Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Увеличивая степень Ь интерполяционного многочлена, т. е. проводя параболу (3) через все большее число точек данной кривой, можно рассчитьеать добиться большей точности. Но более практичным оказывается другой путь, основанный на сочетании идеи параболического интерполирования с идеей дробления промежутка. 325] 159 1 э.
НРиБлижнннон Вьгчисление интеГРАлов Она носит название формулы Сил2лсаяа (Т!ь б!шрэоп); этой формулой пользуются для приближенного вычисления интегралов чаще, чем формуламя прямоуголь- ников н трапеций, ибо она — при той же затрате труда — дает обычно более точный результат. г г)х Для сравнения вычислим снова интеграл ] — [см.
322] по ф о р м у л е 1-1-х' е С и м п с о н а . Мы возьмем л = 2, так что число использованных ординат на этот раз будет даже меньшим, чем раньше. Имеем (вычисляя на пять знаков) 1 х, !2 4' 1 3 Х,=-, Ха, = —; !2 ! ха — -0; ха = 1. уа = !' 4уг, = 3 76471! 2у2 = 1 6' еуа 2 = 2 56 уа =- 0.5. — (! а- 3,7647 ! -Р 1,6+ 2 56+ 0 5) = 0,78539...
1 12 — все пять знаков веРны! Конечно, по отношению к формуле (!О) могут быть повторены замечания, Сделанные в конце и' 322. К оценке погрешности приближенных формул мь2 СейчаС и переходим. 325. Дополввтельный член формулы прямоугольяяков. Начнем с фюрмулы (4). Предположим, что в промежутке [а, Ь] функция Дх) имеет непрерывные производные первых двух порядков. Тогда, разлагая 7"(х) [по формуле Т е й л о р а, .+ь 126 (13)] по степеням двучлеиа х- — вплоть до квадрата его, будем иьгеть 2 для всех значений х в [а, Ь] а-~-Ь гдов содержится между х и — — и зависит от х.
2 Если проинтегрировать это равенство в промежутке от л до Ь, то второй член справа исчезнет, ибо ь ~(х- — -- ) 2!х=б. а Таким образом, получаем 2 2 !] Э(х) 2!х=(Ь-а>[2[": )~-Р— ~Га(()2]х — — + ) 2]х, а а так что дополнительный член формулы (4), восстанавливаюшнй ее точность, имеет вид ь Р +'Я)~х- — — ) 2(х. а Обозначив через и и М, соответственно, наименьшее н наибольшее значения не п ре рыв ной функции у"(х) в промежутке [а, Ь] [Щ н пользуясь юем, чта ]З2б Гл.
1х. ОНРеделенный интеГРАл второй миогиитель иодиитегрального выражения и е м е и я е т э и а к а, по обобшевиой теореме о средвем [304, 1О'] можем написать ! Г ( а-1-Ь !е (Ь вЂ” а)е р= — 1»~" х- — — дх= — р, 2 "( 2 ] 24 а где р содержится между т и М.
По извеспюму свойству непрерывной фуикции [82], найдется в !а, Ь] такая точка бе, что р у'яь), и окончательно (Ь вЂ” а)г Р = У"(д'). (!2) 24 Замечание. Естественно было бы, разлагая фуикцшо у'(х) по степеням а+Ь х-, оборвать разложение уже иа первой степени этого двучлела, т. е. восполь- 2 зоваться формулой ((х)=у( — — - ) +(х — — ).ГЯ). Это привело бы лас, при ивтегрировавии, к равевству и ь у'(х)»]х-(Ъ-и)/~ — — ~+ г!»»Я) (х- — — ~ »(х, а а так что д оп о лип тельный ч лев выразился бы интегралом ь р= ~ у'(5(х- — "' — ) дх, содержашим лишь первую производную )'(х).
По здесь второй миояеитель иодинтегрального еыралеенил л» е и я е»н з и а к в промежутке [а, Ь], и првмелеиие обобшеииой теоремы о средпем — в целях упрошеиия выражения для р — оказывается невозможным. Продвижение в тейлоровом разложевии сше иа один член, в связи с равенством (11), обеспечило иам успех. Если теперь разделать промежуток [а, Ь] иа н равных частей, то для каждого частичного промежутка [хп хгь»] будем иметь т о ч и у ю формулу хм» Ь-а (Ь-а)' Х(х)»гх= — — Лхгь А) + у'(41*) (х1 41* х1+,). и 24нь к» Сложив эти равенства (при (=О, 1, ..., л — 1) почлеиио, получим при обычных сокрашевиых обозначениях ь Ь вЂ” а У(х) дх= — — (у»„+уе„'- "+у, А)+й, а где выражеиие 24и' и 16! 326) 1 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ и есть дополнительный член формулы прямоугольников (!).
Так как выражение У"(60) Ф " +Х"и*.,) также содержится между т и М, то и оно представляет одно из значений функцин ~а(х). Поэтому окончательно имеем (Ь- а)а В, = у"'(4) (ат4~Ы. (13) 24их 1 При возрастании и этот дополнительный член убывает примерно как — а. 1 и" Г аХ» Вернемся для примера к вычислению интеграла 5! -- —, произнеденному 1+х' 1 о Зх' — 1 в 322. Для подинтегральной функции г"(х) — - имеем )"(х)=2; эта 1+х' (1 Фх')' производная в промежутке (О, 1) меняет знак, но по абсолютной величине остается меньшеи 2. Отсюда, по формуле (13) ) мха ! 0,85 1О '. Мы вычисляли ордииаты ыа четыре знака с точностью до 0,00005; нетрудно видеть, что погрепгность от округления ординат может быть включена в приведенную выше оценку.
Истинная погрешносп., действитсльыо, меньше этой границы. 326. Дополнительный член формулы трапеций. Займемся теперь формулой (6) при прежних предположеыиях относительно функцки г(х). Воспользовавшись иытерполяционной формулой Л а г р а и ж а с дополнительным членом (129 (7)), можем написать (см. (5)) 1 /(х) .— Р,(х) ч — /"(ВКх — «К» — Ы, а л «Ь. 2 Интегрируя эту формулу от а до Ь, найдем г(а)+г(Ы 1 г г"(х) г(х =.
(Ь - а) -! — ~ у"(ВК»-«К»-Ы дх, 2 2« а а так что дополнительный член формулы (6) будет 1г „ р=- — ) у "(ЧКх — аКх — Ыа(т. 2а а Рассуждая, как вьппе„и пользуясь тем, что второй мио»гитеяь лодиитеграяьиой 16уггилии и здесь и а и сия от з и ахи, найдем ь 1 г (Ь- «)а р= — ("(гга) ~ (х — аКх — Ыдх= — /"(Ла) (а Л тЬ), 2 12 * Мы говорим: примерно, ибо и 5 может изменяться с изменением л. Это следует помнить и впредь. П Г. М Фаххая~ааьа, . П 162 Гл. 1х. ОпРеделенныЙ интегРАЛ Наконец, для случая деления пролгежутка на я равных частей (Ь- )е Кя - — — ег'(Е) (а-Е-Ы 12ле (14) 327.
Донезнштельвый член формулы Свмгкова. Обратимся, наконец, к 4юрмуле (8). Можно было бы, аналогично тому, как это было сделано только что, снова воспользоваться интерполяционной формулой Л а г р а н ж а с дополнительным членом ]129 (7)] и положить [см. (7)] У'"(ь) ( а 4ы Дх) =-Рз(х)+ — (х — а) 1х — - — -.) (х — Я (а с Я. (15) 31 г ) Но мы сталкиваемся здесь снова с таким положением вещей, какое имели в и' 325 (см. замечание). Именно, проинтегрировав равенство (15), мы не могли бы упростить интегральное выражение для дополнительного члена с помощью тео- а+Ы ромы о среднем, так каи вырахгеяие (х-а) ~х- — ) ° (х — Ь) е аадинтегральяай 2) и)уякции ухсе и е я я е т з и а х в промежутке [а, Ь]. Поэтому мы поступим иначе. Выражение афЫ Кз(х)+К(г — а) (х — — — ~ (х- Ы, 2 азЬ каково бы ни было число К, в точках к=а, — -, Ьпринимаетте же 2 значения, что и функция 7(х).
Легко подобрать теперь число К так, чтобы и и р о- афЬ , (а+Ы и з в о д н а я этого выражения при х = — совпадала с производной ~' ~ — ! . 2 Таким образом, при этом значении К, мы имеем в лице написанного выражения не что иное, как интерполяциояный многочлен Зрмита [130], отвечающий а+Ь простым узлам а, Ь и двукратному узлу "†. Воспользовавшись формулой Э р- 2 м и т а с дополнительным членом [130 (11)] — в предположении существовании для функции /(х) произаодиык до четвертого порядка включительно — получим: а-'.Ы 7('>(с) / а-~.Ы' Ях) =Рэ(х)4 К(х — а) ]х — - — ~(х — Ы-~- — (х — а)]х- — — ~ (х — Ь) (а ь Ь).
2~ 41 ~ 2~ Теперь проинтегрируем это равенство от а до Ь; мы найдем, что ~ ) ) ~'' (--~~ Ь-аг 7"(х) Ых= — ~Па)44/],— — )Ч.ЯЫ)+ — ~ Я)(С)(х-а) х — — -~ (х-Ы Ых, Таков дополнительный член фюрмулы трапеций (2). При нозрастании и он 1 также убывает примерно как —. Мы видим, что применение формулы трапеций лз приводит к погреганости того же порядка, что и для формулы прямоугольников. 8221 <65 1 5 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕН44Е ИНТЕГРАЛОВ так как 4 4 ( а~+Ь „~~ ~'~ а~6)~( афЬ ' (Ь-а)'1 если предположить производную Г"(4)(х) непрерывной, то, как и в предыдуших случаях, дополнительный член формулы (8) Р—.
— ~ /14)(3(х "а) х — — '- (х Ь) 4<х, 244' [ 2! и пользуясь тем, что второй множитель в иодиитеграиьиом выражеиии и е м е и и е т и и а и а, можно представить в такой формееч р = — ~(4)((4) [ (х - а) [ х - — ) (х - Ь) 4<х— и 4 — — 5<4)(ьи)~ ~х — — ) ~(х — — — — ~ ~дт - — ~<4)<~).
Если промежуток [а, Ь) разделен ла и равных частей, то — для йюрмулы С и ми с о н а (10) — получим дополнительный член в виде (Ь вЂ” а)' йи = — 11')Ы) (44-=8 Ь). (16) 180. (2и)4 ! При возрастании и это выражение убывает примерно как —; таким л' образом, 4юрмула С и мп с о н а действительно выгоднее двух предшествуюших формул. 4 Г 4<Х Обратимся снова к пршчеру интеграла ~ — -- . Для того чтобы избежать 1Рх' о вычисления четвертой производной, фигурируюшей в (юрмуле (16), мы заметим, 1 что функция 5(х) = — — сама является производной от у=-агс<йх, так что мы 1-1-х' можем воспользоваться готовой формулой из 116, 8).
В согласии с ней <'<4)(х)=-УН) =24созь г в<в 5 ~УЧ-- = 24сомг сов 5У; 2) " Если <(х) есть многочлен степени не выше третьей, то, очевидно, р обращается в О. Значит, для такого многочлена формула <8) будет то ч и ой (в чем легко убедиться и непосредственно). П 1328 ГЛ. !Х. ОНРЕДЕЛЕННЫО ННТЕГРАЛ это выражение, по абсолютной величине, не превосходит 24, так что по формуле 1 (16) 1лв~ — 0,0006. Истинная погрсшноствч как мы видели, значительно 1920 меньше этой границы. 3 а м е ч а н и е. На этом примере бросается в глаза, что граница погрешыости, найденная по нашей формуле, оказывается довольно грубой.
К сожалению — и в этом практический недостаток выведенных формул, — подобное обстоятельство встречается нередко. Тем ые менее именно с помощью этих формул, позволяющих все же оценивать погрешность наперед, можно осуществлять приближенное вычисление определенных интегралов, Обратимся к примерам.
2 гак 328. Примеры. 1) Вычислим интеграл ~ — — 1и 2 с точностью до 0,001, вох спользовавшись ф о р мул о й и р я м о у го л ь пик он. 1 2 Так как для 7(х) = — имеем О«у""(х) = — 2 (еслн 1м-:х 2), то по формуле (13) х хв 1 )тл 12лв 1 Если взять л = 1О, то дополнительный член нашей формулы будет Якв « — « 1200 0,84 ° 1О-'. Нам придется внести еще погрешпость, округляя значения функции; постараемся, чтобы граыипы этой ыовой погрешности разнились меньше чем на 1 0,16 10 '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
