршкеиия, после тех или иных элементар- ных преобразований, интегрируются татке при помощи простейших приемов. Очевидно, например, 1 Ч-сов 2иьх 1-соз2тх соь' тх- яп' тх = 2 2 откуда 1 ! 17) (а) [ соь'та г(х= — хч — яд2тх<-С, 2 4т (т; О) 1 1 (б) [ япз тх Ых =.
— х - — зш 2тх+ С. 2 4ль Аналогичным образом, имеем 1 яп тх соз пх =- — [ьш (зп+ я) х+ ял (т — и) х), 2 1 соз тх соь их = — [соз (т -; и) х щ соз (т — п) х), 2 1 япзихь)л лх= — [сох(ги п)х — с0$(т+и)х[. 2 Считая т я п и О, получим следующие интегралы: 1 1 18) (а) [яп тхсоь ихАХ=— с05(тз п)х- со5 (т п)х+С, 2(и1 Ч-п) 2(т — п) ! 1 (б) ~соьтхсоьлхФХ= зш (т";п)хт — яп(т-п)х+С, 2(т-~- и) 2(т-и) 1 1 (в) ~яптхявихг(х= — яп(т-я)хьш (тч л)х-(.С.
2(т — я) 2(тел) в !. ПРОствйлпие ПРиимы Вычисления В заключение рассмотрим немного болев сложный пример. гяп 2лх 19) (в) ) Лх (я-1, 2, 3, ...). япх Твк квк п я яп 2лх= 2,'(в!п2««х — в!п(2««-2)х).=.2в!ила,сов(2«« — 1)х, л=! л-! я то подинтегрвльнов выражение приводится к 2 2', сов(2/« — 1)х, и искомый ! интеграл будет равен " Ып(2(«-1)х 2 Д -! С. л=! 2««-1 Аналогично в!п (2л+ 1) х " яв 2)«х (б) «(х х+2 Д +С.
вых 2«« 268. Интегрирование путем замены переменной. Изложим один из сильнейших приемов для интегрирования функций — метод з а м е н ы переменной или подстановки. В основе его лежит следующее простое замечание: если известно, что ) «(г) а«г.=б(г) ! С, ) д(пл(х))го'(х) ««х = б(в(х)) 4 С. то тогда [Все фигурирующие здесь функции е(!), «о(х), «о'(х) предполагаются непрерывными.] Это прямо вытекает из правила дифференцирования сложной функции [981 — б(в(х)) = б'(в(х)) о!'(х) = д(в(х)) в'(х), сохраняет силу н при замене независимой переменной г на функцию «о(х) [106). Пусть требуется вычислить интеграл если учесть, что б'(г) =б(г).
(о же можно выразить и иначе, сказав, что соотношение Ыб(г) =я(г) дг 1268 ГЛ. УШ. ПЬРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию от х: «=о«(х), чтобы подннтегральное выражение представилось в виде Ях) «(х = я(с«(х))ш'(х) «(х, где к(«) — более удобная для интегрирования функция, ч д ), Тогда, по сказанному выше, достаточно найти интеграл ~~(«) «««= ««(«) Ф С, чтобы из него подстановкой «=ш(х) получить искомый интеграл.
Обыкновенно пишут просто ~Дх) ««х = ~ я(«) «««, (2) подразумевая уже, что в функции от «, которая представлена интегралом справа, произведена указанная замена. Найдем, например, интеграл ыпз х соз х ««х. Так как ««з(пх=созх«(х, то, полагая «=япх, преобразуем подннтегральное выражение к виду яп'хссах««х=яп'х««япх=«за««. Интеграл от последнего выражения вычисляется легко: «з,«« 4 Остается лишь вернуться к переменной х, подставляя ып х вместо «: «!и' х аш" х сок х ««х= — +С.
4 яп' х «1х; здесь подстановка «=яп х бьша бы непригодна именно вви««у отсутствия упомянутого множителя. Если попробовать выделить нз подинтегрального выражения, в качестве дифференциала новой переменной, множитель а(п х «(х нлн лучше — яп х ««х, то зто приведет к под- Обращаем внимание читателя на то, что при выборе подстановки «=«е(х), упрощающей подинтегральное выражение, нужно помнить, что в его составе должен найтись множитель ш'(х) ««х, дающий дифференциал новой переменной, ««[см.
(1)1. В предыдущем примере удача подстановки « = яп х обусловливалась наличием множителя соя х «(х = Й. В этой связи поучителен пример 25 Лак) Е Ь ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ становке е=соз х; так как остающееся выражение — яп' х= сока х — 1 этой подстановкой упрощается, то подстановка оправдана. Имеем Ев соха х яп'хе(х= ~ (ее — 1) еЕе= — — е.;С= — — соех РС. з ' з При некотором навыке в производстве подстановки можно самой переменной Е и не писать. Например, в интеграле яп' х соэ х ~Ех = ~ з(па хе( яп х мысленно рассматривают япх как новую переменную и сразу переходят к результату. Аналогично ах 'Е а"-х' х = агсяп — -> С - =- агс1Š— -- С. 9'"' ' '-~-а' а Подстановка Е=- здесь подразумевается.
а Читатель видит теперь, что правило П), 266, по существу, сводится к линейной подстановке Е=-ахчЬ: 4х а '1х (1+ )Ех) ~ Е'(ах г Ь) гух =- — ~ Е(ах Р Ь) Е(ах+ Ь) = — ~ Е'(Е) й. Иной раз подстановка применяется в форме, отличной от указанной. Именно, в подиитегрельное выражение Дх) Их непосредственно подставляют, вместо х, функцию х=р(Е) от новой переменной Е и получают в результате выражение Х(р(е))р'(е)е(е-й(е) ЕЕе. Очевидно, если в этом выражении произвести подстановку Е=ае(х), где ш(х) — функция, обратная для р(е)„то вернемся к исходному подинтегральному выражению е'(х)а(х. Поэтому, как и прежде, имеет место равенство (2), где справа, после вычисления интеграла, следует положить Е = га(х).
Для примера найдем интеграл 26 ГЛ. УН1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Если положить х=св (чтобы все корни «извлеклисьэ), то получим з )сх сэ )сх сг ссх бсв й и — = 6 ) — = 61 1 й — ) — ) = 6(с — згсгя с) ч С. в = ~1+с*= ~~ 31+с )= )Сх(1+ )Сх) Теперь остается перейти к переменной х по формуле с=)сх, и окончательно в в = 6(~ х — асс гя )сх) + С.
)сх(1+ )гх) Более интересен пример ] ~к:зи.. Разность квадратов под корнем (нз которых первый постоянен) подсказывает нам тригонометрическую подстановку х=агбпсе. Имеем )саг — х' = а соз с, ссх = а соз с й )~аг — х' сгх = аг ') созе С й. Но мы уже знаем интеграл а') созг с й = а' - с Ф - зш 21] Ф С г1 1 12 4 1267, (!7) (а)).
Для перехода к х подставляем с=агсгйп —; преобрах зование второго слагаемого облегчается тем, что а'. 1 . 1 4 2 2'' — зш 21=-азсп С асов С=-хна' — х'. Окончательно 1 о« ° х у'аг-хг «1х=-х)саг-хгз — агсзсп-ФС. 2 ' 2 а Уменье разыскивать выгодные подстановки создается упражнением. Хотя общих указаний по этому поводу дать нельзя, но отдельные частные замечания, облегчающие зто разыскивание, читатель найдет в следующем л'.
В канонических случаях подстановки будут просто указаны в курсе. ' Уместно указать, что и мм считаем иэменкгониниск между — о и а, а с между о л х — и —. Поэтому с=агсвсо —. 2 2 о 27 1 е ПРОстейшие цгиемы ВычислВния г хг(х хг 269. Првмеры. 1) (а) ~ е хг(х, б) ~ —, в) ~ 5(». ! +х' соз' х' (а) Решение.
Полагая г=х', имеем Ф.—.2»ИХ, так что 1 г 1 1 е х г(х=- ~ е! бг=- — 55+С= — е ч-С. 23 2 2 1 (б) У к а з а н и е. Та же подстановка. Олмевк — а»с!и х'+ С. В обоих случаях 2 интегралы имели вид 1 г и(»5)х г(х = — ~ и(хг) 4»5), 2 где И вЂ” удобная для внтегрироваиия функция; для таких интегралов естественна подстановка Г = хк Аналогично интегралы вида ~ я(хе)»5,1» — ~ И(хз) 5((»5) 1 3 берутся подстановкой г-хг И т.
Д. Под последний тип подкодит третий интеграл. 1 (а) Оимеш5 — ГИ хзхС. 3 2) ~(а»е+Дя»5(х (ди — 1). Решен и е. Мокше положить здесь г х*; но про ще сразу взять и=и»5-Ьб, ибо множитель хг(х лишь числовым коэффициентом отличается от 5(и 2»ХНх. Имеем, таким образом, 1 г 1 1 (е»54-б)я» Ых= — ~ ия Не= ият'ч-С= (а»5+ф)и г'+ С. ге) 2 (пи 1) 7 (ИЧ-1) 1пх г(х Ых У к а з а н и е. Все зги интегралы имеют вид и((п х) — - ~ к(Ы х)Ф1п х х и берутся подстановкой г = 1и х. 1 1 Отвене (а) -1пг х->С; (б) 1п !их+С; (в) — — -+С.
2 1и х 4) Интегралы вида Их фзш х) соз х ~(х, ~ к(соз х) зш х г/х ) и(!я х) СО5' Х берутся, соответственно, подстановками 5=-5ШХ, Я-СО5Х, и-!ИХ. 28 гл. чш. иинвоош ьзнля яункция Заметим, что всегда, когда предложенный интеграл имеет вид )'(.) (АУ'( ) Лх) 3 ~(х) ' так что вподинтегралыюм выражении числитель представляет собой двфференциал знаменателя, подстановка !=ах) сразу приволит к цели гй — -)п 111-ЬС=.1п 1)(х)1+С, с По этому образву имеем г гЬ1п х (б) ~ с1вх г(х= ~ — =-1и1япх)+С [ср. 4) (6)1„. мих г езх 1 гА(езх+1) 1 (в) ~ — г)х = ) = — 1и (еат -1 1) Ь С; езт.)-1 2 1 езх 1-1 2 Их г)х соат х (г) - ~ — =1п !!ах!+С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
