Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

о Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим интег р а л о м 2-го рода [293, см. также 3(Щ как указывалосчь этот факт послужил поводом для самого лазваиия азллиптичсский». В частности, длина четверти обвода эллипса выражается через полиый эллиптический интеграл» г а ) [С! — с' я и' С ау = аЕ(г). о Длина же всего обвода будет 5 = 4аЕ(г). х Интересно отмеппь, п..о для длины одной волны синусоиды у=сял —, где Ь с= [Са-"-Ь! получается в точиости такой же результат. Геометрически это совпаде ние объяснить легко.

Вообразим прямой круговой пилипдр; в пересечении его поверхности с плоскостью, наклолиой к образующим, получится эллипс. Если разрезать поверхность цилилдра по образующей, проходящей через вершину малой оси, и развернут!в то обвод эллипса перейдет в синусоиду. Аналогично к эллиптическим интегралам (обоих родов) приводится и вычисление дуги г и п е р б о л ы . 9) Улитка: г=асозО+Ь. Здесь г,'= -аз(л О и 4аЬ О! М+ г „'' = а'+ 2аЬ соз О+ Ь' = (а+ Ь)! ~ 1 — ял' — ~ .

(аьЬ)! 2 Поэтому (при Ь . -а) для длины дуги от точки, для которой О = О, до точки с любым О л получим выражение в виде эллиптического интеграла (2го рода) г 4аЬ 0 , ц,)~)[ (а.»Ь)! 2 о Г1/ 4аЬ 12[СаЬ 01 -2(а+Ь)) ~ 1 — — япг с!(!= 2(а<-Ь)Е~ (аЬЬ)' +Ь 2) с Длина всей кривой выразится п о л и ы м эллиптическим интегралом: Ю 4(аб Ь)Е ~ — — - ) . (2 !'аЬ) +Ь)' ' См.

сноску на стр. 142. сз Г. М. Фнцгенгольц, г. П ПВ ГЛ. Х.ПРНЛОЖИНИЯ ННТИГРАЛЬЫОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1551 Однако для частного случая — к ар ди о иды (9=а) дело значительно упрощается. В этом случае В г' 4- го' = 4а' соз'— 2 так что (О~отл) В 6 з=2а ~соз — А6=4аз1п —. 2 2 о Если (рис.

1 1) из полюса О радиусом 2а описать дугу АЬ до пересечения с продолженным радиусом-вектором ОМ, то х о р д а АГ., очевидно, будет равна дуге з-АМ. Длина всей кардионды будет Ва. 1О) Лемниската: г'.= 2а' соз 26. Вычислим длину дуги лемннскаты от вершины, отвечающей 9=0, до любой л точки с полярным углом В«-. Имеем гго — — — Ъзз з(л 26, 2а' ял 26 откуда го-— г В таком случае 2а' а~2 )ггз 4- гоз =— '1'соз 26 и по формуле (59) о о з=а'(2 Г = а(2 ~ )гсоз26 „1 )'1-2 яо' В о о Рис. 11.

мы снова приходим к эллиптическому интегралу (1-го рода). Так как таблицы вычислены для интегралов„в которых множитель кз при яп' В меньше единицы, то прибегаем к замене переменвой. Положим 2зш'В=зшзр (так как л 9 —, то 2яп'В 1, и угол р отсюда определить действительно можно); тогда 4 1 1 ял В= — зшр, созВАВ= — созрАу, '1 2 '1'2 1 соя $О Ар АВ 'у 1 - 2 ялз р - соз р ~2 1--з(н'р 2 и окончательно ЗЗЦ 1 Ь ДЛИНА КРИВОЙ Полагая в предельном случае* 9 —, а р —, для длины четверти лемвискаты 4' 2 получим выражение через п о л л ы й эллиптический интеграл о [1 '1 длина всей лемиискаты будет 5=4аК ~ — 1.

М Замечательно, что задача спрямления дуги кривой столь часто приводит именно к эллвптическим интегралам. 11) В заключение приведем пример использования формулы для длины дуги при построении эв аль вен ты кривой [2бб]. Рассмотрим цепную линию. Если текущие координаты ее точки обозначить черезов, г) (применительно к обозначениям л'2%), а дугу ее, отсчитываемую от вершины, — через о, то уравнение кривой напишется в виве а=асЬ вЂ”, а а дуга представится йюрмулой [см. 1)] о=авв —. а Отсюда можно выразить 4 и ц непосредственно в функции от о: 8=а[]п(от [вэба')-1па1, о ]газ+а'. Теперь по формулам (17) и' 256, учитывая, что здесь [см.

(18)] а о б= —, нт])- —. ]Го'+ а' ]/о'~-а' можно написать параметрические уравнения произвольной эвольвенты а х = а [1п (о+ ]Го' Ч-а ) - 1п а1 + (с - о) —, ]/Ф-~ а' о у= ]/пэмза'~-(с-о) —. ]/оа 1-а* Остановимся на той нз эвольвеит, которая отвечает с=О; она исходит из вершины ценной линик и имеет в ней точку возврата (рис. 12). Исключая о, эгу кривую (называемую т р акт риса й) можно выразить и явным уравнением а+ '1'а'-у' ч Мы вынуждены рассматривать этот случай нмевво как предельный, перел л ходя в полученном выражении для г к пределу при В -- или р- —, так как при л 4 2' 8=- производная г„'= и формула (М) непосредственно неприложима. 4 ы [ззз > л ж ш нложення инты > лльно> о исчисления Если яопомангь выражение >отрезка касательной> [230 [4й —; [1+У >1=У 11~ — ), гп отсюда легко получи>>ч что г=о.

Этим выражено замечательное свойство грактрнсьс отрезок кало>олл>ноя для нее имеет постоянную величину>, Этот результат легко получается н непосредственно пз свойств пенной линни [ем. в 1) ее спрямяенне, рнс 91. Рне. 12. 332. Натуральное уравнение плоской кривой. Представление кривой с помощью уравнения между координатами ее точек (по отношению к какой-либо системе координат), несмотря на всю полезность такого представления, часто носит искусственный характер, поскольку координаты не являются существенными геометрическими элементами кривой. Такими существенными элементами, наоборот, являются д уг а кривой в, отсчитываемая в определенном направлении от некоторой начальной точки, и радиус кривизны лх (нли сама крив и з и а /г = — ~ (см.

250, 2511. 11 Для каждой кривой между этими элементами можно установить зависимость вида г(в, лг) =О, которая и называется натуральным уравнением кривой* >. * С этим связано н самое название т р а к три е а [происходящее от латинского глагола 1гаЬеге — в я е ч ь, т а щ н т ь): если движущаяся по горизонтали точка Т прн помощи нити ТМ т а щ н т за собой точку М, то последняя будет описывать как раз т р актрису. '> Перевод немепкого термина: пашг!)еЬе 61е[еиппя; не менее выразителен н б>ранпузскнй термин. "ьчпа![оп [п>па>лапе <т, е >внутреннее уравнение>1. ззз! 1 1.

1П1ИНА КРИВОЙ Докажем, что кривые, нл1вн2и1ие одно и 1но .Вес нинцри.1ьнос уравнение, могу1и опмичатьсн только своилв положением на плоскости, так что ф о р м у кривой натуральное уравнение определяет вполне однозначно. Пусть же две кривые (1) и (11) имеют одно и то жс натуральное уравнение, которое мь1 возьмем в виде 1 д .-- я(в), (14) Для того чтобы дохазать их конгруентность, сначала перенесем одну из кривых так, чтобы совпали точки, от которых на обеих кривых отсчитываются дуги, а затем повернем эту кривую так, чтобы совпали положительные направления касательных в этих точках. Отметим указателями (' и 2) соответствующие одному и тому же значению в элементы обеих кривых: координаты переменной точки: (хну,) и (хв у,); угол касательной с осью х: и и с.ь; радиус кривизны: Я1 и Я,. 1 1 В силу (!4) будем иметь при всех гс --= —, т, е.

(250, (2)) й1 Яь' (15) Кроме того, как прещюложено, при в =О Х1 ХВ У1 У2 (! 6) дх1 Нх2 — =сова =сови =— вв дв ВУ1 НУ2 дв 1 2 =-,12 — =япи =ыпа =-— огкуда аналогичным образом заключаем, что и равенства (16) имеют место всегда, т. е. кривые совпадают. Покажем теперь, как по натуральному уравнению (14) кривой восстановить координатное представление ее. Прежде всего из (14) ди имеем — =я(в), так что вв х = ~ й(в) Ыв ' иь, ь (18) "2. (17) Из (15), по следствию и' 131 вытекает, что и1 и аь могут разниться лишь на постоянную; но, как мы видели, при в О эти величины совпадают, следовательно равенство (17) имеет место всегда, В таком случае для всех значений в будет (249, (15)) 1ззг гвг ГЛ.

Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ где с — постоянная. Затем, исходя из равенств Их=сова дв, Ыу=а1па дв, интегрируя, находим (19) $ а х= ~ созааЪ+хе У= ~гйпа Ив+Ус о о (20) где хе и уе — новые постоянные. Нетрудно понять, что вращение кривой влечет за собой изменение постоянной ае, а параллельное перенесение ее связано с изменением постоянных хе, уе'. Равенство этих постоянньгх нулю означает, очевидно, что кривая расположена так, что начальная точка для отсчета дуг совмегцена с началом координат, а положительное направление касательной в ней совпадает с положительным направлением оси х. Пусть теперь уравнение (14) взято произвольно (лишь функцию я(в) мы будем предполагать н е п р е р ы в н о й). Тогда, определив сначала а формулой (18), а затем х и у — уравнениями (20), получим параметрическое представление некоторой кривой.

Характеристики

Список файлов книги