Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Например, пусть нам извеспю, что в момент в=те скорость о=ив; подставим зти значения в полученное выражение для скорости откуда С="о аппо» 14 ГЛ. ЧПЕ ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 1з44 и теперь наше решение принимает уже вполне определенный вид Х(1 го) Ф "о. Найдем, далее, выражение для пути з. Имеем з= ~Ы1 га)< оо11 йс=йФ го)~ "оа(г га) ~ С 1 (дифференцированием легко проверить, что первообразная функция может быть взята в такой форме). Неизвестную нам новую постоянную С' можно определить, если, например, дано, что путы = зо в момент 1 — -га; найдя, что С'=зо, перепишем решение в окончательном виде 3(1 со) ~ оо(1 го) ' зо. Значения га, з„оо условно называются начальными зи ач е- и И Я МИ Величин 1, в и о. Мы знаем, что производная функции у=с(х) дает угловой коэффициент касательной к соответствую1цему графику.
Поэтому задачу разыскания первообразной г(х) для заданной функции 1(х) можно истолковать так: требуется найти кривую у = = г(х), для которой имел бы место заданный закон изменения углового коэсрфиииента касателвной: гйк=Дх). Рис. 1. Если у=к(х) есть одна из таких кривых, то все остальные могут быть получены из нее простым сдвигом (на произвольный отрезок С) параллельно оси у (рис. 1). Для того, чтобы индивидуализировать кривую в этом множестве кривых, достаточно, например, задать точку (ха, уо), через которую кривая должна пройти; н ач а л ь н о е у с л о в и е уа = с(хо) .1 С даст С =уа — с(х ). 264. Интеграл и задача об определении площади, Гораздо важнее истолкование первообразной функции как площади криволинейной фигуры. Так как исторически понятие первообразной функции было теснейшим образом связано с задачей об определении площади, то мы остановимся на этой задаче уже здесь (пользуясь интуитивным представлением о площади плоской фигуры и откладъвая точную постановку этого вопроса до главы Х).
Пусть дана в промежутке (а, Ь) непрерывная функция у=з(х), принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения. Рас- 15 1 е пРОстейшие пРиемы Вычисления смотрим фигуру АВС21 (рис. 2), ограниченную кривой у = г"(х)„двумя ординатами х=а и х=-Ь и отрезком оси х; подобную фигуру будем называть криволинейной трапецией. Желая определить величину площади Р этой фигуры, мы изучим поведение площади п е р е м е н н о й фигуры АМФэг1, заключенной между начальной ординатой х=а и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в промежутке [а, 6) значению х.
Прн изменении х эта последняя площадь будет соответственно изменяться, причем каждому х отвечает вполне определенное ее Э значение, так что площадь криво- К4 линейной трапеции АМ)ч)1 является некоторой функцией от х; обозначим ее через Р(х). Поставим себе сначала задачей найти производную Рис. 2. это й функции. Сэтой целью придадим х некоторое (скажем, положительное) приращение Ах; тогда площадь Р(х) получит приращение АР.
Обозначим через т и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции Лх) в промежутке [х, х-' Ах] [85) и сравним площадь АР с площадями прямоугольников, построенных на основании Ах и имеющих высоты т и М. Очевидно, т Ах АР~ МАх, откуда АР тк — .М, Ах Если Ах О, то, вследствие непрерывности, т и М будут стремиться к )'(х), а тогда н Р'(х) = 1пп — = 1'(х). Таким образом, мы приходим к замечательной теореме (обычно называемой теоремой УХ ь ю т о и а и Л е й б н и гу а):* производная от переменной площади Р(х) по конечной абсг1иссе х равна конечной ординате у =- Дх). Иными словами, переменная площадь Р(х) представляет собой п е р в о о бр а з и у нэ д5 у и к и и ю дяя данной грункуии у = Дх). В ряду других первообразных эта первообразная выделяется по тому признаку, что она обращается в О при х=а. Поэтому, если известна * В лейегеигельеоети это предложение — хотя и в другой фооме — опублико- вал еще Ба р р о у 11э.
Вепогч), учитель Ньют он а. 16 ГЛ. УП1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (264 какая-либо первообразная Г(х) для функции 1'(х), и по теореме предыдущего и' Р(х)= Г(х).1 С то постоянную С легко определить, положив здесь х6 а Π— Г(а) ~ С, так что С=- — Р(а). Окончательно Р(х) =- Г(х) — Г(а). В частности, для получения площади Р всей криволинейной трапеции АВСО нужно взять х=Ь: Р = Г(Ь) — Р(а). В виде примера, найдем площадь Р(х) фигуры, ограниченной и ар а б о л о й у = ах', ординатой, отвечающей данной абсциссе х, и отрезком оси х (рис.
3); так как парабола пересекает ось х в начале координат, то начальное значение х здесь О. Для функции у(х) 6 ахк легко з найти первообразную: Г(х) = — . Эта 3 функция как раз и обращается в О при х=О, так что 3 3 [ср. 32, 4)]. Ввиду той связи, которая существует между вычислением интегралов и нахождением площадей плоских фигур, т. е. квацратурой их, стало обычным и самое вычисление интегралов называть к в а дратурой. Рис. 3. Для распространения всего сказанного выше иа случай функции, принимающей и отрицательные значения, достаточно условиться считать о т р и ц ат е л ь н ы м и площадн частей фигуры, расположенных п о д осью х.
Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежутке (а, Ь1 функция у(х), читатель всегда может представить себе перво- образную для нее функцию в виде переменной площади фигуры, ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту геометрическую и л л ю с т р а ц и ю доказательством существования первообразной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие площади еще не обосновано. В следующей главе ~ЗОз1 мы сможем дать строгое и притом чисто аналитическое доказательство того важного факта, что каждая не- 17 1 Ь ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ прерывная в данном промежутке функция З'(х) имеет в нем первообразную. Это утверждение мы принимаем уже сейчас.
Е настоящей главе мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Если функция задана конкретно и имеет точки разрыва, то рассматривать ее будем лишь в промежутках ее непрерывности. Поэтому, допустив сформулированное выше утверждение, ь1ьс освобождаемся от необходимости всякий раз оговаривать существование интегралов: рассматриваемые нами интегралы все существуют. 265. Таблица основных интегралов. Каждая формула дифференциального исчисления, устанавливающая, что для некоторой фуехции р(х) производной будет Дх), непосредственно приводит к соответствующей формуле интегрального исчисления ~ Дх)дх=Р(х)-РС.
Перебрав формулы и' 95, по которым вычислялись производные элементарных функций, а также некоторые формулы, выведенные дальше (для гиперболических функций), мы можем теперь составить следующую таблицу интегралов: Е~О И =С. 2. ~1 ° Йс=~ с(х=х+С. хе+ т 3. ~х'вас= — +С (зз . — 1) И+1 4„11 Нх= Гзх=)п!х~ —; С. Г 1 Г тех 5.
з1 — ссх= ~ — =агс$йхьС. ~1+ ° ~ 1+ ° 1 Г тех б ~= Нх = ~ =.. = агез1п х ~ С. .~)'г-; ) у) =.* хх 7. ~ат С(Х= — -РС. 1ате(Х=Ет-~ С. 1Е е 8 ~'Е1пхдх= -еозх+С. 9, ~ совх сух=в!пх 1-С. 10. ~ — Их= ~ — = -с$дх~-С. Г 1 т тех ' ) з1а" х ~ в1п'х 2 Г. М. Фикттптолтц, т. П 1к ГЛ. ЧПЬ ПБРВООЬРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 11.
1" — их=1" =(„-х -С. г 1 г нх ] сов'Ф ] сов'х 12. ] КЬ хе(х=еЬх РС. 1З [еЬх с6с=-зЬ х ~ С. 14. ~ —,Йс= — е$1зх РС. еь, с1х = 1Ь х+ С. 1 По поводу формулы 4 сделаем пояснение. Она приложима в любом промежутке, не содержащем нуля. Действительно, если этот промежуток лежит вправо от нуля, так что х -О, то из известной формулы дифференцирования ()п х]' = - непосредственно следует Х йх — =1п х+С.
Х Если же промежуток лежит влево от нуля н х О, то дифференцированием легко убедиться в том, что (1и ( — х)] =-, откуда 1 — =!и(-х) ФС. ах Х Обе эти формулы и объединены в формуле 4. Рамки приведенной выше таблицы интегралов раздвигаются при помощи правил интегрирования. 2бб. Простейшие правила ннтегрировашя. 1. Если а — постоянная (а -О), то ] а )"(х) с(х - а ° ] 1'(х) с(х. Действительно, дифференцируя выражение справа, мы получим (105, 1] ['~~(х) х1 ='фт~ ]~='ах)йтак что это выражение является первообразной для дифференциала а.)(х) Ых, ч. и тр. д. Итак, постоянный множитель можно выносить из-нод знака интеграла.
П. [ (Ях) ~ 5(х)] с1х = [Ях) йх х [ я(х) йх. Дифференцируем выражение справа (105, 11]: с([ [1(х) с1х~ [Р(х) вх~ = й] 1(х) с/х+ й [е(х) с(х = (1(х) ~я(х)] с(х; 1 ь пРОстейшие пРиемы Вычисления 2621 [1'(1)д(=Г(1)-, С, Дах РЬ) дх=- Р(ах 1-Ь)-ьС', 1 то Действительно, данное соотношение равносильно следующему: --, Р(1) = Р'(1) =У(1) Но тогда „вЂ” г(ах-РЬ)=Г(ах+Ь) а=а у(ах+Ь), так что — х [„-Р(ах+ Ь)~ = Лах в Ь)„ Л 1 1 т. е.
— Р(ах+ Ь) действительно оказывается первообразной для функ- в ции 1'(ах+ Ь). Особенно часто встречаются случаи, когда а= 1 или Ь=О: [ 1'(х+Ь)ах Р(хьЪ)+С„ [Дах) в(х =- ° г(х) -ь С,. [На деле правило 1П есть весьма частный случай правила замены переменной в неопределенном интеграле, о чем будет речь ниже, 268.1 267. Примеры.
[ (бхв- Зх+5) ах. Пользуясь правилами П и 1 (и формулами 3, 2), имеем (бхв-Зх-Ь5) ах= [ бх'сУх- [Злах-Ь [ 5ах=- 3 =-б [хвдх — 3 [ хдх-",5 [ах= тхв- — х'1 ЗхФ С. 2 таким образом, это выражение является первообризной функцией для последнего дифференциала, ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
