Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Две леммы и' 245 обеспечиваютравноснльность обеиххарактеристик предельного процесса.Итак, подлежит доказательству предельное соотношение 5 =1пп р. 1-О (б*) Сначала отметим следующее важное свойство периметра р. Если он отвечает некоторому способу (7) разложения промежутка (гв, Т], и затем мы вставим еще одну точку деления Г! ~!! г гвь! то периметр р разве лишь увеличится, причем увеличение его не прев- зойдет удвоенной суммы колебаний функций !у(г) и !у(г) в промежутке (~в, !в м].
Действительно, добавление новой точки г заменяет в сумме р одно слагаемое (длину стороны): (8) суммой двух слагаемых (суммой длин двух сторон) 1!/(ц!(г)-!у(гь)]э Р(ч!(1) — !Л(гк)]эь ~Г(д(гв„!) — !у(г)]э+ (!р(гь м)-1р(!)]э, (9) которая во всяком случае не меньше, чем слагаемое (8). 330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению. При определении самого понятия длины непрерывной простой кривой (1) мы исходили из равенства (2). Докажем теперь, что в случае незамкнутой кривой — ее длина Я является не только точной верхней границей для множества дтн (р], вписанных в кривую ломаных, но и попросту пределом для р — при условии, что апремятсл к 0 длины всех сторон ломаной (р) (или, точнее, длина 2* паиболыией из этих сп!оран)! 172 ! Л.
Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕ!'РАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1ззв С другой стороны, вся сумма (9) не превосходит суммы ~~Р(!) - Р(!к) ! -~ ! 9:(!) -У (!Л) ! + ~РУ(!к, !) -9ф) ~ ! ~ Ч~(!!!.!) - У'(! ):: и, следовательно, увеличение периметрар и подавно не превосходит этого числа, которое, очевидно, меньше упомянутой удвоенной суммы колебаний. В дальнейших рассуждениях ограничимся случаем конечного О. Для произвольно малого числа е «О, по определен!.ю т о ч н о й верхней границы, найдется такой способ разбиения промежутка (1„Т) на части точками Хо =!о !т «!з .Еа — — 7; 4 в Ф Ф. (10) что для соответствую!цего периметра р* будет выполняться неравенство Р О (11) Ввиду равномерной непрерывности функций <р(!) и у!(!) существует столь малое число Б»О, что ~д(!") — 8!(Р)1 — ', 18!(!") -1!(!') ~ = —, 8л! ' 8Л! ' лишь только ~!" — !'~ !). Разобьем же промежуток [г„Т) на части точками (7) под единственным условием, что 2 б (т.
е. что все !)г! !!), и составим соответствующую сумму р. Рассмотрим третий способ дробления промежутка (1„, Т) на части, при котором точками деления служат как все точки 1, способа (7), так и все точки 1,*, способа (10); пусть ему отвечает периметр р . Так как этот способ получен из (10) путем добавления новых точек, то в силу сказанного вначале (12) РЛ~Р . С другой стороны, тот же способ получен и из (7) добавлением точек ф Добавление каждой точки 1~ увеличивает р не более, чем на удвоенную сумму соответствующих колебаний функций 8!(!) и е!(!), т. е.
меньше, чем на — . Так как этот процесс повторяется меныпе, 2!Л ' чем т раз, то рл превзойдет р меньше чем на —: (13) Из неравенств (13), (12), (11) следует, что 173 к длина кРиВОЙ ззв) так что О. Я-р и, откуда вытекает доказываемое утверждение (6*), а значит и (6). Так как из (6) обратно вытекает (2), то равенство (6) можно рассматривать как новое определение длины кривой, равносильное прежнему. Замечание. Однако, как нетрудно видеть, в случае з амкнут о й кривой такое определение не может быть применено безоговорочно: ведь даже при соблюдении указанного условия ничто не мешало бы ломаной стягиваться в точку, а ее периметру стремиться к О (рис. 8). Суть дела в том, что при незамкнутой кривой одно убывание всех звеньев ломаной (р) до нуля уже обеспечивает нсе более тесное примыкание их к соответствуюшим частичным дугам; поэтому-то и естественно предел ее периметра р принять за длину всей дуги.
В случае же замкнутой кривой дело обстоит уже не так. [Отметим, что если вместо стремления к О длин всех с т о р о н ломаной, потребовать того же относительно диаметров соответствуюших д у г, то новое определение было бы в равной мере приложимо как к незамкнутым, так и к замкнутым кривым.] Покажем теперь, как из определения (6) или — что то же — (6*) непосредственно вывести выражение (4) для длины 5 кривой. Будем исходить из готового вьгражения для периметра р ломаной [см. 248 -о где тг, т, — некоторые значения 1 из промежутка [1;, г,ет). Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде т, на т;, то преобразованное выражение очевидно, представит собой интегральную сумму как раз для интеграла (4).
При стремлении 2 к нулю, эта сумма и будет иметь своим пределом упомянутый интеграл*. Для того чтобы показать, что к тому же пределу стремится и периметр р ломаной, достаточно обнаружить, что разность р-с стремится к нулю. е Существование его ие амзмнает сомнений, ибо понинтеграяьная функция непрерывна (298, 1]. 174 (зз1 Гл. Гс пРиложения интеГРАльнОГО исчислрний С этой целью произведем оценку этой разности ()г О(» ~~') у(грг(т))з.ь(р(т))з Я9г(т))з, (гр(т))г!.,~т ! Элементарное неравенство 1 )Газ -" Ь' — )' аз-ь Ькт )» ( Ь - Ьг ! ', если применить его к каждому слагаемому написанной выше суммы в отдельности, даст нам Ввиду непрерывности функции ур(Г), по любому заданному с О найдется такое Ь О, что фГ)-уг(Г)( с, лишь только (Г-Г)»Ь.
Если взять 2»д (т. е. Есе с)Г,»Ь), то и )т,— т,! Ь, так что (гр(тр)-гр'(т)) с и )р — а(=с ~'Г)Г,=-Г(Т вЂ” Г,). Это доказывает формулу (4). х 331. Примеры. 1) Цепная ли н ия: у ась — (рис. 9). Мы имели уже е а 252, 1): х )11-Ьу~ = сн -. а Г х х 5'. АМ= ) с!г — ах=лей а а о Рис.
9. * Неравенство зто очевидно прн а=-О; если же аио, то оно непосредственно вытекает из тождества Ь+Ь )аь-ьйх -)гаь-ЬЬГ (Ь-Ь), )га'ЬЬз-Ь) а'~-Ц гак как множитсяь пря разности в скобках по абсолюпюй величине меньше единицы. способ графического спрямления х' 2) Парабола: у= —. 2р Тогда по формуле (5а), если за начало от- счета дуг принять вершину А кривой х х Вспоминая, что Гйа-у„'=зй —, имеем а также г=атйа.
Таким образом, в Гг МРК (рис. 9) катет Мб=агйа в точности равен (по длине) дуге к. Мы получнлн простой лепной линии. ЗЗЦ 175 ! !. длинА ивиной Приняв за начало отсчета дуг вершину О (х=О), для произвольной точки М с абсциссой х имеем к 1 г' 1 г1 — р* .! !х х = ОМ= — ~! )Схг+ргс(х=-- [-х [Схгфрг+- !п(х+ )Гх'+рг)1 ~ = Р р[2 2 о о х р хо [Схг+рг =- — )Сх'хрг+ — !и 2Р 2 Р 3) А с т р о и да: х=а сов'с, у=аз!п'с. Пользуясь уже вычисленными [224, 4)[ значениями хс и ус, имеем [Схсг+У[г= Заз!и с сов с ~если 0 -с 2) ' длина четверти астроиды между точками А(а, 0) и В(0, а), по формуле (4), равна 3 х г За !- За АВ=.За) яп с соя ссй — — япгс !~ =- —, 2 !о 2 о так что длина всей кривой будет ба.
4) Цикл оида: х=а(с — япс), у=а(1-созс). Здесь (прн О~с~2л) С х['+ус' = а[С(! — соз С)-'+ яп' С = 2а з!и —; 2' длина одной ветви циклоиды, по Оюрмуле (4), будет /зх 2а ~~ зш — ссс = -4а соз — ~ За. 2 [о с 5) Э в ел квента круга: х=а(сяп с+соя!),у=-а(япс — ссозс). Имеем (прн с 0) [схсг 4 усг = асс(с соз с)г+ (с з!и с)г = ас, так что переменная дуга АМ от точки А (с = О) до лкбой точки М (с 0) выразится так: асг АМ=С= —.
2 При с 0 в предшествующей формуле справа нужно лишь поставить знак минус. 6) Архимедова спираль: г=аВ. По формуле (56), отсчитывая дугу от полюса О до любой точки М (отвечающей углу В), получаем г — — а ОМ=а) ')С!+В'г(В= — [В !1-1-В'-1-!п(В-1-)с!+Вг)!. 2 116 Гг!. х. НРиложения инГЯГРАльноГО исчисления 1581 Г Любопытно, что подставив здесь  —, мы придем к выражению, формально а сходному с выражением для длины дуги параболы (см.
2)). 7) Логарифмическая спираль: г=аема (рис, 10). 1 Так как гг = тг, то г=- га, и для дуги МаМ между двумя точками с координа- та замп (г„й,) н (г, В) будем иметь по той же формуле (5б) а 1~7„, „., )1(1 1~„,(В ) „„„) гп.- ~ " агй а ! Если вспомнить, что для логарифмической спирали гйго= —, то полученный лг результат можно написать так: г- га г=М,М=- соз па Приближая точку Ма к полюсу О, т. е. уса ремляя га к нулю н п р н н имая получаемый при этом предел длины дуги ММ за длину дуги ОМ,мыпридемкеще более простому результату г а= ОМ- соз са С помощью этой формулы нз гзМОТ (см. рисунок) уже легко усмотреть, что дуга з равна полярному отрезку касательной гу.
ОМ= ТМ*. Мы получили весьма простой способ графического спрямления нашей кривой. Рис. 10. х' у' 8) Эллипс: — ч — =-1. а' Ь' Удобнее, впрочем, взять уравнения эллипса в параметрической форме х а а(п г, у = Ь соз г. Очевидно, ) х)а -Руга = '(е' соз' и- ь' ып' г = 1 и- - (с' — ь ) пп' г = а(г1 — с( з)па г, )Гл' — Ь) гдег =- есть численный эксцентриснтет эллипса.
а * Это свойство логарифмической спирали позволяет легко установить такое предложение: когда эта кривая катится без скольжения по прямой МТ, то полюс О (если считать его неизменно связанным с кривой) описывает некоторую прямую. Предоставляем читателю доказательство. 3311 1 !. ДЛИИл КВИВой Вычисляя длину дуги эллипса от верхнего конца малой оси до любой его точки в первом квадранте, получим з=а) [с1-е'зш'сгсс= е(г,с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
