Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 15
Текст из файла (страница 15)
5х~+ 1 )Гзх .Р[ Интегралы от выражений типа (4) вообще называют эллиптическими [в связи с тем обстоятельством, что впервые с ними столкнулись при решении задачи о спрямлении эллипса, 331, 8)). Впрочем это название, в точном смысле„относят обычно лишь к тем из них, которые не берутся в конечном виде; другие же, вроде только что приведенных, называют псевдоэляиптическими.
Изучение и табулирование (т. е. составление таблиц значений) интегралов от выражений (4) при произвольных коэффициентах а, Ь, с, ..., разумеется, затруднительно. Поэтому естественно желание свести все эти интегралы к немногим таким, в состав которых входило бы по возможности м е н ь ш е произвольных коэффициентов (параметров). Это достигается с помощью элементарных преобразований, которые мы рассмотрим в последующих пп'. 291.
Вспомогательные преобразования. 1'. Заметим, прежде всего, что достаточно ограничиться случаем многочлена 4-й степени под корнем, ибо к нему легко приводится и случай, когда под корнем многочлен 3-й степени. Действительно, многочлен 3-й степени ахх + +Ьх'+сх+Ь с вещественными коэффициентами необходимо имеет вещественный корень (82), скажем, 2 — и, следовательно, допускает вещественное разложение ахе Ф Ьхз + сх -~.
д = а(х — 2)(хе ч р х ч- д). Подстановка х — 2 =-ге (или х — 2 =- — гз) н осуществляет требуемое при- ведение ) Я(х,)гахх-~. )ах — — ~Я(г'+2, Р/а[4-[-...)2[й. Впредь мы станем рассматривать лишь дифференциалы, содержащие корень из многочлена 4-й степени, 87 арц т к эллиптичнскив инги Рллы 2'. По известной теореме алгебры, многочлен четвертой степени с вещественными коэффициентами может быть представлен в виде произведения двух квадратных трехчленов с вещественными же коэффициентами: ах'ьЬхзоЬхз-~ дх ье=а(хз-грх ~ ())(хз+р'ход'). Постараемся теперь надлежащей подстановкой уничтожить в обоих трехчленах сразу члены первой степени. Мы имели уже дело с подобной же задачей в 284, П1 (б).
Если р=р', то наша цель достигается, как указывалось, простой подстановкой х=г — —. Пусть теперь р: р', в этом случае мы вос- 2' пользуемся, как и выше„дробно-линейной подстановкой ггг+ у х= —. г+) ' Возможность установить вещественные н притом различные значения для коэффициентов )г и г, как мы видели, обусловлена неравенством И- Л-(р-р')(р'г1-И) О. (б) Мы уже доказали это неравенство в предположении, что один из рассматриваемых трехчленов имеет м н и м ы е корни, н это играло существенную роль в наших рассуждениях. Пусть же теперь трех- члены (5) оба имеют вещественные корни, скажем, первый — корни а и р, а второй — корни у и д. Подставляя р= — (а+р), у=а)5, р'= — (уч б), д'=уй, можно переписать (б) в виде (а -у)(а — д)(/3-у)(р — Ь) О, (б') а для осуществления этого неравенства достаточно лишь позаботгггься, чтобы корни трехчленов не перемежались (например, чтобы было а (г у~6), что в нашей властии.
Таким образом, надлежаще выбрав )г и в, с помощью указанной подстановки мы получим е Заметим попутно, что представление неравенства (б) в форме (6') может быть использовано для доказательства его и в тек случаях, когда корни а, Р, . невещественны. Если лишь первый трекчлен имеет невещественные, т. е, комплексные сопряженные корни а и р, а числа у и д веществеины, то множители а — у и Р— у будут сопряженными, так что ик произведение будет, как известно, положительным вещественным числом; то же относится и к множителям а-р и Р-д. Если же как корени, р, так и корни у, д суть попарно сон раж енные комплексные числа, то сопряженными же будут множители а — у и р- д, а также а-д и й-у, и ик произведения снова дадут положительные вещественные числа.
88 ГЛ. Ч1П. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ что можно также (если исключить случаи вырождения, когда какой- либо из коэффициентов М, сч', М', с(с' оказывается нулем) переписать в виде ~Я(, ~А((. Х(- В) й, при А, т и пс' отличных от нуля. 3'. С помощью соображений, совершенно аналогичных тем, которые были применены в начале и' 234, можно свести этот интеграл, с точностью до интеграла от рациональной функции, к такому: я*(с) сагсагчатпгч Разложим теперь рациональную функцию Я*(с) на два слагаемых и'(с)+и (-с) Я*(с)- л*(-с) Я"(с) = г — + — — — —— 2 Первое не меняет своего значения при замене с на — с, следовательно сводится к рациональной функции от с'.
Я,(сз); второе же при указан ной замене меняет знак, а потому имеет вид Я (сз)с а. Рассматриваемый интеграл представится в форме суммы интегралов Я,(с') Ас Г Я,(с')с Ас (СА(1+юг')(1+из'СГ) 3 )/А(1Ч-сиг')(1+лГС*) Но второй из них подстановкой и= Се сразу приводится к элементарному интегралу 1 Г "1 (а) аа ссгсйт ю+ и н берется в конечном виде. Таким образом, дальнейшему исследова- нию подлежит лишь интеграл Я,(с') Ас (7) саггй'ИГ № ') ' 29№.
Приведение к канонической форме. Покажем, наконец, что каждый интеграл типа (7) может быть представлен в форме пг-э№-№*ч где lс есть некоторая положительная правильная дробь: О се к). Назовем эту форму канонической. Положим для краткости г=ЩТ+ аз~+ ' Ч. * Ср. замечания по аналогичному поводу в 28б. Ф ь эллиптические интеГРАлы Ь Ьг=г, где О«г.
1 нли г=- —, Ь' Тогда Ь' так что за Й здесь следует принять — . Ь ' 2) А=+1„т= — Ьз, т'=Ь" (Ь, Ь' 0). Для того чтобы радикал 1 имел вещественные значения, ограничимся значениями 5 „-. Пола- гаем Ь|=)~1-г~, где 0 .г~1. Тогда 45 ! ~/ И МОЖНО ВЗЯТЬ й= Ь' )ГЬ'+ЬЧ 3) А= -Р1, л5=ЬТ, т'=Ь" (Ь Ь' О). Изменение г ничем не стеснено. Полагаем Ь! = г )г1-г' где Оя«1.
Б этом случае 1) ! Ь':Ь" Ь ~1 (1 — т') ~1 — — г') ы УЬ'-Ьж и Ь= — —. Ь 4) А= — 1, в5= — Ь', Л5'=Ь'5 (Ь, Ь' 0). Изменение г ограничено ие- 1 равенством г —, Берем Ь' Ьг=- -- -, где 0 -з 1, 1 )ГГ:т' ' Не умаляя общности, дозволительно считать здесь А = ~1; кроме того, для определенности ограничимся положнтельнъпии значениями и Рассмотрим теперь различные возможные комбинации знаков А, л5, Л5' и укажем для каждого случая подстановку, непосредственно приводяшуго интеграл (7) к канонической форме.
1) А=+1, т= -Ьз, 5л'= — Ь' (Ь Ь' -0). Для того чтобы радикал 1 1 имел вещественные значения, нужно, чтобы было г. — или г Полагаем 1гоз гл. тш. пиввооьеазная отнкция так что и /с —— Ь )'ь".ьь" ' 5) А=- — 1, т= — Ь', т'= — а'г (Ь Ь' -О). Переменная 1 может из- 1 1 меняться лишь между — и —,. Полагаем ь ь'' Ьа-Ь' Ы=~1 —, г'-, где О г«1. Имеем Л ~/ (1-г') ~1- — г') и /с= . Этим исчерпываются все возможные случаи, ибо 11ьч — ьн Ь в случае, когда А= — 1 и оба числа т, т' О, радикал вооб1це не мог бы иметь вещественных значений. О множителе Я,Ог) мы не говорили ничего, ибо во всех случаях он, очевидно, преобразовывался в рациональную функцию от г'.
Отметим еще, что, рассматривая интеграл (8), мы можем огра- 1 ничиться значениями г 1; случай г — приводится к этому подста- 1 в новкой йг=-, где (' 1. 293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го н 3-го рода. Теперь остается изучить простейшие из интегралов вида (8), к которым могли бы быть сведены в с е интегралы этого вида, а следовательно„в конечном счете, и все вообще эллиптические интегралы. Выделим из рациональной функции Я(х), фитурирующей в подинтегральном выражении (8), целую часть Р(х), а правильно-дробную ее часть разложим на простые дроби.
Если не обьединять сопряженные комплексные корни знаменателя (как мы это делалн в 274), а рассматривать их порознь, подобно вещественным корням, то Я(х) представится в вндс суммы степеней х" (л=О, 1,2, ...) и дробей вида 1 (т= 1, 2, 3,...), где а может быть и мнимым числом, умно(х- ауа женных на числовые коэффициенты. Отсюда ясно, что интеграл (8), в общем случае, является линейным агрегатом следующих интегралов: г'" иг ) (1 — г~)11 — Рг)) 1-пкг, ...) звз) «а эллиптичаскиа интвгРАли Остановимся па интегралах 1,. Если проинтегрировать(легко проверяемое) тождество [ з — з)У(1 за)(1 Ус«за)з т(2и З)зп «)У(1 з«)(1 Ус«к«) ь 2Й с«- ((«~+1)г (2п — 1)уссг~ — (2п — 2)(Ы+ Ъ)спс с+(2п- 3)спс «ззп — 3 )((1 — и')(1- Угспс) )с(! -г')(1 — Ус*я') то получится рекуррентное соотношение (2и — 1)оп - (2и — 2КУс' «- 1)1п- с + (2и — З)Еп- з = зз п-з)У(1 з«)(1 Ус«зТ) (9) связывающее три последовательных интеграла 1.
Полагая здесь и = 2, выразим 1 через 1, и 1,; если взять и=З и вместо 1, подставить его выражение через Еп и Ет, то и Е«выразится через зти интегралы. Продолжая так дальше, легко убедиться, что каждый из интегралов 1„(и 2) выражается через Е и 1, и даже, учитывая (9), можно установить и вид связывающей их формулы где кп и ф„— постоЯнные, а с)з„з(х) есть н е ч е т н ы й многочлен степени 2и-3. Отсюда ясно, что если Р„(х) есть многочлен и-й степени от х, то =а~ ~ р1, и гД,,(з') 1(1 — я')(1 — Ус'з')„(10) )У(1 — г')(1 - Ус«г«) где и и З вЂ” постоянные, а Д, з(х) есть некоторый многочлен (и-2)-й степени от х. Определение зтих постоянных и козффициентов много- члена Д может быть произведено (еслн многочлен Р конкретно задан по методу неопределенных коэффициентов (ср.
284, 1]). Заметим, что из (9) можно было бы выразить через Е„и 1, интегралы 1 и прн отрицательных значениях (и= — 1, -2,...), так что в интегралах Н,„достаточно ограничиться случаем а~О. Переходя к интегралам Н (скажем, при вещественных а), подобным же образом установим для них рекуррентное соотношение (2т — 2) [ — а ь (Уса ч 1) а' — Ус«а« ")Н,„— — (2т- З)(1-2а(Ус«+ 1) гЗУсгсР) Н, « - (2«и — 4) [(Ус«+ 1) — ЗУс«а) Н„- (2т — 5)Ус«Н,п =,. '„,;=,)У(1-з«)(1-йпз«), 92 1292 ГЛ. ЧШ, ПБРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ справедливое и при отрицательных и нулевом значениях т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
