Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Дифференцируя (20), вернемся к (19), откуда прежде всего усматриваем, что ава- Ыхт+ дуа, так что аЪ, действительно, является дифференциалом дуги атой кривой, а в — дугой (если надлежаще выбрать начальную точку отсчета). Затем те же равенства (19) приводят к заюпоченню, что а служит углом касательной к той же кривой с осью х. Наконец, дифференцируя (18), найдем, что кривизна будет равна Е Обрашая зтн утаерждення, легко получить новое доаазательсгво того предложеняя, которое было высказано выше.
н, таким образом, уравнение (14) действительно оказывается н а т урал ьным уравнением для нашей кривой. Итак, казкдоеуравнвнив вида (14), гдв функция 8(в) непрерывна, может быть рассматриваемо как натуральное уравнение некоторой кривой. Обращаем внимание читателей на то, что за счет выбора начальной точки и направления отсчета дуг на кривой в ее натуральное уравнение можно вносить (впрочем несущественные) изменения. ззз) з с.
длинА кРиВОЙ !вз В заключение заметим еще, что две симметрично расположенные кривые* (рис. 13) имеют натуральные уравнения вида (14), разнящиеся лишь знаком правой части Действительно, при согласном выборе начальных точек и напраапеиия для отсчета дуг на обеих кривых, радиусы кривизны их будут иметь противоположные знаки. Обратно, две кривые„имеющие, соответственно, уравнения (21), передвижением по плоскости могут быть приведены в симметричное положение. Можно не считать и такие две кривые существенно разнящимися по форме. 333. Примеры. 1) Найти кривую, отвечающую натуральному ураввеиию Я1-2аж Имеем ис 1 с!г зсг зГ й « —, з= — «', Рис. 13.
й 2 так что с!з - ах с!сс Выбирая «в качестве параметра, получим затем с(х сов «сЬ а«соа «И«, с!у вш «с!г а«пп сс И с, откуда х а(соа«+«вш«), у а(зш«-«сов«). Кривая оказалась эвольвевтой круга [225, 8)1. 2) То же для натурального ураввевив З(с+зс-1бас. Здесь ис 1 я — «апи!и —, я 4а зш а, с!и еа соа «с!«. Тогда с(х-соз«сся 4а созс «с(«, с(у-з!п «с!г-4а а!о «сов сс с(« н отсюда, шпегрируя, 1 х 2а~сс+ — зсп зсс) а(2сс+нп 2сс), 2 у= -асоззх=а — а(1ьсоз2«). * Совместить их перемещением по плоскости нельзя; для этого понадобилось бы вращение в пространстве.
е* Так как нам нужно восстановить хоть о д н у кривую, то выбирать постоянные интегрирования мы будем лишь по соображениям удобства. Это замечание следует иметь в вшсу и впредь, ]333 184 ГЛ. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИС«1ИСССЕНИЯ Их=соса ° те««с(сь Лу=з!па те«а«]а и, наконец, т х — (т соз а+ яп а)еа«, 1осв« сл у=- — (тяпа-соза)е" . 1+и' Передаем к полярным координатам. Прежде всего г= ]Сх«ху«= е'«".
1 Затем, вводя постоянный угол т под условием 18 т= —, будем иметь сп 1 18а-— св = 18 (а — се), 1 1.1- — 18 а сп у тяпа-сова х тсозавяпа так что полярный угол 6 можно принять равным а — и, откуда а=ива. Оконча- тельно полярное уравнение найденной кривой будет таково: г= — ез' е'"з; ]С)+ асс это — логарифмическая спираль ]226, 3)]. Ееличина коэффицвента при етз роли не играет, его можно свести к 1 поворотом полярной оси. 4) Займемся теперь задачей другого рода: станем по заданной кривой устанавливать ее натуральное уравнение. х (а) Для ц е п н о й л и н и и у а с]с — нмели ]331, 1); 232, 1)] а х — у' з=азп — -](уз — а', й- —; а а сз отсюда й=а Ь вЂ”.
а (б) Для ас т р о ид ы х=а созе с, у=аяп'с, если эа начало для отсчета дуг выбрать середину ее ветви в первом квадранте, будет ]ср. 331, 3)] За За с= — з!п«с- —, )(=Заяпссозс. 2 4 Поэтому За За с'За ) (За ) 9а' С?'=4.— япзс.— соз'1=4 ~ — + ей — — з~ = — -4Н г 2 (4 Л4 ~ 4 и окончательно натуральное уравнение астроиды может быть написано в виде 9а' йз+4зз = — . 4 Если перейти к параметру с =-2а -а, то уравнения полученной кривой примут вид х=ва,'-а(с — япс), у=а — а(1-созс), и мы узнаем ц н к л о и д у (225, б)], лишь сдвинутую и перевернутую по сравне- нию с обычным ее расположением. 3) То же для натурального уравнения й=-тс.
Очевидно, с(а 1 ]п з — — — а —. з=еа", с(с те'«с(а, Л тс т 185 334] в ь длинА кРиВОЙ (в) В сяучае к а р д и о и д ы г = а(14 сов О) у нас было [331, 9); 252, б)] е 4 8 в=4авш —, /Г= — асов —; 2 3 2 очевидно, 9йв-~- в'= 16ав. (г) Последние два результата содержатся как частные случаи в следуюшем. для зли- и гни оциклоиды [225, 7Я натуральное уравнение будет (1+ Р2т)г/Е1-Р Ф = 1бтв(1 -Ршв)ав. (д) Нетрудно вновь получить натуральные уравнения э во л ь в е н т ы к руга, цикл аиды и логарифмической спирали, известные нам из 1) — 3).
5) По натуральному уравнению кривой можно установить натуральное уравнение се эволюты. Мы имели соотношение [255, 15)] 1/Я р=й —. (22) 1/В Если начало для отсчета дуг на эволюте выбрать так, чтобы было Я=а [см. 255, 2'], то, исюпочая /1 и в из этих двух соотношений и натурального уравнения данной кривой, придем к зависимости между р н а, т. е. к натуральному уравнению зволюты. (а) Для логарифмической спирали /г=л1в; тогда р=л1н=та. С точностью до обозначений мы вернулись к прежнему уравнению, отсюда заключаем, что эволютой будет такая же логарифмическая спираль, которая от исходной может отличаться лишь положением [ср. 254, 5)]. (б) Для эвольвенты круга а' в=— 2а а р=а — =а а (результат, который следовало предвидеть).
(в) Если натуральное УРавнение кривой имеет вид /(в+/гввв = с', то ее эволюта будет такой же кривой, но в /г рвз увеличенной по лннейным размерам, Действительно, имеем а — /( '/св /гввв /гв ['св ав г/й /гвв /г'1'св -ав и, наконец. й]/св- а' а. = - й]/св-ав или с'+/глав = (/гс)'. а Отсюда и вьпекает сделанное утверждение. Полученный результат применим к цикл аиде [ср. 254, 4)], к зпии гипоцнклоиде, в частности, к кардиоиде я к астроиде [ср. 254, 3)]. Замечание.
Указанный метод во всех случаях позволяет судить лишь о ф о р м е эволюты, оставляя открытым вопрос об ее положении. 334. Длина дуги пространственной кривой. По отношению к простой пространственной кривой х =(Р(/), У =1/1(/), к =]((/) 126 Ю!. Х. НРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [535 определение длины дуги может быть дано в таком же виде, как и для плоской кривой 1249, замечание). Здесь также для длины дуги получается формула, аналогичная (4), т АВ ~)сдг+у-ьззй с и т. д. На этот случай, почти без изменений, переносится все сказанное относительно случая плоской кривой.
Не задерживаясь иа этом, приведем примеры. 1) Винтовая ливня: х асозс, у ампс, з сс. Так как здесь )схсс+ уй+ зй - )таз+ с', то длина дуги кривоя от точки А (1 О) до точки и (с — любое) будет з=АсЗс = ~ )саз+сссй= )сас+ссс — результат очевидныя, если вспомнить, что при разворачивании цилиндрической поверхности винтовая ливия на ней превратится в наклонную прямую. 2) Кривая Вивиани: х й з)пс с, у4 и з1п 1 соз б з 4 И соз с.
Имеем )/хсс+ур+з)з д)Г)+з)пс 1. В таком случае длина всей кривой выразится подным эллиптическим интегралом 2-го рода 2 2 2 Г1Г 1, ° ( 1'1 о-4й )с)+з)пззсй=4й '11+созе с си-4 12й~ ~ 1 — -яп ° тсй-4)с2АЕ~ — ~. 2 У2 5 2. Площади и объемы 335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности. М н огоуг о ль ной областью, или — короче — ми о го у гол ьн и к о м, мы будем называть произвольную конечную (возможно, и несвязную) плоскую фигуру, ограниченную одной или несколькими замкнутыми ломаными. Для такой фигуры понятие п л о ш а д и было достаточно изучено в школьном курсе геометрии, его мы положим в основу.
Ь 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪБМЫ Возьмем теперь произвольную фигуру (Р) на плоскости, представляющую собой ограниченную и замкнутую область. Ее границу или контур (К)мы всегда будем себепредставлять в вщ1е замкнутой кривой (или нескольких таких кривых)ь. Станем рассматривать всевозможные многоугольники (А), целиком содержащиеся в (Р), и многоугольники (В), целиком в себе со- (8 держащие (Р) (рис. 14). Если А и В означают, соответственно, их площади, то всегда А-;В.
Множество д чисел (А), ограниченное сверху любым В, имеет точную верхнюю границу Р, [11], причем Р, В. Р Точно так же множество чисел (В), ограниченное снизу числом Р, имеет Рис. 14. точную нижнюю границу Р*и я Рь. Этн границы можно было бы назвать первую — в н у т р е иней, а вторую — внешней площадью фигуры (Р). Если обе гранины Рь =зцр(А) и Р* = 1п2 (В) совпадают, то общее их значение Р называетсл площадью фигуры (Р).
В этом случае фигуру (Р) называют квадриру ем ой. Как легко видеть, длн существования площади необходимо и достаточно, чтобы для любого г»О нашлись такие два многоугольника (А) и (В), что В-А е. Действительно, необходимость этого условия вытекает из основных свойств точных границ [11]: если площадь Р существует, то най- в в дется А Р- — и В Р+ —. Достаточность сразу же следует из нера- 2 2' не иста АмР яРь~В. Пусть теперь фигура (Р) разложена на две фигуры (Р,) и (Рфьь; можно себе представить, например, что это осуществлено с помощью кривой, соединяющей две точки ее контура, или целиком лежащей внутри (Р) (рнс.
15, а и б). Докажем, что * и этом параграфе, говоря о кривой, мы всегда будем иметь в виду и еи р с р ы я и у ю простую кривую, допускающую параметрическое представление. 14ак доказал Жордаи (С. Уогбап), замкнутая кривая зтого тапа всегда разбивает плоскость иа дяе области, внутреннюю и ввещяюю, для которых и слухщт общей границей. " Оии могут иметь чяствчио общую границу, ио ие палегают одна иа другую, т. е. Бе вмеют общих внутренних точек. тв Гл. х.
ИРиложения интегРАльного исчисления 1ззь квидрируемость двух иэ этих трех фигур (Р), (Р ), (Р ) влечет зо гобой квадрируемость третьей, причел! всегда Р=Р, !. Р, т. е. площадь обладает свойством аддитив нос т и. Предположим для определенности, что имеют площади фигуры (Р,) н (Р,). Рассмотрим соответствующие нм входящие и выходящие многоугольники (А,), (В,) и (Ае), (ВД. Из взаимно неналегающих многоугольников (А,), (Ал) составится многоугольная область (А) с площадью А=А!л-Ан целиком содержащаяся в области (Р). Из Ряс. !5. многоугольников же (В,) и (В,), возможно и взаимно налетающих, составится область (В) с площадью В иВЬ-ЕВ„содержащая в себе область (Р).
Очевидно, А И Аз=А ИВ~В! ЕВв,' так как при этом В, от А, и В от Ал могут отличаться произвольно мало, то это же справедливо относительно В и А, откуда и вытекает квадрируемость области (Р). С другой стороны, имеем одновременно А, в Ав АиР~ВНВ! — Вз и А л. Ал ~ Рл.ь Рз~ В, е Вл, так что числа Р и Р, — Р, содержатся между одними и теми же и притом произвольно близкими границами Ал,'-А, и В, ь Вн следовательно, эти числа равны, ч. и тр. д. Отметим, в частности, что отсюда Р Р, так что часть фигурь! имеет площадь„меньшую чем всл фигура, 336.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
