Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что в с е г д а 1» г-в 1 1» При выполнении его, очевидно, их общее значение и дает величину определенного интеграла. Новая форма условия имеет некоторое преимушества перед прежней. Для того чтобы убедиться в равенстве интегралов Д а р б у, лостаточно устаиовитгч что неравенству при произвольном е удовлетворяет х о т ь о д н а пара сумм з и 5. Действительно, в силу (5), тогда будет также 01»я»-! е, откуда, ввиду произвольности е, и вытекает требуемое равенство. Легко сообразить, как в соответствии с этим может быть облегчено и условие интегрируемости, высказанное в предыдущем и' [см.
3)1. Это воотношение позволяет высказать критерий существования интеграла в следующей форме [ср. 297): Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы нижний и верхниь" интегралы Дар б у были между собой равны 1202 108 гл. !х. Опееделвнный интьгввл б 2. Свойства оиределеннык интегралов 302. Интеграл по ориентированному проме»кутку. До сих пор, говоря об «определенном интеграле в промежутке от а до Ь», мы всегда подразумевали, что а. Ь. Устраним теперь этс стеснительное ограничение.
С этой целью мы, прежде всего, устраним понятие направленного о или ориентированного промежутка. Под ар ие н т ар о в а н н ы м промежутком [о, Ь! (где может быть и а«Ь и а Ь) мы будем разуметь множество значений х, удовлетворя«ои1их неравенствам, соответспменно, а:-х -=Ь или а~хи Ь и распололсенных или упорядоченных от а к Ь, т. е. в порядке возрастания, если а .Ь, или убывания, если а. Ъ. Таким образом, мы различаем промежутки [а, Ь[ и [Ь, а1: совпадая по своему составу (как числовые множества), они разнятся по направлен и ю. То определение интеграла, которое было дано в 295, относится к ориентированному промежутку [а, Ь~, ио лишь для случая, когда а .Ь.
Обратимся к определению интеграла в ориентированном промежутке [а, Ь[, в предположении, что а -Ь. Можно повторить для этого случая обычный процесс дробления промежутка путем вставления точек деления, идущих в направлении от а к Ь: а=-х,=х,- хе=... »х;.-х«+,-- .. х„=:Ь. Выбрав в каждом частичном промежуп«е [х;, х!«21 по точке с«, так что х«~$«-х«+„составим интегральную сумму »-! гле — на этот раз — все «1х«=х! »-х,. О. Наконец, предел этой суммы при в=шах ~«зх,~ -0 и приведет нас к понятию интеграла ~ 1(х)««х=!ип о. л-о « Если для промежутков [а, Ь[ и [Ь, а) (где а Ь) взять те же точки деления и те же точки Ь, то отвечающие им интегральные суммы будут разниться лишь з н а к а м и. Отсюда, переходя к пределам, получаем такое предложеиие: Зов! !09 Л СВОЙСТВА ОПРГЬДРЛВННЫХ ННТВГ'РАЛОЯ 1'.
Если Лх) интегрируема в про,иежутке [Ь, а], то она интегрируелга и в промежутке [а, Ъ], причем ~ у(х) г(х =- — ~ Ях) гКХ. Вггрочем, можно было бы именно зто равенство принять за о п р еь деление интеграла ~ прн а.=Ь в предположении, что интеграл а а .! существует. ь Заметим еще, что по определению же полагают а ]Ях) а>х=О. а 303. Свойства, выражаемые равенствами, Перечислим дальнейшие свойства определенных интегралов, выражаемые р а в е н с т в а м и*. 2'.
Пусть у'(х) интегрируема в наиболыиела из промежутков [и, Ь], [а, с] и [с, Ь]'а. Тогда оно интегрируема в двух других, и имеет место равенство с ь ~ Дх) >(х = ']](х) Йх е ]' Ях) агх, каково бы н~ было взаимное расположение точек а„Ь и с. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим сначала, что а «с Ь и функция интегрируема в промежутке [а, Ь]. То, что функция интегрируема в промежутках [а, с] и [с, Ь], следует из 299, П1. Рассмотрим разбиение промежутка [а, Ь] на части, причем точку с будем считать одной из точек деления.
Составив интегральную сумму, будем иметь (смысл обозначений ясен) с ь ЕЛА =-.л,у(Ь)г) . ! .л у'(б)2( .. ь ' Здесь и впрсдгч если речь идсг сб интеграле~, мы считаем возможным а (при от су ге твин спспиальиой оговорки) оба случая: а Ь и а Ь. "Вместо этого можно было бы предположить, что фуи>пгил Г(х) иитсгрирусма в каждом иэ двух мсиыпих промежутков: тогда сна была бы интсгрирусма и в большем. 1304 ЬЮ Ь Л. !Х. ОЬ!РЕДЕЛЕЬЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ Переходя к пределу при 2 О, мы и получим требуемое равенство.
Другие случаи расположения точек а, Ь, с приводятся к этому. Пусть„например, Ь «а- с и функция у(х) интегрируема в промежутке [с, Ь), или — что то же ввиду 1' — в промежутке [Ь, с|. В этом случае, по доказанному, будем иметь а с ~ ~(х) Г(х =- ~' Ях) сьх.ь ) 1'(х) Фх, Ь Ь а откуда, перенося первый н второй интегралы из одной части равенства в другую и переставив пределы (на основании свойства 1"), придем опять к прежнему соотношению. 3'.
Если у(х) типегрируема в промежутке [а, Ь1, то и 1с1(х) (где сс=сопе1) также иитегрируема в этом промежутке, причем ~ )ГДх) Ых = 1с ~ 1'(х) ь)х, а а 4'. Если 1(х) и е(х) — обе иптегрируемы в промежутке [а, Ь], то и Э(х) ~фх) также иитегрируема в этом промежутке, причем Ь Ь Ь ~ [1(х)+е(х)1 ь(х= ~~(х)ГЬ"; [ е(х)Ых. В обоих случаях доказательство строится аналогично, исходя из интегральных сумм и переходя к пределу. Проведем его, например, для последнего утверждения.
Разобъем промежуток [а, Ь) произвольно на части и составим интегральные суммы для всех трех интегралов. При этом точки Ь; в каждом частичном промежутке выбираем произвольно, но для всех сумм одни и те же; тогда будем иметь ~ [1(3ь) ~ у(Ьь)]г)хь = ~,"ЯСь)Ах; ~ ~фЬь)г)х,. Пусть теперь 2 О; так как для обеих сумм справа пределы существуют, то существует предел и для суммы слева, чем устанавливается ннтегрируемость функции Ях) ~фх). Переходя в предыдущем равенстве к пределам, приходим к требуемому соотношению. Замечание.
Обращаем внимание на то, что при доказательстве двух последних утверждений не было надобности опираться на предложения 299, 1 и 11: ннтегрируемость функций Й с(х) н Х(х) 1е(х) устанавливается непосредственно переходом к пределу. 304. Свойства, выражаемые неравенствами. До снх пор мы рассматривалн свойства интегралов, выражаемые равенствами; перейдем теперь к таким, которые выражаются неравенства ми.
зоь) ь е сноастВА ОНРеделенных интеГРАЯОВ 5'. Если функция ь'(х), интегрируемая в промежутке [а, Ь), неотрицательна и а. Ь, то ь ~ 1(х) еьх~О. и Доказательство очевидно. Труднее доказать более точный результат: Если функция у(х), интегрируемая в промежутке [а, Ь), положительна и а~Ь, то ь ~ 1(х) ь1х О. а Доказательство проведем от противного. Допустим, что ь ) 1'(х)дх=О. а Тогда при 2-0 и верхняя сумма Д а р б у 5 также стремится к нулю [297 (7)). Взяв произвольное е, О, можем сделать эту сумму меньшей чем е,(Ь вЂ” а). при этом хотя бы одна из верхних границ мь окажется меньшей е„иными словами, найдется в [а, Ь) такая часть [а„Ь,), в пределах которой в с е значения Ях) е,.
Так как и ь, ) г'(х) аьх= О*, а, то, аналогично, нз [а„Ь,) выделится часть [а„ЬВ), в пределах которой Лх). е, где еа — любое положительное число . В„и т. д. Взяв последовательность положительных чисел еь О, можно определить такую последовательность вложенных один в другой (и — если угодно — убывающих по длине до О) промежутков [а„, Ьь), что О .Ях) е„, если аь ах~ЬВ (к=1,2, 3, ...). * Действительно, но 2'. ь а, ь, ь а, ь ) =)+~Е~ и,танкан ~аао, )но, а а а, Ь, и ь, то ь, ь Ож~~ ~~ = О.
и, а Гл. гх. Оггеедгшвнный интвгелл Тогда по лемме и' 38 существует точка с, общая всем этим промежуткам; для нее должно быть О«Яс) ек при й«1,2, 3, . что невозможно, ибо ел О. Теорема доказана. Простым следствием отсюда (и из 4') является б". Если две функг>ии Ях) и 8(х) интегрир>елгы в промежутке (а, Ь) и всегда Ях)- я(х) (или Ях) я(х)), то и а ь 6 а ~Ях)Их=~ я(х)Их [или )Ях)дх«. ~я(х) ггх~ п а а а в предположении, что а=Ь. Нужно лишь применить предыдущее свойство к разности 8(х) — Ях).
Так же легко получаетсж 7'. Пусть 4ункг>ия Ях) иггпгегрируема в прол. о;гггпке [а, Ь] и а Ь, пгогда имеем неравенство ' ,)Ях)Ых !.=-~ )Ях))Их. а а Существование последнего интеграла следует из 299, 1. Свойство б' примсняем затем к функциям — )Ях)1«Ях) «)Дх) !. Впрочем неравенство легко получить и непосредственно, исходя из интегральных сумм" ~ Ллсг)Лхг~ -.г 1>'(Ег) ~ Лл; и переходя к пределам. 8'. Если Ях) интегрируема в (а„Ь), где а«Ь, и если во всем этом пролгежутке имеет место неравенство то т(Ь вЂ” а) — ) 1(х) с> Ы(Ь вЂ” а) г Можно применить свойство б' к функциям т, Ях) и М, ио проще непосредственно воспользоваться очевидными неравенствами т~Ахг- .г,'>(сг)Лхг- Ьг,г,'Лхга и перейти к пределу.
* Так как и=6, то асс 1х; О. ыз 304! а Х СВОЙСГВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Доказанным соотношениям можно придать более удобную форму р а в е н с т в а, освобождаясь в то же время от ограничения а «Ь. 9'. Теорелвп о среднем значении. Пусть у(х) интегрируема в [а, Ь) (а Ь) и пусть во всем этом промежутке т«У(х)«М; тогда ~ у (х) й; =р(Ь вЂ” а), а где т-р М. Доказательство.
Если а«Ь, то по свойству 8' будем иметь т(Ь вЂ” а) ) 3'(х) дх«М(Ь вЂ” а), откуда т«а — ~у(х) ах«М. 1 Ь-а а ПОЛОЖИ — ) у(х) «й = р, а получаем требуемое равенство. а Для случая, когда а Ь, проводим ож ок рассуждение для ~, а ь затем, переставив пределы, приходим к прежней формуле. Только что доказанное равенство принимает особенно простой внд, когда функция у'(х) непрерывна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
