Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1Х. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ а+Ь Если поло:кить а,, Ь,=)[аЬ, то 2 л '3 ««з С= с(з« о г ' ' «' гкссрт «'л ' о 1 Это и есть формула Г а у с с а. Применяя это преобразование повторно, получим, что сз С== ~р (л== 1, 2, 3, ...), о л [Гая сор р «Ьз ыпз 9« л где варианты о „Ь„определяются рскуррентными соотношениями а,,-1-Ьл ал=, Ьл= 1ал-«Ьл — « ° 2 Мы уже знаем [35, 4), что эти варианты стремятся к некоторому общему пределу д р(а, Ь), который мы назвали«средним арифметика-геометрическимл чисел а и Ь.
Из лепсо получаемых неравенств л л †.С 2а, 2Ьл переходя к пределу, находим тспергь что С=л«2д(а, Ь), откуда д(а, Ы= л«2С. Таким образом, каждое из чисел С и д просто выражается одно через другое. Пусть, например, требуется вычислить интеграл «'з гз С- 18 ~,(В ~! Ч-соз«В " [«2соз«0+а!п«8 о о Здесь а = [Г2 и Ь = 1; варианты а, и Ьл, определенные выше, стремятся к д б ы с т р о: уже а, и Ь оба приближенно равны 1,198140, и можно д положить равным этому числу. Тогда получаем приближенно С вЂ” = 1,31! 0288. 2д Обратно, интеграл С приводится к п о л н о м у * эллиптическому интегралу первого рода ( 1О:Ь~ ! — — з1п«Е а' о и легко мохсет быть вычислен по таблнпам; а уже отсюда получается р, * Полными называют интегралы Г(/с, р) н Е(/с, й) Лежандра [293, 305[ при 9« =.л121 в этом случае в их обозначении обычно опускают второй аргумент и пшпут К()с), Е(/с). Лля полных интегралов существуют особые таблипы.
1 1. Вычисление Определенных интеГРАлОВ Рассмотрим теперь полный эллиптический интеграл первого рода втз бр К(/г) )/1-Ыяп'р о прн любом значении модуля л он получается из б при ь=)/Г:Р=ь. Желая применить к нему формулу Г а у с с а, вычисляем прежде всего 1+)/!-Ь1 14Ь' 2 2 )л1 — Ь; .1-2 а, 1ЕЬ' 1 —.=! Еам Лэ так что в,2 /2 = 1--2 г/е =(1+/,) ~ )%-2'2/л'р " )/1-~',2!и!в е о К(/с) = (1+/гг,)К(/с,).
Эта формула, равносильная формуле Г а у с с а, на деле была получена до Г а у с с а и представляет частный случай так называемого преобразования /)алдена (Гапдеп). Последовательно применяя ее, получим к®-(!+21)(1+22)...((-ьел)К(а„), где вариант /г„определяется индуктивно 1-)/~ -Ц:; /гл =- 1+ //1 — /(„' 1 так что О /г„! и /с„ /гв „чем обеспечивается б ы с т р о е стремление /г„к О при л- . В то же время гсз /2 л ~' бр л ~1-)г1-Йяпзр л 1-)/1-/4 О К(/г )--=- 1 — — = 1 — ' бр-— ./ )/1-/1вез)пгр 2 ./ )/(-~вез(пгр 2 )/1-/Ь с о откуда К(/г„) — — при и -- и, наконец, 2 К(/с) = — 1(ш (1+/гз)(! Е/1,)... (1+/г„). 2 в- (1 О) Па этом основывается метод приближенного вычисления интеграла К(Л), который — пря достаточно большом л — попросту полагают равным к(ь) =.-(1+ а,)(! +аз)... (1+ь.).
2 316. Другой вывод формулы замены переменной. Мы дадим теперь другой вывод формулы (9) при измененных предположениях. Прежде всего (и зто — самое важное) мы ие станем предполагать функцию /(х) непрерывной, а только лишь интегрируемой, 1316 144 ГЛ.
1Х, ОНРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ Зато от функции у(1) мы дополнительно потребуем, чтобы при изменении 1 от а до р она переходила от значения а= р(а) к значению Ь = =9(Р), м о н о т о н н о изменяясь. Для определенности допустим, что а Ь и а р, так что функция ~р(1) монотонно возрастает. Разобьем промежуток [а, р1 произвольно на части с помощью точек если положить х;=у(О) (1=О, 1,2, ...,Л), то одновременно будем иметь с=-хе.<х] хз ...
~х1~х;.~.~ ... ~хп=Ь. Если наибольшая из длин ЛО=1ьн — 1; (обозначим ее через 2) стремится к нулю, то ввиду (равномерной) непрерывности функции х= =у(1) то же будет справедливо относительно наибольшей из длин Лх;=х;„.„-Х,=|р(1РИ) — ~р(б) [см. 87). Возьмем теперь по произволу число т1 в каждом промежутке [б, 1И ) и составим интегральную сумму для второго пз интегралов (9) с = ~Яр(т,) ) Р'(т,,) Л1н с Положим ЮГ=В(т;), так что х, $; х,„, Если к функцпи 9(1) в промежутке [1Н Ь„.,) применить формулу конечных приращений, то получим ЛХ;=х;,, — х1=9(1РН)- РОЬ) =е'(т1) Л1Н где также О т1«О+„но т; (нам не известное) вообще отлично от наудачу взятого значения т,.
Вместе с тем интегральной сумме для первого из интегралов (9) д.= ~Я,",) Лх, ! теперь можно придать внд =ХУД(т))9'(т;) ЛО Эта сумма прн 2 О, очевидно, имеет своим пределом интеграл 1 Дх) Ых. Для того чтобы гюказать, что к тому же пределу стремится а и сумма о, достаточно установить, что разность с-д стремится к нулю. Задавшись произвольным числом е -О, ввиду (равномериой) непрерывности функции у'(1), можно найти такое Ь О, чтобы при 2~Ь выполнялись неравенства Ит,)-9'(т;)! е 145 3171 1 к пРиложения Определенных интегРАлон [см.
87, следствие[. Тогда [и — о[ г ~[/((Р(т())[[(Р'(т() — (РГт()[г)(( .2(/т-к)ег ( если через Т. обозначить верхнюю границу для [/'(х)[ и сумму ~251 заменить через /) - а. Ь Теперь ясно, что при 1-0 сумма и стремится к пределу ) /(х)(/х, 2 а а это значит, что существует интеграл [у((г(/))7('(1)с/г иимеет место формула (9). Доказательство завершено. Замечание. Подчеркнем особо, что на основании доказанного простые и часто полезные формулы, установленные в упражнениях 8), 9)„10) п' 314, распространяются теперь на случай любой и н т егрируемой функции Дх).
8 4, Некоторые приложения определенных интегралов 317. Формула Валлнса. Из ([зормульг (8) л' 312 легко вывести знаменитую формулу Вал лиса (1. Й(ай!2). Предполагая О«х и/2, имеем неравенства 21пм+гх 2)п'пх мп'и — 'х. Проинтегрируем зги неравенства в промежутке от О до л/2: п(2 п(2 п(2 2!пгп+г х (/х ~ мп'п х (/х ~ 2)пги ' х их. о о о Отсюда, в силу (8), находим 2иП (2л-1)П л (2п-2)П (2 + 1)П 2 П 2 (2 — 1)П 2пП 2 1 г( [ 2ий 2 1 (2и — 1)81 2п-(-1 2 1(2и — 1)П1 2а Так как разность между двумя крайними выражениями 1 [ 2пП )2 1 л 2п(2л.(-1) 1(2п-!)П[ 2п 2 очевидно, стремится к О при и, то и/2 является их обшим пределом. Итак, 2 и — [(2п — 1)П! 2п41 л , 2 2 4 4 ...
2и 2и — - !йп 2 и†1 3 3 5 ... (2л — 1)-(2п + 1) Это и есть 25орл(ула В а л л и с а . Она имеет исторнческий интерес, как первое представление числа л в вице предела легко вычисляемой рацяональной варианты. В теоретических исследованиях ею пользуются и сейчас [см., например, 406). ГО Г. М. Фпхго~гольп, т. П [318 146 1"л, 1х, ОНРнднленный интпгРАл Для приближенного вычисления числа л теперь существуют методы, гораздо более быстро ведушие к цели [410]. 318.
Формула Тейлора е дополнительным членом. Положим в обобщенной формуле интегрирования по частям (7) [311] с=(Ь-х)". Тогда и'- — (Ь-х)" — ', и"= л — 1)(Ь вЂ” )" (а) ( Пал(л П ! ь(а,1) О. лри х Ь все функции с, с', ..., е(а ') обращаются в нуль. Пользуясь для и, и', и", ... функциональным обозначениемДх),7'(х),у "(х), ..., перепишем (7) в виде и! 0 = ( - ! )а~~ и! [(Ь) - и!)(а) — л)7"'(а)(Ь вЂ” а) — — '/"(а)(Ь вЂ” а)» —... — Яа)(а)(Ь вЂ” а)а ~+ 2! ь 4(-1)" ю ~)<а+')(х)(Ь вЂ” х)" г(х. а Отсюда получается формула Т е й л о р а с дополиительн1ала членом в аиде определенного интеграла а т '(а) у"'(а) )(а)(а) ! ](Ь) -У(а) Ч- — (Ь вЂ” а) Р— - (Ь вЂ” ар Р ...
+ (Ь - л)а+ — у! )та а)(х)(Ь - х)а г(х. 2! и'. и! а Переходя к обозначениям лп' 124 — 126, заменим здесь Ь через х, а через ха: у'(ха) у"(ха) у(а)(х,) Лх) =т(ха)-Г - - (х — ха) 4 (х — ха)аЧ-... + ' (х-х)" + 1! 2! и! 1 г 4 — [ у'(а ю)П)(х — с)" г(г. л! «а Новое выражение для доповнительного члена, в отличие от изученнь1х в 124 и 126, не содержит никаких неизвестиык чисел. Если угодно, из этого выражения можно было бы вывести и уже знакомые иам фюрмы дополнительного члеяа.
Например, воспользовавшись тем, что множитель (х-1)" подинтегральной функции не меняет знака, можно применить к последнему интегралу обобщенную теорему о среднем [304, 10'] х х ! г 1 г г(л+')(с) г(а~-О(1)(х г)а 1 1(аа1)(с) (х г)а 41 . (» )ааг л! и! (л+1)! а х где с содержится в промежутке [х„х]. Таким образом, мы вновь получили лагран- жеву форму дополнительного члена. 319. Трансцендентность числа е. Та же формула (7) и' 311 может послужить отправным пунктом для доказательства одной замечательной теоремы Э р м и т а, относящейся к числу е. Все вещественные (а также и вообще комплексные) числа распределяются на два класса — а л ге б р а ич е с к и е и т ран сцен де н тн ые. Число называется а л г е б р а и ч е с к и м, если оно является корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами (очевидно, не умаляя обшности, эти 147 310] 1 4.
пРилОжения ОпРеделенных интегРАЯОВ коэффипиенты можно считать целыми); в противном случае число называют трансцендентным. Примером алгебраического числа может служить любое рациональное число или иррациональное число, выражающееся через рациональные в радикалах: 11 1~ число — — служит корнем уравнения 17хь 11 =О, а число 1 1 4-])2 — корнем 17 уравнения хе — Зх4.1-3хг — 3 = 0 и т, д, Зрмит установил, что е является тра исяеиденшным чисяои*. Мы приведем доказательство этой теоремы. Допустим, что е служит корнем уравнения с,+с,еас,е'Ь... +смем=О, где все коэФФициенты с„, с,, ..., см — целые числа. Пусть в формуле (7) л) ЗП и=Дх) будет произвольный многочлеи л-й степени, а с = ( — 1)" 'е "; тогда, если взять а = О, зта формула примет вид ~ ((х)е 44(х=- — е х]Г(х)4-7'(х)4-... Ч/4")(х)]1 так как 7(лм)(х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
