Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Площадь как предел. Условие квадрируемости, сформулированное в предыдущем пь, может быть перефразировано так: 1) Длл того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобь! существовали такие две последовательности много- эз61 в г пяошьдн и оььеыы угольников ((А„)) и ((В„)) и соответственно, содержащихся в (Р) и содержаигих (Р), площади когпорых имели бы общий предел йшА„=1пп В,=Р. (2] Этот предел, очевидно, и будет п л о щ а д ь ю фигуры (Р). Иногда вместо многоугольников выгоднее использовать другие фигуры, квадрируемость которых уже установлена: 2) Если для фигуры (Р) можно построить такие две последовагпельности к в а др ир ус м ы т фигур (ф )) и((Вв)), соогпвегпопвенио, содержащихся в (Р) и содержащие (Р), площади когпорых име~огп общий предел ! пп Д„=1пп В„= Р, (31 пво фигура (Р) также к в а д р и р у е м а, причем упомлнугпый предел и будет ее площадью.
Это сразу вытекает из предыдущего утверждения, если заменить каждую фигуру (Дч) содержащимся в ней многоугольником (А,), а фигуру (Вч) — содержащим ее многоугольником (В„), настолько близкими к ним по площади, чтобы одновременно выполнялось и (2). Хотя на практике выбор фи- ', Ф тур (А„), (В„), (Д,), (Вь), упоминавшихся в двух сформулиро-, 'Лу, ванных выше признаках, и не создает затруднений, но все же представляет принципиальный интерес устранение связанной с этим выбором неопределенности.
С этой целью можно поступить, например, так: Заключив рассматриваемую фигуру (Р) внутрь некоторого прямоугольника (Я) со сторонами, параллельными координатным осям, разобьем его на части с помощью ряда параллелей его сторонам. Из прямоугольников, целиком содержащихся в области (Р), составим фигуру (А) (на рис.
16 она заштрихована), а из прямоугольников, имеющих с (Р) общие внутренние точки, но могущих частично и выходить из этой области, составим фигуру (В). Эти фигуры представляют, очевидно, частный случай тех многоугольников (А) и (В), о которых быпа речь в определении понятия площади; их площади А и В зависят от способа разложения на части прямоугольника (А). Будем через д обозначать длину наибольшей из диагоналей частичных прямоугольников. 3) Если при б-О оое площади А и В стремятся к общему предел> Р, и только в от ом случае, область (Р) будет квадрир1емо; 190 ГЛ. Х.
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [эзт при выполнении этого условия упомянутый предел и буде«и п л о и) адью [бигуре«(Р). Читатель легко сам выразит понятие предела, которое здесь фигурирует, как «на языке г-дя, так и «на языке последовательностейь В доказательстве нуждается только н е о б х о д и м о с т ь указанного условия. Допустим же, что площадь Р существует, и установим, что тогда (4) 1ппА =1пп В=Р.
в-о г-о По заданному г =-О найдутся [335] такие многоугольники А и В, что В-А г; при этом можно предположить, что и х к о н т у р ы не имеют общих точек с контуром (К) фигуры(Р). Обозначим через д наименьшее из расстояний между точками контуров обоих многоугольников, с одной стороны, и точками кривой (К) — с другой'. Если взять теперь «1 д, то каждый частичный прямоугольник, хотя бы в одной точке задевающий кривую (К), заведомо лежит вне многоугольника (А) н внутри многоугольника (В).
Отсюда следует, что АмАпРмВ~В, так что Р— А г и  — Р .г, что и приводит к (4). Ясно, что на равенстве (4) можно было бы построить и самое определение понятия площади, очевидно; равносильное прежнему. Такое определение представляется весьма простыли и естественным; недостатком, однако, является его (конечно, кажущаяся) зависимость от ориентации координатных осей. 337.
Классы квадрируеыык областей. Кривая (К) — контур области (Р) — играет существенную роль в вопросе о к в адр пру емости этой области. Если квадрируемость налицо, то, как мы видели в 335, по заданному г О кривая (К) может быть заключена в некоторую многоугольную область (В -А), содержащуюся между контурами обоих многоугольников (А) и (В)(см. рис. 14) и имеющую площадь  — А «г.
«Пусп. имеем две конечные непрерывные ярввыс па плоскости; предположим, например, что овя заданы паряметрическв (1) х=р(г), у=в(г); (П) х=р«(и), у-р«(и), «,е«~т ы«мимо где р, р, у*, р« — пепрерыяпые фупяпви, ялждяя от своего аргумента. Тогда расстояяяс между двумя провэяольвымя точками этвх кривых )г[Я) — р«(я)1'+ [к(г) -н*(ий* будет пспрерывпой фувкпвей от (б и) в замкнутой области [Г„Т; и„У) п,следовательно, достигает тям своего панмсвьшсго звачевая [1731.
Ясли кривые ве переселяются, то это наименьшее расстояние будет отлично от пуля. ЭЗ71 ! ь площади и овъвыы Допустим теперь, обратно, что контур (К) может быть заключен в многоугольную область (С) с площадью С е, где е — любое наперед заданное положительное число.
При этом, без умаления общности, можно предположить, что (С) не покрывает всей фигуры (Р). Тогда из точек области (Р), не попадающих внутрь (С), составится многоугольная область (А), содержащаяся в (Р); если же к (А) присоединить (С), то получится многоугольная область (В), уже содержащая в себе (Р). Так как разность  — А =С е, то — по критерию п' 335 — отсюда следует квадрируемость области (Р). Для облегчения речи условимся говорить, что (замкнутая или незамкнутая) кривая (Я) имеет площадь О, если ее можно покрыть многоугольной областью с произвольно малой площадью.
Тогда приведенное выше рассуждение позволяет сформулировать следующее условие квадрируемости: для того чтобы фигура (Р) была кеадрируема, необходимо и достаточно, чтобы ее контур !!~!! ! ! ! (К) имел нлои1адь О. л х. 0 б В связи с этим приобретает ! хы важность выделение широких Рис. 17. классов кривых с площадью О. Прежде всего легко показать, что этим свойством обладает любая непрерывная кривая, выражаемая я в н ы м уравнением вида у =Дх) или х = я(у) (5) !к~к и !е~г~л! (у и я — непрерывные функции). Пусть, например, мы имеем дело с первым из этих уравнений. По заданному е О можно промежуток [а,б) разложить на части [х!, х!+,) (! 0,1, ...,н-1) так, чтобы в каждой из них колебание а!! функции у' было « — [87]. Если обозначить, как обычно, через т! и М, наименьшее и наибольшее значения функции у в ром промежутке, то вся наша кривая покроется фигурой, составленной из прямоугольников [х!, х;+„' т;, М!) (! = О, 1, ..., н — 1) (см.
рис. 17) с общей площадью Я (М! - т!)(х!+, — х!) 5," со!Ах! Д с)х! =е, что и требовалось доказать. Значит, кривая (5) имеет площадь О. Отсюда следует: (ззя ГЛ Х. ПРИЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Если фигура (Р) ограничена несколькими непрерывными кривыми, каждая из которых порознь выражается явным уравнением (5) (того или другого типа), то зта фигура квадрируема. Действительно, поскольку каждая из упомянутых кривых имеет площадь О, то и весь контур, очевидно, также будет иметь площадь О.
Из этого критерия можно получить другой, более частный, критерий, который на практике, однако, оказывается более удобным. Назовем кривую, заданную параметрическими уравнениями х = у(Г), у =Г)Г(Г), 1Г,=Г=-Г1 (6) г л а д к о й, если !) функции у и Гу имеют непрерывные производные во всем промежутке (1ь, Т) изменения параметра, и 2) на кривой нет ни кратных, нн вообще особых точек. В случае замкнут ой кри- вой, потребуем еше равенства Установим теперь, что гладкая кривая имеет площадь О. Возьмем на кривой любую точку М, определяемую значением Г параметра. Так как эта точка — не особая, то, как мы видели (223), суГцествует такой промежуток: а=(г-д, Гчд), 338. Выражение площади интегралом. Обратимся теперь к вычислению площадей плоских фигур при помощи интегралов.
На первом месте рассмотрим, впервые — в строгом изложении, уже встречавшуюся нам задачу об определении площади криволинейнойй трапеции АВС!з (рис. !8). Эта фигура ограничена сверху кривой РС, имеющей уравнение у=!(х), что соответствующий участок кривой может быть выражен и явным уравнением. Применим теперь лемму Б о реля (88) к промежутку [1ГИ Т( и к покрывающей его системе ~ =(о) окрестностей; весь промежуток перекроется конечным числом таких окрестностей, так что кривая распадается на конечное число частей, каждая из которых выражается явным уравнением (5) (того илн другого типа). Остается лишь сослаться на доказанное выше.
Итак, если фигура (Р) ограничена одной или несколькими гладкими кривыми, Гпо она заведомо квадрируема. Заключение это сохраняет силу даже в том случае, когда кривая имеет конечное число особых точек: выделив этн точки с помощью окрестностей произвольно малой площади, мы будем иметь дело уже с гладкимн кривыми. 1рз 3381 1 а плопьчли и окъймы где 7(х) есть положительная и непрерывная в промехгутке ]а„Ь] функция: снизу она ограничена отрезком АВ оси х, а с боков — двумя ординатами А11 и ВС (каждая из которых может свестись к точке). Собственно, существование площади Р рассматриваемой фигуры АВСХ> следует из доказанного в предыдущем и", и речь идет лишь об ее вычислении. С этой целью разобьем промежуток (а, Ь], как обычно, на части, вставив между а и Ь ряд точек а=хе хт х, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
