Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Приближенное вычисление несобственных интегралов 498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 499. Примеры 500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов 501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом 502. Использование асимптотических разложений ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 8 1. Элементарная теория 503. Постановка задачи 504. Равномерное стремление к предельной функции 505.
Перестановка двух предельных переходов 506. Предельный переход под знаком интеграла 507. Дифференцирование под знаком интеграла 508. Интегрирование под знаком интеграла 509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 510.
Введение множителя, зависящего лишь от х 511. Примеры 512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 8 2. Равномерная сходимость интегралов 600 602 602 604 605 611 611 615 617 621 623 629 641 641 642 650 654 654 654 657 659 661 663 665 668 669 680 682 513. Определение равномерной сходимости интегралов 514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами 515. Достаточные признаки равномерной сходимости 516.
Другой случай равномерной сходимости 517. Примеры з 3. Использование равномерной сходимости интегралов 518. Предельный переход под знаком интеграла 519. Примеры 520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 521. Интегрирование интеграла по параметру 522. Применение к вычислению некоторых интегралов 523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла 8 4. Дополнения 525. Лемма Арцела 526. Предельный переход под знаком интеграла 527. Дифференцирование под знаком интеграла 528. Интегрирование под знаком интеграла 8 5.
Эйлеровы интегралы 529. Эйлеров интеграл первого рода 530. Эйлеров интеграл второго рода 531. Простейшие свойства функции Г 532. Однозначное определение функции Г ее свойствами 533. Другая функциональная характеристика функции Г 534.
Примеры 535. Логарифмическая производная функции Г 536. Теорема умножения для функции Г 537. Некоторые разложения в ряды и произведения 538. Примеры и дополнения 539. Вычисление некоторых определенных интегралов 540. Формула Стирлинга 541. Вычисление эйлеровой постоянной 542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г Алфавитный указатель Алфавитный указатель 682 684 684 687 689 694 694 697 710 714 717 723 733 743 743 745 748 749 750 750 753 754 760 762 764 770 772 774 775 782 789 792 793 795 Лбелевы интегралы 84 Лбель 290, 292, 527 Абеля лемма 306 - подстановка 69, 608 - преобразование 305, 312, 403 - признак равномерной сходимости ряда 429 - - сходимости интеграла 564 - - - ряда 307 - теорема 328, 397, 516 Абеля — Пуассона метод обобщенного суммирования рядов 401, 409 Абсолютно интегрируемая функция 563, 586 - сходящееся произведение 356 - сходящийся несобственный интеграл 563, 586 - - ряд 296, 356, 513 - - - переместительное свойство 315, 332, 356, 513 - - - умножение 321, 513 Адамар 300 Аддитивная функция промежутка 225 Адаптивность объема 203 - площади 188 Алгебраическая часть интеграла, выделение 68 Амплитуда 252 Аналитическая функция 449, 450, 491, 499, 502 Лргумент комплексного числа 510 Лрксинус, главное значение 525 - степенной ряд 458, 467, 503, 526 Арктангенс, главное значение 524 - степенной ряд 368, 457, 524 Архимедова спираль 175, 199 Арцела 43 3, 438, 743, 745 Асимптотический ряд 534, 650, 793 - - действия 536 - - дифференцирование 540, 793 - - единственность 534 - - интегрирование 538 - - потенцирование 538 Астроида 175, 184, 185, 202, 210, 218 Барроу 15 Бернулли Иоганн 95 Бернуллиевы числа 494, 541, 703, 704 Бертрана признак 279 Бесконечно малых элементов суммирование 221, 228 Бесселевы функции 345, 464, 468, 709, 734 Бесселя дифференциальное уравнение 468, 675 Бета-функция 750 - - рекуррентная формула 751 - - связь с гамма-функцией 755 - - симметричность 751 Биномиальный дифференциал, интегрирование 51 - ряд 372, 452, 468, 487, 526 Био и Савара закон 242, 557 Бонне формула 119 Бореля метод обобщенного суммирования рядов 411 Буняковского неравенство 153, 590 Ваплиса формула 145, 352, 371, 377, 613, 704 Ван-дер-Варден 479 Варианта комплексная 511 - - предел 511 Вейерштрасс 424, 479, 488 Вейерштрасса формула 362, 473, 775, 778 Вивиани кривая 186, 223 Виста 352 Винтовая линия 186 Вороного методы обобщенного суммирования рядов 408 Выделение алгебраической части интеграла 68 - рациональной части интеграла 44 Вычисление интегралов: В ~ 1п(1 — 2гсоях+ г 1обо 122, 140, 464, о 673 ~1пя1пхобо611, 616, 726, 785 о ~е * 4Й 612,704,719,757 о 0 ~е * сояЬхЫх 701,726 о ~ — 4й 614, 621, 718, 742 о ~ соярх —; — 9О 700,721,729,740,741 , а'+х' ~ хя1прх —;9 — 7 0 721,729,740 , а'+х' а-! ~ — 4Ьо 699, 717 ,1+х 9 Ю ~ я1пх'Ых, ~соях'4й 721, 729 о о ычисление определенных интегралов, дифференцирование по параметру 673, 674, 717, 721, 723, 782 - - интегральные суммы 120, 615, 617 - - интегрирование по параметру 679, 718, 721, 722, 732, 756, 786 - - интегрирование по частям 131, 603, 632, 634, 636 - - искусственные приемы 611, 621, 623 - - основная формула интегрального исчисления 124, 554, 582 - -подстановка 134, 143, 605„ 611, 630, 631, 764 - - - предельный переход по параметру 704, 717, 719, 722, 735, 788 - - - разложение в ряд 457 — 467, 614, 632, 670, 671, 672, 697, 710 Гамма-функция 361, 753 - Вейерштрасса формула 362, 775 - Гаусса формула 772 - график 755 - дополнения формула377, 757 - Коши формула 771 - Лежандра формула 760, 774 - логарифмическая производная 473, 770, 774 - максимумы и минимумы 755, 780 - определение ее свойствами 760, 762 - Раабе интеграл 759 - распространение 780 - рекуррентная формула 361, 754 - Стирлинга формула и ряд 792, 793 - таблицы логарифмов 793 - Эйлера произведение 758 - Эйлера — Гаусса формула 361, 754, 769, 775, 780 Гармонический ряд 263, 267, 270, 289 Гаусс 281, 680, 769 Гаусса признак 280 - формулы 142, 772 Гаусса — Эйлера формула 361, 754, 769, 775, 780 Гельдера методы обобщенного суммирования рядов 411 Гипербола 177, 195 Гиперболические подстановки 29 - функции, сопоставление с тригонометрическими 196, 523 Гипергеометрический ряд 280, 297, 359, 470, 769 Гипергеометрическое дифференциальное уравнение 470 Гипоциклоида 185 Главное значение аргумента комплексного числа 510 - - арксинуса 525 - - арктангенса 524 - - логарифма 525 - - несобственного интеграла 591, 594 - - степени 526 Гладкая кривая 192 - поверхность 204 Гольдбах 338 Гульдина теоремы 229, 232 Даламбера признак 271, 278, 296, 513 Дарбу 97 - интегралы, верхний и нижний 100 - - как пределы 106 - суммы, верхняя и нижняя 97 - теорема 106 Двойной ряд 333, 452 Декартов лист 200 Дзета-функция 264, 287, 362, 469, 769, 777 Дини 290, 291, 292 - теорема 431 - - обобщение 657, 695, 711 Дирихле 290, 754, 769 - признак сходимости интеграла 564 - - - равномерной ряда 429 - - - ряда 307 - разрывный множитель 633, 640, 741 - ряды 309, 451, 469 - функция 105, 106, 587 Дифференциальное уравнение 244 - - Бесселя 469, 675 - - Гипергеометрическое 470 - - составление 253 Дифференцирование интеграла по верхнему (нижнему) пределу 116, 600 - - по параметру (дифференцирование под знаков интеграла) 661, ббб, 669, 710, 749 - ряда, почленное 447, 517 Длина кривой 169, 171 - - выражение интегралом 169 - - - производная 169 - - пространственной кривой 185 е (число), трансцендентность 146 Ермакова признак 285 Живой силы закон 235 Зайдель 424 Знакопеременный ряд 302 - - оценка остатка 303 Инерции момент плоской фигуры 241 - - тела 241 Интегральная сумма 97 - - верхняя, нижняя 97 Интегральный косинус 83, 566, 639, 652 - логарифм 83, 593, 650 - признак Маклорена — Копси 282 - синус 83, 566, 639, 652, 709 Интегралы, не выражающиеся в конечном виде Зб, 52, 83, 86, 92, 459 Интегрирование биномиальных дифференциалов 51 - в конечном виде Зб - интеграл по параметру 1интегрирование под знаком интеграла) 663, 669, 714, 749 - по частям 31, 130, 602 -подстановкой (путем замены переменной) 23, 135, 143„ 602 - правила 18 - простых дробей 37 - радикальных выражений 50, 51, 56, 66, 529 - рациональных выражений 43 - ряда почленное 447, 668, 697, 710 - тригонометрических и показательных выражений 74, 83, 529 Интегрируемая функция 97 - - классы 101 - - свойства 103 - - с квадратом 590 Интегрируемость предельной функции 437, 659 Интерполирование параболическое 156 Канторович 642 Кардиоида 178, 185, 200, 218 Каталана постоянная 168, 460, 734 Квадратура 16 Квадрируемая фигура 187 Квадрируемости условие 187, 189, 191 Квази-равномерная сходимость 433 Кеплера уравнение 509 Кнопп 311 Комплексная варианта 511 - переменная, функция от нее 513, 519, 520, 522, 526 - плоскость 509 Комплексное число 508 - - аргумент 510 - - вещественная часть 508 - - действия 508 - - мнимая часть 508 - - модуль 508 - - тригонометрическая форма 510 Конус круговой 208, 239, 240, 241 Корень из комплексного числа 511 Корни из вещественных чисел, вычисление 383 Косинус, аналитическое определение 477 - бесконечное произведение 377 - в комплексной области 523 - гиперболический, бесконечное произведение 378 - - степенной ряд 367 - степенной ряд 367, 523 - - - для логарифма 497 Котангенс, Адамара теорема 300 - гиперболический, разложение на простые дроби 473 - разложение на простые дроби 472 - степенной ряд 484„496, 524 Коши 290, 502, 591 - Гельдера неравенство для интегралов 151 - - - - рядов 293 -Маклорена признак 282 - признаки 270, 290, 561, 584 - теорема 321, 326 - формула 321 Кратный ряд 350 Кубируемое тело 202 Куммера преобразование рядов 388 - признак 277 Лагерра чебышева) многочлены 604 Лагранжа ряд 504 Ламберта ряд 311, 341 Ландау 310 Ландена преобразование 143 Лаплас 508, 701, 721, 729 Лежандр 92, 677, 703, 750, 753, 794 Лежандра многочлены 138, 148, 491, 508, 530, 671 - формула 760, 774 - функции К (Ус), Е 1х) 142, 166, 177, 214, 224, 252, 352, 465, 675, 734, 768 - -К(Ус,ср), Е ~Уг,ср) 93, 116, 177 Лейбниц 15, 95, 395 Лейбницаи Ньютона теорема 15 - правило 661 - теорема 302, 308 Лемниската 178, 200, 219 Лиувилль 92 Лобачевский 614 Лобачевского формулы 634, 672 Логарифм комплексного числа 520 Логарифмическая спираль 176, 184, 185 - функция в комплексной области 520 - - степенной ряд 368, 453, 457, 484, 503, 522 Логарифмы, вычисление 381 Мажорантный интеграл 685 - ряд 427 Мажорантных рядов метод 502 Маклорена — Коши признак 281 Маркова преобразование рядов 392 Маятник математический 250 Мергенов теорема 328 Механическая работа 233 Минковского неравенств 293, 590 Многозначные функции комплексной переменной 513, 521, 524, 525, 526 Множитель сходимости 718, 722 Моавра формула 374 Модуль комплексного числа 509 - перехода от натуральных логарифмов к десятичным 382 - эллиптического интеграла 93 Момент инерции плоской фигуры, тела 241 Мэшина формула 380 Направление в промежутке 108 Натуральное уравнение кривой 180 - - эволюты 185 Натуральный логарифм комплексного числа 520 Начальное значение величины 14 Начальные условия 14, 244 Неабсолютно сходящееся произведение 356 - сходящийся интеграл 563, 565, 569, 586 - - ряд 296, 304, 336, 516 Неопределенный интеграл 11 - - геометрическое истолкование 14 - - свойства 13 - - существование 116 - - таблица 17 Неопределенных коэффициентов метод 42, 45, 67, 91, 470, 488, 492 Непрерывная функция без производной 479 Непрерывность интеграла по параметру 660, 675, 678, 710 - предельной функции 420, 657 - суммы ряд 430 - - степенного ряда 444, 446 - функции комплексной переменной 513 Неравенства для интегралов 151 - для рядов 293 Неравномерная сходимость интеграла 683, 689 - - последовательности, ряда 429, 446 Неравномерности точки 425, 444 Несобственный интеграл от неограниченной функции 577, 578 - - с бесконечным пределом 552, 580 - - сходящийся, расходящийся 552, 578 - - - аналогия и связь с рядами 558, 586, 713 - - - признаки сходимости 561, 564, 584 - - - свойства 597 - - - условия существования 562, 585 Нечетная функция, интеграл по симметричному промежутку 138 Неявные функции 474, 498 Ньютон 15, 248, 372 Ньютона — Лейбница теорема 15 - - формула 124 Обвертывающий ряд 534, 544, 550, 651, 792 Обратные тригонометрические функции - Лрксинус и Лрктангенс Обращение степенного ряда 502, 506 Объем тела 202 - - аддитивность 203 - - внутренний, внешний 202 - - вращения 207 - - выражение интегралом 205 - - как предел 203 - - по поперечным сечениям 206, 207 - - условие существования 203, 204 Определенный интеграл в собственном смысле 96 - - вычисление с помощью интегральных сумм 120 - - - - - первообразной 124 - - свойства 108 - - схема применения 225 - - условия существования 100, 105, 107 Ориентированный промежуток 108, 598 Основная последовательность разбиений промежутка 96 - теорема алгебры 680 - формула интегрального исчисления 123, 127, 128, 554, 582 Особая точка функции 577, 580, 581 Особенности выделения при вычислении интегралов 642, 646 Остаток ряда 260 Остаточное произведение 353 Остроградского метод выделения рациональной части интеграла 43 - формула 45 Ось вещественная 509 - мнимая 509 Оценка остатка ряда 283, 303, 378 Парабола 16, 174, 197, 232, 233 Параметр 654 Первообразная функция 11 - - восстановление с помощью определенного интеграла 129, 583 Переместительное свойство абсолютно сходящегося произведения 356 - - - - ряда 315, 332, 513 Перестановкадвух предельных переходов 442,443, 658 Периодическая функция, интеграл по периоду 138 к(число), приближенное вычисление 379 Площадь криволинейной трапеции 192 - - - как первообразная 16 - - - - предел суммы 94 - плоской фигуры 187 - - - аддитивность 188 - - - внутренняя, внешняя 187 - - - выражение интегралом 192 - - - как предел 188 - - - условия существования 187, 189, 191 - поверхности вращения 214 - цилиндрической поверхности 220 Повторный ряд 330 Подынтегральная функция 12 Подынтегральное выражение 12 Подстановка (замена переменной) 23, 134, 143, 604 - Абеля 69 - гиперболическая 29 - дробно-линейная 70, 87 - ряда в ряд 485 - тригонометрическая 29 - Эйлера 57, 59 Показательная функция в комплексной области 517 - - связь с тригонометрическими функциями 519, 523 - - степенной ряд 367, 452, 454, 468, 518 Последовательныхприближений метод 474 Почленное дифференцирование ряда 438, 517 - интегрирование ряда 436, 669, 697, 710 - умножение рядов 321, 328, 333, 407, 456, 513 Почленный переход к пределу 434, 515 Правильная дробь, разложение на простые 21, 39 Предел интеграла по параметру (предельный переход под знаком интеграла) 442, 659, 668, 694, 696, 745, 748 - функции комплексной переменной 514 Пределы интеграла нижний и верхний 97 Предельная функция, дифференцируемость 443 - - интегрируемость 443, 657 - - непрерывность 657 Предельный переход в ряде почленный 434, 515 - - под знаком интеграла 443, 659, 668, 694, 696, 745, 748 Преобразование рядов по Куммеру 388 - - - Маркову 392 - - - Эйлеру 384 Приближенное вычисление интегралов несобственных 641, 647, 650 - - - собственных 153, 646 Приближенные вычисления с помощью рядов 378, 388, 390, 459, 460, 466, 650 Приведения формулы для биномиальных дифференциалов 54 - - - интегралов от з1п~йих соя"~пш х 78 - - - определенных интегралов 130 Произведение бесконечное 351 - - абсолютно сходящееся 356 - - признаки сходимости и расходимости 354 - - расходящееся 351 - - сходящееся 351 - остаточное 353 - частичное 351 Производная функции комплексной переменной 515 Производящая функция для бесселевых функций 345 - - - многочленов Лежандра 492, 508 Простые дроби 37 - - интегрирование 37 - - разложение правильной дроби 21, 39, 42 - - разложение функций с18 х, с1п х, 18 х, х, х, х, 1/ап 2, 1/зЬ, 1/з1п, 472, 473 Прямоугольников формула 154 - - дополнительный член 159 Псевдоэллиптнческие интегралы 86 Пуассон 122, 140, 612 Пуассона — Абеля метод обобщенного суммирования рядов 396 Пуассона формула 256 Раабе интеграл 759 - признак 273, 278 Равномерная сходимость интеграла 682, 687, 688 - - - признаки 684, 688 - - - связь с рядами 684, 688 - - - условие 684, 687 - - ряда, последовательности 419, 422, 424, 515 - - - признаки Абеля 429 - - - - Вейерштрасса 427 - - - - Дирихле 429 - - - условие 425 - - степенного ряда 444, 446 Равномерное стремление к предельной функции 654 Разрывный множитель Дирихле 633, 640, 736, 741 Расходящиеся бесконечные произведения 351 Расходящийся интеграл 552, 578 - - обобщенное значение 595 - ряд 258, 333 Расходящихся рядов суммирование, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
