Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Суммирование рядов обобщенное Рационализация подынтегрального выражения 50, 51, 57, 74, 85 Рациональная функция, интеграл между бесконечными пределами 623 - часть интеграла, выделение 44 Регулярный метод суммирования 395 Решение уравнений рядами 498 Риман 97, 264 Римана теорема 317 Риманова (интегральная) сумма 97 Ряд (бесконечный) 257, 512 - гармонический 263, 267, 270, 289 - гипергеометрический 280, 297, 359, 470, 769 - двойной 333, 513 - знакопеременный 302 - кратный 350 - лейбницевского типа 303 -повторный 330 - расходящийся 258, 292, 333 - сходящийся 258, 292, 333, 512 - - абсолютно 296, 336, 513 - - неабсолютно 296, 317, 336, 516 - остаток 260 - сумма 258, 333, 512 - условие сходимости 294 - частичная сумма степенной, ряд, также, см, 257, 333, 512 Сапоговапризнак 291 Симпсона формула 159 - - дополнительный член 162 Синус, аналитическое определение 477 - бесконечное произведение 376 - в комплексной области 523 - гиперболический, бесконечное произведение 378 - - разложение обратной величины на простые дроби 473 - - степенной ряд 367 - разложение обратной величины на простые дроби 472 - степенной ряд 367, 454, 522 - - - для 1о8 яп х/х 497 Сочетательное свойство ряда 313, 332 Спрямляемая кривая 169 Сравнения теоремы для несобственных интегралов 560 - - - рядов 264 Среднее значение, теорема 113 - - - вторая 117, 600 - - - обобщенная 114, 600 - - - - связь с формулой Лагранжа 124 Статический момент кривой 228 - - плоской фигуры 231 - - поверхности вращения 240 - - тела 239 - - цилиндрической поверхности 240 Степенная функция, главное значение 526 Степенной ряд 298, 364, 515 - - действия 481, 485, 518 - - деление 492, 518 - - дифференцирование 447, 449 - - единственность 445 - - интегрирование 447 - - круг сходимости 515 - - непрерывность 444, 446 - - обращение 502, 506, 518 - - промежуток сходимости 299, 516 - - радиус сходимости 300, 515 - - с двумя переменными 346 - - с несколькими переменными 350 Стильтьес 651 Стирлинг 360 Стирлинга ряд 550, 792 - формулы 369, 550, 793 Стоке 424 Сумма ряда 257, 333, 512 Суммирование рядов обобщенное 395 - - -метод Бореля 411 - - - - Вороного 408 - - - - Гельдера 411 - - - - Пуассона — Абеля 396 - - - - Чезаро 401, 409 - - - - Эйлера 416 Сфера 1полусфера) 241 Сходимости пограничная абсцисса 309 - принцип 308, 512 Сходимость бесконечного произведения, признаки 354 - - ряда, признаки: Абеля 307, Бертрана 279, Гаусса 279, Даламбера 271, 288, 296, 513, Дирихле 307, Ермакова 285, Коши 270, Коши — Маклорена 282, Куммера 277, Лейбница 302, 308, Раабе 273, 278, Сапогова 291 - - - условие 293 - несобственного интеграла, признаки 561, 563, 584 - - - условие 560, 584 Сходящееся бесконечное произведение 351 Сходящийся бесконечный ряд 258, 292 -несобственный интеграл 552, 578 Тангенс в комплексной области 523 - разложение на простые дроби 472 - степенной ряд 493, 497, 524 Таубера теорема 398, 405 Тейлора ряд 364, 449, 450 - формула 364 - - дополнительный член 146, 366 Теплица теорема 325 Тождество степенных рядов 445 Тор 230, 233 Торичелли 242 Трактриса 179, 248 Трапеций формула 155 - - дополнительный член 161 Тригонометрическая форма комплексного числа 510 Тригонометрические подстановки 29 - функции, аналитическое определение 477 - - в комплексной области 522, см., также, Синус, и, тд.
- - связь с гиперболическими функциями 1966, 523 - - - - показательной функцией 519, 523 Улитка 177, 199 Умножение рядов 321, 328, 333, 407, 456, 513 Уникурсальная кривая 85 Френель 721, 729 Фробениус 401 - теорема 403 Фруллани интегралы 621, 635, 636, 638„639 Харди 576, 740 Харди — Ландау теорема 403 Центр тяжести кривой 229 - - плоской фигуры 232 - - поверхности вращения 240 - - тела 239 - - цилиндрической поверхности 240 Цепная линия 174, 184, 195, 209, 217 Циклоида 175, 184, 185, 199, 209, 218, 230, 233 Цилиндрический отрезок 210, 222, 240 Частичная сумма 257, 333, 512 Чебышев 52 Чебышева — Лагерра многочлены 604 Четная функция, интеграл по симметричному промежутку 138 Шаровой пояс 217 Шлемильх 373 И1тейнер 339 111тольца теорема 326 Эвольвента круга 175, 183, 185 - цепной линии 189 Эволюта, натуральное уравнение 185 Эйлер 57, 255, 263, 358, 361, 362, 363, 376, 377, 395, 611, 699, 717, 756, 758, 764, 778 Эйлера метод обобщенного суммирования рядов 412 - преобразование рядов 384 - ряд 462, 490, 496, 671 - формулы 519, 527 Эйлера — Гаусса формула 361, 754, 775 Эйлера — Маклорена формула 540, 547 - - - дополнительный член 540, 548 Эйлера †Маклоренар 543, 549 - - - приближенные вычисления 546 Эйлерова постоянная 270, 285, 319, 353, 772, 775, 776, 782, 793 Эйлеровы интегралы первого и второго рода 750, 753 - подстановки 57, 59 Эллипс 176, 195, 198, 199, 201, 202, 229, 233 Эллипсоид 209, 211, 212, 219 Эллиптические интегралы 86 - - в форме Лежзндра 93, 111 - - 1-го — 3-го рода 90 - - полные 143, 166, 177, 179, 214, 224„252, 352, 465, 675, 734, 768 Эллиптический синус 252 Эпициклоида 185 Эрмит 146 ГЛАВА ВОСЬМАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) $ 1.
Неопределенный интеграл н простейшие приемы его вычвслевви ЗбЗ. Понятие первообразной функции (н неопределенного интеграла). Во многих вопросах науки и техники приходится не по заданной функции искать се производную, а наоборот — восстанавливать функцию по известной ее производной. В 91, предполагая известным уравнение движения з=цг), т.
е. закон изменения пути с течением времени, мы вк путем дифференцирования нашли сначала скорость о= —,, а затем де ш и ускорение а= — „, . На деле, однако, часто приходится решать обратную задачу: ускорение а задано в функции от времении и а=а((), требуется определить скорость о и пройденный путь з в зависимости от х Таким образом, здесь оказывается нужным по функции а=а(г) восстановить ту функцию о=о(г), для которой а является производной, а затем, зная функцию о, найти ту функцию з=з(г), для которой производной будет с.
Дадим следующее определение: Функция г(х) в данном промежутке называется и е р в о о б р а знойй функцией для функции у'(х) или интегралом от у'(х), если во всем этом промежутке у'(х) является производной для функции Р(х) или, что то жв, у'(х)дх слулсит для г(х) дифференциалом р'(х) = Ях) или ар(х) = у(х)дхе. Разыскание для функции всех ее первообразных, называемое интегрированием ее, и составляет одну из задач интегрального исчисления; как видим, эта задача является обратной основной задаче дифференциального исчисления. е В этом случае говорят также, что функция р(х) яиляется леряообразноя (или янтегралом) для дифференциального выражения У(х) дх.
ГЛ. ЧНЬ ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Теорема. Если в некотором (конечном или бесконечном, замкнутом или неги) промежутке ь" функция Г(х) есть первообразная для функции лх), то и функция Г(х) Ф С, где С вЂ” любая постоянная, также будет первообразной. Обратно, к а ж д а я функция, первообразная для Г(х) в промежутке Х, может быть представлена в этой форме. Доказательство. То обстоятельство, что, наряду с Г(х), и Г(х)ФС является первообразной для Г(х), вполне очевидно, ибо [Г(х) Ф С)' = Г'(х) = у'(х). Пусть теперь Ф(х) будет любая первообразная для Г(х).функпня, так что в промежутке зь Ф'(х) = у'(х). Так как функции Г(х) и Ф(х) в рассматриваемом промежутке имеют одну и ту же производную, то они разнятся иа постоянную [131, следствие]: Ф(х) = Г(х) + С, что и требовалось доказать. Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функции Г(х) только одну первообразную функцию Г(х), чтобы знать в с е первообразные, так как они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми.
В силу этого вь«ражение Г(х)» С, где С вЂ” произвольная постоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет производную у(х) или дифференциал у'(х)дх. Это выражение называется неопределенным интегралом Г(х) и обозначается символом ) у(х) дх, в котором неявным образом уже заключена произвольная постоянная. Произведение у'(х)дх называется поди нтег раль ным выражением, а функция Г(х) — подинтег ральной функцией.
П р и м е р. Пусть у'(х) =х'; тогда, как нетрудно видеть, неопределенный интеграл этой функции будет хЧ =ЗФС. Это легко проверить обратным действием — дифференцированием. Обращаем внимание читателя на то, что под знаком «интеграла» пишут дифференциал искомой первообразной функции, а не про из водную (в нашем прш»гере: Азах, а не хз). Такой способ записи, как будет выяснено ниже [294), создался исторически; к тому же он предоставляет ряд преимуществ, и его сохранение вполне целесообразно. 1з таз) Ф Ь ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ЕЫЧИСЛЕИИЛ Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства: 1.
с(~ у'(х) дх = у'(х) бх, т. е. знаки с( и ~, когда первый помещен перед вторым, взаимно сокрощаются. 2. Так как Г(х) есть первообразная функция для Г'(х), то имеем ~ Г'(х) дх = Г(х) в С, что может быть переписано так: ~ бГ(х) = Г(х) м С. Отсюда видим, что знаки б и ~, стоящие перед Г(х), сокращо1отся и тогда, когда 11' стоит после~, но только к Г(х) нужно прибавить произвольну1о постоянную.
Возвращаясь к той механической задаче, которую мы поставили вначале, мы можем теперь написать, что о = ~ а(~) 1й з=~ о(з)й. Предположим для определенности, что мы имеем дело с равноускоренным движением, например под действием силы тяжести; тогда а=» (если направление по вертикали вниз считать положительным) и — как нетрудно сообразить— Мы получили выражение для скорости о, в которое, кроме времени б входит еще и произвольная постоянная С. При различных значениях С мы будем получать и различные значения для скорости в один и тот же момент времени; следовательно, имеющихся у нас данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину скорости в один какой-нибудь момент времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
