Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Подставим в качестве Рт и Р, многочлены степеней и,— 1 и иг — 1 с буквенными коэффициентами; всего этих коэффициентов будет пт-Рив, то есть и. Выполним в (10) дифференцирование Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести к знаменателю Д, сохраняя целым числитель. Именно 1276 46 ГЛ. УПЬ ПНРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ если Н означает частное —.
Но это частное можно представить (210к (2, в виде целого многочлена. Действительно, если (х-а)", при 1с~1, входит в состав Д„то (х — а)" 1 войдет в Дт, а х — и в состав Дз; такое же заключение можно сделать и о множителе вида (хз-ьркч-1))'" при ти 1. Следовательно, числитель Н н а ц е л о делится на знамена- тель, и впредь под Н можно разуметь целый многочлен (степени лз — 1).
Освобождаясь от общего знаменателя Д, придем к тождеству двух многочленов (степени л — 1) Р;Дз — Р,Н У РЯ,=Р. П р и м е р. Пусть требуется выделить рациональную часть интеграла 4хк44хз41бх'+12х+ 8 лх. (х-1- 1)'(х'-1- 1)' Имеем 12з = Пк = (х+1)(хе-~1) х'-1-х'+х+1, 4х'+4хз416х'+12х48 ~ ахй+Ьх+с 1' 1(тч+ех+у ( '+х +х+»' х'+х*+х+1 1 х +х'+х+1 откуда 4х'-Р4хз+ 1бх'-1-12х+8 = (2ах+ Ь)(хз Ф х'+х Ф 1) - (ах'+ Ьх+ с)(зх'+ 2х+ 1) Р Озхь Р ех+ з)(хе+ хе+ х-Р 1). Прираввввяя коэффициенты при одиняковык степенях х в обеих частях, получвм систему уравнения, из которых и определятся вевзвествые а, Ь, ..., у": хз ~ к(=О (в последу1опзем уже с1 в расчет ие берем), х', †а+к, — 2Ь+е+У=4, а — Ь-Зс+е+у"=16, а= — 1, Ь=1, с= — 4, 2а-2с-~-еьу" 12, о'=О, е=з, у"=3, Ь вЂ” с 1-У=8. х' е Ср. аналогичное замечание по поводу разложения правильной дроби на простые дроби, стр. 42.
Отсюда, как и выше, для определения л введенных буквенных коэффициентов получим систему нз л линейных уравнений. Так как возможность разложения (10) установлена, каково бы ни было Р, то упомянутая система должна быть совместной при любых свободных членах. Отсюда само собой вытекает, что определитель ее отличен от нуля, а значит — система необходимо оказывается определенной, и разложение (10) — при указанных знаменателях Д1 и Д вЂ” возможно лишь единственным образом *. 1 а интеГРиРОВАние РАциОнАльных ВыРАжений И, й гр 4х»-Ь 4х»-Ь !бх'-1-12х-1-8 а»х = (х+ 1)»(х»,- 1)» х» — х+ 4 г г(х х' — хч- 4 — — +3 ! = — +3агсгйх+С.
х»-Ьх»ьх !-1 .! х" Р1 х»ч-х»шх.~-1 В этом примере вычисление последнего интеграла легко бьшо произнести сразу. В других случаях приходится снова разлагать на простые дроби, Мо»кио, впрочем, и этот процесс объединить с предыдущим, 277. Примеры. Приведем дальнейшие примеры на интегрирование рациоиальнык функций. »(х Разложение иа простые дроби здесь достигается путем незамысловатых преобразоизняй: 1 (14х') — х' 1 (14х») — х» 1 1 1 1 х'(1+ х') (1+ х')» х' 1+х' (! -Ьх')' 1 1 х 3 0»»»вел»; — — — — — — — агс 18 х Е С. х 2 14х' 2 2) 4х'+4х-11 »(х.
(2х — 1)(2х+ 3)(2х — 5) 1 1 11 — х'-1--х-— 2 2 8 4х'+4х — П откуда следует тоягдество — х»+ — х- — А(х+ — )~х — — )+В~к- — )(х — — )-ЬС~х- — )~х+ — ) . Вместо того чтобы приравнивать коэффициенты при одинаковых степеияк х слева и справа, можно поступить иначе. Положим в этом тождестве последо- 1 3 5 ! 1 3 иательно х= —, — —, —; сразу получим А=-, В= — —, С= — (ибо асякий раз 2 2 2 4 8 8 справа останется лишь адно слагаемое). х (1+ х')' х'(1-1-х')' х'(1 е х') (1-';х')' ( -П(2 +3)( -5) ( !)~ З)~ 5) А В С + — — — + —— 1 3 5 х- — х+ — х-— 2 2 2 48 1277 ГЛ.
ЧЦ!. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 1 ~ 1! 1 ! 3! 3 5 Ответ: — 1и ~ х- — ~ — — 1п, хт — ~ Ч вЂ” )п х- — ~Ч-С= 4 ~ 2~ 8 ~ 2~ 8 2 1 ~ (2х — 1)в (2х — 5)в ! = — 1п ~ ~+С 8 ~ 2+3 Так как хв+1= (хв4 2х'+1)-2х' (хв->1)*-(х12)'=(х'+х)12+1)(хв-х 12+1), то разложение иглем в виде 1 Ах+В СхФЮ + " +1 х'-Ьх)!2-Ь1 х' — х)!2+1 Из тождества 1 =- (Ах~-В) (х' — х 1!2Ч-1) -Ь (Сх-Ь В) (хв-Ьх 1!2+ 1) получаем систему уравнений лв~ А-!-С-О.
хв, '— )2А-ЬВ-Ь)!2С+Ю=О, х' ~ А — )'2В+ С-Ь '1!2 В О, В-~-В-1, откуда 1 1 А -С, В=В= —. 2)2 2 Таким образом, ь Г .+) Г .-И Ых — — — — Ах =- 2 12 х'~-х')!2+1 2!2 х' — х')2-Ь1 1 х'+х)!2+ 1 1 1 1и Ф вЂ” а!с!8 (х)!2+1) + — агсгй (х)/2-1) + С. 4)!2 хв-х'12-Ь1 2)Г2 2)!2 Использовав формулу сложения для арктангенсов (50), можно этот результат представить и в такой форме! 1 хв+х~/2+1 1 х)!2 — -1п а!с!8 — +С'.
4~ 2 х'-х)'2-Ь1 2 ~/2 1 х' Нулино замети!в, однако, что зто выражение годится лиль о т д е л ь н о для промежутков (-, — 1), (-1, 1), (1, + ), ибо в точкак х я1 оно теряет смысл. Постоянная С' для этих промежутков, соответственно, равна С- —, С, С+— 2 1'2 21!2 Скачкообразное изменение постоянной компенсирует разрывы самой функпаи при х= я1. 2лв -4хв-1-24х' — 40х+ 20 4) г(х. (х — 1) (х' — 2х -'2)' 1 в Очевидно, постоянная С' разнятся от постоянной С на — — 1л 2. 277) 1 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 49 Прибегнем к выделению рациональной части интеграла.
Имеем Я» = (х» -2х-ь2)', Д» = (х — 1) (х'- 2х+2). Таким образом, 2х'-4х»+24х'-40Х+20 ~ ах»+ Ьх'4 ох+ с» ~' в ух+8 Р— + ( — 1) (х' — 2х42)» (х*-2 .~-2)» х — 1 х — 2х+2 2х' - 4Х»+ 24Х» - 40Х-ь 20 = (3 ах» -ь 2ЬХ ч- с)(х» - 2Х-~-2) (х — 1)— - (ах»+ Ьх'+ сх Ч-»() ° 2(2х — 2) (х — 1) Р в(х» - 2х Ч-2)» + (ух 48)(х - 1)(х» Ч-2Х+ 2)' приводит к системе уравнений: в-ьу=О, — а — бе — 52"-ЬЕ = О, — а-2Ь+18в+12)'-58=2, 8а-~-26 — Зс-32в-167'-'г128= -4, — ба-Р 4Ь+ 5с -4а»-ь Збе+ 121" — 168 = 24, — 4Ь -~-8»(- 24е — 47'-Ь 128 — 40, -2с-4»г'+8в-48=-20, хв х' х' откуда а 2, Ь= — 6, с 8, »г'= — 9, в=2, 7'= — 2, 2х»- бх»Ч-8Х вЂ” 9 (х- 1)' Ответ: +1п +2агс18(х-1)+С. (х' - 2х+ 2)' х' — 2х+ 2 х» — х'+ х»-~-2хв 4 Зх'+ Зх Р 3 5) й:.
(х-Ь1)' (х'+х+1)' )Зыделим рациональную часть интеграла. Имеем Д»=(х+1) (х'+х+1)', Д»=(х-~-1) (х'+хт1). Разложение ищем в виде ах»-~-Ьхе+ах'+»гх+е 1' гх»-РРХРЬ ~ + (х41) (х»+х+1)» 1 (х-~-1) (х»+х41) Из системы уравненнй: х» У'= О, -а+8=-1, х» а — 26+ За+ Ь = — 1, х» 5а - Ь - Зс4 5Е-~-ЗЬ = 1, х» 4ач-ЗЬ вЂ” Зс-4»1-'г5Р-Ь56=2, х» ЗЬ+с — 5»(- 5в+ 38-~-56 = 3, х' 2с-»7-ус+к+ЗА=З, х' г( — ЗвЧ-Ь = 3 1 Г. М. Фи»м»го»»ч, г. Н причем мы заодно уже разлагаем на прость»е дроби то выражение, которое еще подлежит интегрированвго (после выделения рациональной части интеграла). Тождество 50 ГЛ. ЧШ, ПНРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ находим с= — 1, Ь О, с -2, г(О, е — 1, ГК=Ь=О.
Таким образом, здесь интеграл весь сводится к рациональной функции х4 — 2хк+1 +С. (х+ 1)(х'+ х+ 1)' й 3. Ивтегрирование некоторых выражепнй, содержащих радикалы 278. Интегрирование выражений вида Л~х, (( ~ . Примеры. 1(ах.~.р)* '( '(( +4 ' Выше мы научились интегрировать в конечном виде рациональные дифференциалы. В дальнейшем основным приемом интегрирования тех или других классов дифференциальных выражений будет разыс- кивание таких подстановок 1= гл(х), которые привели бы подинтеграль- ное выражение и рациональному виду и дали бы возможность пред- ставить интеграл в конечном виде в функции от д Если при этом сама функция ю(х), которую надлежит подставить вместо б выра- жается через элементарные функции, то интеграл представится в ко- нечном виде и в функции от х.
Назовем этот прием методом рационализации под- интегрально гоо выражения. В качестве первого примера его применения рассмотрим интеграл вида а ) Я(х,~ — ) Ых, (1) где Я означает рациональную функцию от двух аргументов, лг — натуральное число, а а, р(, у, д — постоянные. Положим (=го(х) = (( —, 1(ил+~ ((ух+О' Интеграл перейдет в ах+1) (а= —, ух+д ' х= р(г) = ~Я(р(г), г) р'(1)й; здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как Я, р, ~р'— рациональные функции. Вычислив этот интеграл по правилам предыдущего параграфа, к старой переменной вернемся, подставив 1= = гс(х). К интегралу вида (1) сводятся и более общие интегралы ч Условимся раз навсегда буквой и обозначать р а ц и о н а л ь н у ю функцию от своик аргументов.
279) 51 1 а интегриРНВАние РАдикАльных ВыРАжений )гх+1+2 Примеры. 1) " ах. их+зч Здесь д р о б н о - л и н е й н а я функция —, в частности, свелась просто ух-ьд К Л И Н Е й Н О й фуНКцИИ. ПОЛаГаЕМ Г = )гк+1, НХ = 2Г З1Г; тОГда 21+2 1 11= Гз+Г-Ь11 (г — 1)' 2 2г,-1 =1п — — агсга — '. +С, г +1+1 '!'3 13 где остается лишь подставить г= 'Г' в+ К "Х; " „-ХГ- з )Гх+! Полагаем г= —, х=- — '-, 1 гз-, 'г+1 .— 2г — ! =- — 1и Ч )~З вес!а " Е С, (г — 1)' )гз бг' г!г ах=в ; тогда ггз 1)з ' з )!х+1 где г= )! х-1 279.
Интегрирование бииомиальнык диффереа1иалов. Примеры. Биномиальнымн называются дифференциалы вида Х (аейХл)взтХ, где а, Ь вЂ” любые постоянные, а показатели лг, л, р — рациональные числа. Вьгясним случаи, когда зти выражения интегрируются в конечном виде. Один такой случай ясен непосредственно: если р — число ц е л о е (положительное, нуль или отрицательное), то рассматриваемое выражение относится к типу, изученному в предыдущем и'. Именно, если через 2 обозначить наименьшее общее кратное знаменателей М дробей лг и н, то мы имеем здесь выражение вида Я(~~х) лх, так что для рационализации его достаточна подстановка 1=)гх.
где все показатели г, х, ... рациональны; стоит лишь привести зти показатели к общему знаменателю лг, чтобы под знаком интеграла ! !ах.ьз5 получить рациональную функцию от х и от радикала !)в 1 ух-~-д 1279 52 ГЛ. ЧПБ ПБРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Преобразуем теперь данное выражение подстановкой г = х". Тогда и+1 1 хФ(а<-Ьх")Рс7х=-(а '-Ьг)ег ' сг и и, положив для краткости и+1 -1=.д, будем иметь х"'(а Ф Ьх")Р ах = — з! (а ь Ьг)огч аг. ! г и) (2) 1=)1а+Ьг='уа-~Ьх". Наконец, перепишем второй из интегралов (2) так: ~~ — ~ гз+Вдг.
Легко усмотреть, что при р1-д целом мы также имеем изучен1~аььг) ный случай: преобразованное выражение имеет вид зг1г, ~ — 1. Подинтегральное выражение в данном интеграле рационализируется и сразу подстановкой 1~а+аз .г — —— )у ах-я + Ь Таким образом, оба интеграла (2) выражаются в конечном виде, если оказывается целым одно из чисел Р АРФУ или (что то же) одно из чисел ть1 т+1 Р» вр и ' л Эти случаи интегр пру ем о с ти, по существу, известны были еще Ньютону. Однако лишь в середине прошлого столетия П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
