Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 7
Текст из файла (страница 7)
* Если под яитегралами разуметь определенные первообразные [ср. замечание в 266), то, желая во второй формуле иметь те же функции, что и в нерпой, мы, строго говоря, должны были справа присоедишпь еще некоторую постоянную, Конечно, ояа бьша бы поглощена постоянными С и С' в окончательных выражениях.
35 1 ь пгостейшив пиивмы Вычисления Однако если в первую формулу подставить выражение второго витеграла вз второй формулы, то прнаем к у р а в н е н и ю относительно первого интеграла, из которого он и определится: Ь эи Ьх+ д соэ Ьх елх соэ Ьх Фх — едх-ьС. а'+ Ь' Аналогично находим и второй иатеграл а э)п Ьх — Ь соэ Ьх ел" э~пбхИх= есх ЬС. аэ-ьЬ' 7) В качестве последнего примера применения метода интегрирования по частям выведем рекуррентиую формулу для вычисления интеграла ~(х (л = 1, 2, 3, ...). (хэ+ дэ)л Применим к нему формулу (3), полагая Мы получим х х' У„= +2л ) 4(х.
(хэ-'гд')л Э (хэ+дэуэ+г Последний интеграл можно преобразовать следующим образом: х' г (хэ Е аэ) — дэ г г(х г Их д=) — — (х=) = эл д эл+г ° (хэч-аэ)лэ э 3 (х'+аэ)л+' Э (х'Ч д')л 3 (х'4-аэ)леэ Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к соотношению х Ул =. +2лул -2лдэ)лсэ (хэ+д )л откуда 1 х 2л-11 ул М =- - — --~ — о, ул. 2лд' (х'Ч-д')" 2л аэ (6) Полученная формула сводит вычисление интеграла улэ, к вычислению интеграла Ул с меньшем на едивипу значком.
Зная интеграл (2б7, 9) (б); мы берем одно вз его значений), по этой формуле, при и=1 найдем 1 х 1 х Уэ = — — — -~ — агсгй —, 2д' хэ+ а" 2аэ а 1 И г(с= Их, (хэ+ дэ)л ' 2лх ° 4х так что да=-— (хэ+аэуэ+э ' 1 х Уэ - — агсгйа д 36 ГЛ. У!П. ППРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [что мы выше получшги другим путем, см. 269, З)1. Полагая в формуле (6) и = 2, мы получим далее 1 х 3 1 х 3 х 3 х уг + агсгк— 4аз(х'.Ьа)' 4а' " 4а'(х'-! агд За!я!-Ьа' За! а и т. д.
Таким образом можно вычислить интеграл У„для любого натурального показателя и. й 2. Интегрирование рациональных выраженнй 272. Постановка задачи интегрировании в конечном виде. Мы познакомились с элементарными приемами вычисления неопределенных интегралов. Эти приемы не предопределяют точно пути, по которому надлежит идти, чтобы вычислить данный интеграл, предоставляя многое искусству вычислителя. В этом и следующих параграфах мы остановимся подробнее на некоторых важных классах функций и по отношению к их интегралам установим вполне определенный порядок вычислений. Теперь выясним, что именно нас будет интересовать при интегрировании функций упомянутых классов и по какому принципу будет произведено самое их выделение.
В 51 было охарактеризовано то многообразие функций, к которым в первую очередь применяется анализ; это — так называемые элементарные функции и функции, которые выражаются через элементарные с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций (без предельного перехода). В главе 1П мы видели, что все такие функции дифференцируемы и их производныс принадлежат к тому же многообразию. Иначе обстоит дено с их интегралами: очень часто оказывается, что интеграл от функции, принаплежащей упомянутому классу, сам этому классу не принадлежит, т. е. не выражается через элементарные функции с помощью конечного числа названных выше операций.
К числу таких заведомо невыражающихся в конечном в и д е интегралов относятся, например, в-"* г[х соз хз Ых, зш хз гух, другие примеры подобного рода будут приведены ниже 1280, 289. 290 и сл.). Важно подчеркнуть, «пго все эти ггггтвгралы реально с у и) еетвуготе, но они лиигь ггредгтавллгот собой сов ер гленна ло- ь См. сказанлое ло этому поводу в 264. Мы вернемся н этому ниже, в зсчб.
хуз) е 2. интегРиРОВАние РАциОИАльных ВНРАжВний 37 е ы е функции и не приводятся к тем функциям, ко«норме мы назвали элементарными я. Известны сравнительно немногие общие классы функций, для которых интегРиРование может быть выполнено в конечном виле; этими классами мы ближайшим образом н займемся. На первом месте среди нихнадлежитпоставитьважный класс рациональных функций, 273. Простые дроби н их интегрирование. Так как из неправильной рациональной дроби можно исключить целую часть, интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно заняться интегрированием правильных дробей (у которых степень числителя ниже степени знаменателя).
Из них мы остановимся здесь на так называемых простых др о бях; это будут дроби следующих четырех типов: 1. —, Н. —, 111. —, 1У. х-а ' ' (х-а)" ' ' хв+рх+С ' " (х'+рх+Ч)И ' (Л-з, З,...) ( -з,э,...) где А, М, гв', а, р, д — вещественные числа; кроме того, по отношению к дробям вида 111 и 1У предполагается, что трехчлен хзч-рх+ д не имеет вещественных корней, так что рв --ц-О 4 Дробн вида 1 н Н мы уже умеем интегрировать [267, 7)1 г г(х А з! — -=А )и )х — а!+С, 1 х-а г ««х А 1 А з! — = —— 4 С. ~ (х — а)ь 1« — 1 (х — а)" Что же касается дробей вида Н1 н 1У, то их интегрирование облегчается следующей подстановкой, Выделим из выражения х'+ рх '; д полный квадрат двучлена х ч рх 4 д — х 2.
— х г ~-) 4 ~д — (-) ] — (х 4-) 4 ~д — — ) . * Для того чтобы помочь читателю освоиться с этим фактом, напомним ев«у, что интегралы от р а ц и о н а л ь н ы х функций сами уже не являются рациональными функциями. Таким образом, е с л и бы для нас «элементариымив были лишь рациональные функции, то уже названные игле«раль« от «элементарныхв функций Ве выражались бы через «элементарныев функции, представляя собой «неэлемеитарныев функции новой природы:!пх и агавах! ГЛ.
ЧП!. ПВРВООБРАЗИАЯ ФУНКЦИЯ Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число поло- жительное, его можно положить равным а', если взять Теперь прибегнем к подстановке х-Р- С, ссхтс11, Р 2 х--.-рх~-у=с та, Мх-Рсгс — Мс- Дс---- . г г Мр) В случае П1 будем иметь Мр1 = — 1Н(с Фа)-1 — 1Ж вЂ” — ) агс1й- РС, г г 1( МР) с 2 а~ 2! а или, возвращаясь к х и подставляя вместо а его значение: Мх+)У М г с1х = — Жх' срх+ д) + =агс1я Я-С. 2АС вЂ” Мр 2х+р х'Фрх+д 2 "с'44 — р' 1~~ — р' Для случая 1Ч та же подстановка даст ) 1хг 1.)сх 1 4)т х ~ (сг с дг)т М Г 2СсГС 1 Мр'1 Г сСС 2 ) 1ссеа')т ~ 2 ~ ) (с'-Ра"-уп ' Первый из интегралов справа легко вычисляется подстановкой сг+ дг = и, 21 с11 = Ыи 2СсСС Г пСд 1 1 1 1 —, С. (2) (сгс дг)т ) дт т 1 ат:с ссс 1 ссг„.де)т — с ' Второй же из интегралов справа, при любом лс, может быть вычислен по рекуррентной формуле 16) п' 271. Затем останется лишь по2хер ложить в результате с= —, чтобы вернуться к переменной х.
2 Этим исчерпывается вопрос об интегрировании простых дробей. 274. Разложение правильиык дробей иа простые. Остановимся теперь на одной теореме из области алгебры, которая, однако, имеет фун- $241 т 2. НнтеГРиРОВАнин РАциОнАльных ВыРАжвний 39 даментальное значение в теории интегрирования рациональных дробей: каждая правильная дробь Р(х) Д(х) может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробв~. Это разложение правильной дроби на простые дроби теснейшим образом связано с разложением ее знаменателя Д(х) на простые множители.
Как известно, каждый целый многочлен с вещественными коэффициентами разлагается (и притом единственным образом) на вещественные же множители типа х-а и хяч-рхч-д; прн этом ква)~- ратичные множители предполагаются не имеющими вещественных корней и, следовательно, неразложимыми на вещественныс линейные множители.
Объединяя одинаковые множители (если таковые имеются) и полагая, для простоты, старший коэффициент многочлена Д(х) равным единице, можно записать разложение этого миогочлена схематически в виде д(х)=(х-а)ь... (Ааерх+(()'" ..., где й, ..., т, ... суть натуральные.числа.
Заметим„что если степень многочлена (А есть и, то, очевндно, сумма всех показателей й, сложенная с у д в о е н н о й суммой всех показателей т, в точности даст п: (4) Для доказательства теоремы установим предварительно следующие два вспомогательных предложения: 1'. Рассмотрим какой-нибудь линейный множитель х — а, входящий в разложение знаменателя с показателем йм 1, так что (Л(х) =(х — а)" (Ат(х), где многочлен Дт уже на х — а не делится. Тогда данная правильная дробь Р(х) Р(х) Д(х) (х — а)КД (х) может быть представлена в виде суммы правильных дробейь А Р,(х) (х-а)" (х-а)а 'Д,(х) ' из которых первая является и р о с т о й, а знаменатель второй со- держит множитель х — а в более низкой степени, чем раньше. * Буквы Р, Д (с различными указателями) обозиачагот здесь целые многочлены, а буквы А, Ы, )т — постоянные числа. ГЛ.
ЧПЬ ПЫРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 1274 Для доказательства достаточно подобрать число А и многочлен Р,(х) так, чтобы выполнялось тождество Р(х) -АДь(х) =(х- а)Р,(х). Определим сначала А так„чтобы левая часть делилась на х-а, для чего достаточно (по известной теореме Б е з у), чтобы ее значение при х= а было нулем; это приводит к следующему выражению для А: Р(а) (2ь(а) Оно имеет смысл именно потому, что (также по теореме Безу) Д,(а) иО.
При указанном выборе А многочлен Р, определится просто как частное. 2'. Пусть теперь х'+рх+д будет какой-нибудь из квадратичных множителей, входящий в разложение знаменателя с показателем ти 1„ так что на этот раз можно положить Д(х) =(хь+Рхв д) Дь(х), где многочлен Д, на трехчлен хьирхмд не делится. Тогда данная правильная дробь Р(х) Р(х) О(х) (х'+рхв-дуиО,(х) можем быть представлена в виде суммы правильных дробей Мх+Ф Р,(х) (х'+уха-д)и (х'+рх+В)и 'д1(х) ' из которых первая уже будет п р о с т о й, а вторая содержит в знаменателе упомянутый трехчлен снова — в низшей степени. Для доказательства достаточно подобраэь числа М, Х и много- член Р,(х) так, чтобы имело место тождество Р(х) — (Мх Ф )ч ) Д (х)= (хь Фрх+ д) Р (х), Определим М и )ч' так, чтобы на этот раз левая часть делилась на квадратный трехчлен хь+рх"-д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
