Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 6
Текст из файла (страница 6)
.3 япхсоах ~ гах б) Из последнего интеграла легко получаются два полезных интеграла: х 2 х — — =1и )٠— )+С; х х ~ 2 1и — соз— 2 2 Ах (а) яих (б) = — =1и ~1И~ — 'х+-)~+С. Ах ~ 2) х сов х, ~ л) 2 4 Например, ° соахг(х г г!г (а) ~ —, =- ~ --.
=агс1ИГ-ЬС-ашгиь!их+С; 1+япз х 1-ьгз гяпх гйи (б) ~!ах г(х= ~ . — Ах= — ~ — — 1п (и)+С.= — 1и !сов х~ 4С; " созх и Ах (в) Ах соз' х г ли А'зш'х-ЬВ'соа'х А'1азх+В' 2 А*взхВ' ! Ае 1 /А - — агсга- — -ЬС=- — агс!а ~ — 1ах~ 4С. АВ В АВ (В 5) (а) ~ —, (б) ~с!ихЫх, (в) ~ — Фх, (г) Решение. (а) Если положить г=-х-+1, то числитель 2хАх дает в точности й; интеграл сведется к Аг — =!п )!~+С=!и (ха~в!)+С.
г ! !. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Г)/агсгйх Г г 7) (а) ) г(х = ) )гагсгй х 4 агсгйх = - (агс!8 х) ' + с; 1+ к' 3 г е" г(х г г(ех (б) ) = ) =агс!йе"+С; езк+! (ех)г-~; 1 1 г(х г 1 1 ~ 1 (В) ~ гй — — =- — ) гй-4 — =!и соз — -~-С х хг х х ~ х (см.
4) (б)). Дадим теперь несколько примеров интегрирования выражений, содержащих двучлены вида а' — х', х'-ьа' и х' — а'. В этих случаях обычно бывает выгодно заменить х тригонометрической или гиперболической функцяей от новой переменной г, используя соотношения 1 ЯЛГГ4СОЗЗ !=1, 11-гйе !=БЕСЕ! соя~ г 1 сйз г - чйг г — 1, ! — !Ъх г = сй2 г г!х 8) (хъ~ ае)е а (г а' Подстановка: х — а !8Ге, г(х=- —, х" Ч-л'=., так что созэ г сом г нх 1Г 1 =-.— 3! соз' гг(г=- — (гьзт !созс)+С (см. 267, 17) (а)). (;..)-3 ' ы х Перейдем теперь к переменной х, полагая с =агс!8 — и выРажаяил ! и СОЗ ! х а через гй г = —. Окончательно с г(х ! х 1 х = — †.~- — агс !8 — 4С.
(х'+а')э 2а'х'+а' 2аз а Их 9) ~Гх' 2 а' Здесь удобнее применять гиперболическую подстановку. Останавливаясь для примера, на нижнем знаке, положим; х-а ей г (при хит О), их-азЬ ! йг, ")х' — а'= =аяй а Интеграл приведется просто к ~ ~(г-гч-С. Для перехода к х вспомним выражеяие обратной для гиперболического косинуса функции [49, 3)) — (-И ) 1и — Ч- ( ~ — ~ — 1 ЪС=!п(хч-'1Гх' — а')+С', )гх' — а' причем в постоянную С' мы включаем и слагаемое — !и а. г(х г(х г(х 10) (а), (б) ! (х-Ь") ' ("-")7' 1(.-") ' л л * Причем достаточно предположить г изменяющимся между — — и— 2 2 ГЛ.
ЧШ. ЦЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [2бй В данном случае одвнаково просто приводят к цели в тригонометричесная н гиперболическая подстановки. Для примера, во втором интеграле возьмем лип С ссс а СК С вг х=азес с, Их=— тогда х'-а'=а'св'с н Ссяг С СОЗ С .1 ",= .)' (т 1 Гсозссй 1 1 1 х . (х' — а")'" а'.! з!л" с и- 'з!и с [Схг - а' 1!) х [сиз-хб Подстановка: х=-аяп с, с(к=а сов ссй приводит этот внгеграл к такому [см. б) (а)): — = — !и (ск — )+С.
Но 1-сок с а- )'а'-х' !ив 2 з!пс х так что окончательно Сх ! и- [и -и! =-1л -!.С. х [Са'-х' х В заключение рассмотрим еще два примера интегрнроващщ путем замены переменной, где подстановка не столь естественна, как в предыдущих случаяк, но зато быстро ведет к цели. гсх !2) ~ — (и-б). [сх'- Ти положим )гхгч-и=с-х и примем с за новую переменную. при возведении в квадрат, х' в обеих частях можно опустить, и в результате с*-и 2С так что С'-а С'-с-и с'+и ")Схзии=.с — - =- — -, Фх-- - - с[с. 2С 2С 2Р Окончательно их С с(С вЂ” = ~ — =!и ~с(+С-1л )х+[Сх'+бс(ФС.
с [Ср. 9)) Их 13) (и х Ст). [С(хх - и)(р — х) Положим, х=-исоа' р-~-суз!и'!э~о р — 1, где р — новаяпеременвая;тогда 2) х-а=(су-и)з!пер, с[-х=(С[-а)созгу, ссх = 2(ф - и) зш р соз р сс(с. Таким образом, Г их Г !Сх — и =. 2 ~ сс(с = 2 р Ф С = 2 асс Сй ~/ — + С. [С('- )([)-.) Ф Ь ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ з1 яуо) 270. Интегрирование но частим.
Пусть и= у'(х) и е=фх) будут две функции от х, имеющие непрерывные производные и'=у'(х) и р'= =е'(х). Тогда, по правилу дифференцирования произведения, о(ие)= =и1звч-Е1ти или иле=11(ир) — рйи. Для выражения 1т(ие) первообразной, очевидно, будет ие; поэтому имеет место формула ) и ае =- ио — [ е с1и. (3) Эта формула выражает правило интегрирования по ч а с т я м. Оно приводит интегрирование выражения и т1р=ие' Их к интегрированию выражения р пи=оп' 1тх. Пусть, например, требуется найти интеграл ~ х сов х Ых. Положим, и=х, с1о=созхох, так что пи=Их, е=з1пх"., и, по формуле (3), хсозх1зх= ) х1зв1пх=хз1п х-) з1пхг1х=хз1пх+созх > С.
(4) х" Е1П Ьх лх, Х" 1П'" Х С1Х, ) х" сов Ьхдх, ~ х" е с1х и др., " Так как длл напп1х целей достаточно представить сов х 1ьт хоть одним способом в виде ие, то нет надобности писать наиболее общее выражение длк е, содержащее произвольную постоаинукь Это замечание слелует иметь в виду и апрель. Таким образом, интегрирование по частям позволило заменить сложную подинтегральную функцию хсовх на простую Е1п х. Попутно для получения р пришлось проинтегрировать выражение сов х 11х — отсюда и название: интегрирование по частям. Применяя формулу (3) к вычислению предложенного интеграла, приходится разбивать подинтегральное выражение на два множителя: и и с1е=р' 1зх, из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой части.
Нужно стараться, чтобы интегрирование дифференпдала с1е ие представляло трудностей и чтобы замена и на пинал наев совокупности влеклаза собой упрощение подинтегрального выражения. Так, в разобранном примере было бы явно невыгодно взять, скажем, х 1зх за е1р, а соз х за и. При некотором навыке нет надобности вводить обозначения и, р, и можно сразу применять формулу [ср. (4)). Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, 1211 зг ГЛ.
ЧШ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ .г;(мг))х= ~ и,1д~(л)=и~а)- ~'~е)й =ц'(л)- ~ и ~е) гух Аналогично и'гг") г)х = иг(" — '> - ~ и" и('-г> гхт, о:(в-1) Ы = "~( -Э) ~ "' (в-Г) И и( >г> г(х и(л)п ~ и(л+»е,ух Умножая эти равенства поочередно на +1 или на — 1 и складывая их почленно, по уничтожении одинаковых интегралов в правой и левой частях пргщем к упомянутой формуле: ип(л+ г) пгх и()(л) и Г(л-Н 4 и" П(л-а) + ( 1)ли(л)р+ ( 1)а+ > ~ и(и+ !)Е ((Х (5) Особенно выгодно пользоваться этой формулой, когда одним из множителей подинтегральной функции служит целый многочлен.
Если и представляет собой многочлен и-й степени, то и("+г> тождественно равно нулю, и для интеграла в левой части получается окончательное выражение. Перейдем к примерам. 27!. Примеры. 1) ~ ха)пхг(х. ДЯФфереицироааиие !п х приводит а упрощению, поэтому полагаем г(х 1 а=>пх, Не=хгИх, таа что г(и= —, е — хг х 4 1 ! г ! 1 хг)п хг(х= — хг!ох — — ) хгг(х.= — хг!и х- — хг+С. 4 4 4 16 (в) ) агсяпхг(х, 2) (а) ~!пхг(х, (а) ~агс(ах (х, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям. Повторное применение правила интегрирования по частям приводит к так называемой о б обще ни ой формуле интегрирования по частям.
Предположим, что функции и и е имеют в рассматриваемом промежутке непрерывньге производные всех порядков, до (и (-1)-го включительно: и', и', и", и", ..., Ы'), е("> и("гг> г("'ги. Заменяя в формуле (3) и на Фе>, будем иметь 2711 В 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Принимая во всех случаях ь(х ь(е, получим (а) ~1пхНх=х!их — ~хь()пх=х1лх- ~ь(х=.х(!пх — 1)+С; (б) ~ агс(Е х ь(х-х агс(й х- [ х т1агс(И х= г х 1 .= Х а те(И Х вЂ” З! — — ФХ = Х аГСГЕ Х вЂ” — 1П (Хт+ 1) 9 С "х'+1 2 [см. 269, 5) (а)); в) ~ агсип х т(х=-хагсбпх — [ хь(агсьшх хтт(( — сов х) = - х' соь х - ~ (- соь т) т(хт = — х' сов х+ 2 ) х сов х ь(х. Таким образом, мы привели искомый интеграл к уже известному [270 (4)[; подстав- ляя его значение, получим В общей сложности здесь правило интегрирования по частям пришлось применить двукратно.
Так же, повторным пряменевием этого правила, вычисляются интегралы Р(х)ви" т(х, ~Р(х) вш Ьх ~(х, ~Р(х) сов Ьх и(х, где Р(х) — целый относительно х многочлея. 4) Если воспользоваться обобщенной формулой интегрирования по частям, то можно получить сразу общие выражения для иатегралов этого вида. Полагая е(и<-г) еи", будем иметь еах аих ь(и) = —, е(и-Г) = —, а аь Поэтому, считая Р(х) многочленом л-й степеин, по формуле (5) получим ГР Р' Р" Р(х)еихт(х=еех ~ — — — 4 — — ...~+С.
~а аь аь Аналогично, если взять е(и+ г) = ьш Ьх, то сов Ьх е(и) Ь Отсюда формула ь)п Ьх с(и-1) = — —, Ь' сов Ьх е(и-в)= — и т. д. Ь' 1 +-- (Р' Р" (Р Р" Р(х) ьт Ьх с(х = ь)п Ьх ~ — — — -Ь... 1 — соь Ьх ° ~ — — — -1-... ~ ЕС. ' ~Ь* Ь " 1 ' Ь Ьь 3 Г, М. Фьттььтильи. т, П 3) ~, 'х'ыпхь(х. Имеем г хах =хагсипх — [ =хагсв(пхь[(1-х",-С [см, 269, 2)!. ')() — х' х' ь)п х Ых = — х' сов х+ 2(х вш х+ соь х) + С.
1271 ГЛ. ЧНВ ПНРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Подобным же образом устанавливается и формула гр р" Гр' )з'" Р(х) соз Ьх ах=вы Ьх ° ~-- — 1-... 1!+сов Ьх ° ) — — — Ф...]+С. '1Ь Ь "') (Ь Ь 5) ) хз!лзхз(х. Имеем хз 1 1 г 1 1 г !азха — — х' !п*х- — ~ х'6!л'х= — х'!л' х- — ) хз!пхг6; 4 4 4 4 2 и мы спели дено к иятегралу 1). Окончательно 1 1(! 1 ) 1 ( 1 1! ха1пз х 6х — хз 1пз х — — ~ — х4 1л х- — хз) ФС=-хз ~!пз х- — !л х+ — )+С. 4 2 (4 16 ) 4 ~ 2 8) Так, последовательно, вычисляется интеграл х" !лыха, где А — любое вещественное число (/си — 1), а т= 1, 2, 3, ... Если применить к этому интегралу формулу интегрировалия по частям„положив и- !пих, то получим рекурреитную формулу 1 т г ха(пм х Ых — ха+г!лих- ) ха!лм ахах, 6+1 6+1) по которой вычисление рассматриваемого интеграла сводится к вычислению ивтеграла такого же типа, но с меньшим ва единицу показателем при 1п х.
Впрочем, подстановка г=!их приводит рассматриваемый интеграл к виду !же(з+~)з 6г, уже изученному в 3) и 4). 6) Любопытный пример представляют интегралы еех з!л Ьх Их. ез" соз Ьх ах, Если к ним прнменить интегрирование по частям (в обоих случаях взяв, скажем, 1 4в еатбх, е= — еех), то получим а 1 Ь г еа" созЬхз(х=-за*сов Ьх 1--) еехз!и Ьхйх, а а Ь г езх зщ Ьх Ых — еех зш Ьх- — ) еаз соз Ьх ах. а а Такам образом, каждый из этих интегралов оказался выражением через другой з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
