Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1343 ь У = ) В(х) Ах. а Х= ~А(х) ах, а С другой стороны, тах как А(х)-Р(х)~В(х), то и ь ь ь Х= ~А(х) Ахан~р(х)Ах ~В(х) ьУЛ= У, ь так что объем У и интеграл ~ Р(х) агх оба содержатся между одними а и теми же границами Х и У, разнящимися меньше, чем на е. Отсюда и вытекает требуемое за- ключение, 343. Прямеры. 1) Вычислить объем кругового конуса с рааиусом основания г и высотой Ь. Проведем через ось конуса секущую плоскость и выберем эту ось за ось х, считая начальной точкой вершину конуса; ось у проведем перпендикулярно к осн конуса (рис. 29). Уравнение образующей конуса будет г у= — х 6 и — по формуле 1!б) — получим г1г )' лг'ла " 1 Р л ) ~ — х! их= — — = — лМЬ. )л ! ь Результат этот известен читателю нз школьного курса.
* Так будет, например, если тело ограничено одной или несколькими г л ад к н м и поверхностямн [34Ц. которые получаются путем сложения илн вычитания из тел, удовлетворяющих упомянутому предположению. В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело ()г) имеет объем*, то он выражается формулой (15). В самом деле, задавшись произвольным в -О, мы можем между плоскостями х=а н х=-Ь построить такие два тела, (Х) и (У), с оставленные из параллелепипедов, чтобы первое содержалось в ()г), а второе содержало в себе ( $'), и притом было У вЂ” Х е. Так как к этим телам формула наша, очевидно, приложима, то, обозначив через А(х) и В(х) площади их поперечных сечений, будем иметь 1 2, ПЛОЩАЛИ И ОВЪЕМЫ Хи ут 2) Пусть эллипс --, '-=1 вращается вокруг оси х.
Так как а' Ь' Ьа ут = — (ат — хт), дт то для объема злл ил сои да вращения найдем » и г Ь' Ьт г Ьт/ хыж 4 'и'=-и ] — (а'-х')ах 2л — ] (а'-х') ах=2л — [атх — — ~ ~ — лаЬ'. ат дт а'~ 31[,о 3 — и о Аналогично для объема тела, полученною от вращения вокруг оси у, найдем 4 выражение -ла'Ь. Предполагая же в этих формулах а=Ь= г, мы получим для 3 4 объема шара радиуса и известное значение — лг'.
3 3) Определить объем тела, полученного от вращения цепной линии х у=лей — вокруг оси х, межлу сечениями, соответствующими точкам О и х. а Имеем и х И= т [ й' — дх= —. и ~ 1(1+ой — ~ т(т= а 2 ~ а~ о о = — ла' 1[х 4 — зй — ~ = - ла ~ ах Ч а сл — а зй — ~, а~ 2 ~ а а~' Вспоминая [331, 1)], что а ай — есть длина дуги з нашей кривой, окончательно а получилг 1 И вЂ” ла(ах+ зу). 2 4) То же — для ветви цикла кд ы х=а(г — ыпг), у а(1-созс) (О. г 2л). Параметрические уравнения кривой облегчают выполнение подстановки х-а(г-жпг), ах=а(1 — соаг)т(г в формуле И=л ~ у»т(х. о Именно: 2» /5 3 1 )2» (»=лат~(1 — соаг)иаг=лаи]-г-42]пг+-2]п22+-2]лиг) =5лтаи.
[2 4 3 ) о о М Г. М. Фи»»тито»ьи, т. П 210 Гл. х. ИРилОжеиия ЙВтеггялы)ОГО исчислениЙ (343 я я я 5) То же для астр аиды хз+у'=аз. Илтеем я ч у=(ая — х"), у=л ~ (ая — хя) г(х= — лаз. 105 -а Предлагается повторить вычисления, исходя из параметрических уравнений астроиды н прибегнув к замеые переменной (как в предыдущей задаче). 6) Найти объем общей части параболоида 2ая=х'фу' и сферы хз 4 уз+ аз = Заз Р е ш е н и е. Вместе с обоими этимы телами и общая часть нх будет т е л о м вращения вокруг оси г. Пересечение указанных поверхностей происходит по плоскости х=а. Плоскости, перпендикулярные к оси я, пересекают рассматриваемое тело по кругам) квадраты радиусов этих кругов равны 2аз, пока г а, и За'-я', лишь только я становится а. Пользуясь формулой, аналогичной (16), будем иметь п а)IЗ ла' У=-2ла~яг(хЧ-л ~ (За' — я') Ая=- — (6(3 — 5).
3 в а 7) Найти объем обгцей части с ф еры х'чу'эг'=Аз и конуса ля=у-"ч-я' (хи О). Л У к а з а ы и е . Пересечение поверхностей происходит по плоскости х= —. '1'2 Имеем )гз и лдя У=л ~ л'Фх+л ~(ДЯ-х') г)х.= — (2 — (12). 3 е я )з До сих пор лты рассматривали примеры применения частыой формулы (16). Перейдем теперь к общей формуле (15). Так как самос существование объелза во всех случаях легко может быть обосновано, например, исходя из соображений и' 341, то мы на этом останавливаться ие будем и займемся лишь вычислением объема. 8) Определить объем цилиндрического отрезка.
Так называют геометрическое тело, отсекаемое от прямого кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания (рис. 30). Положим, что основание цилиндра есть круг радиуса а: х'~-уз~а', и что секущая плоскость проходит через диаметр АА' и составляет угол и с плоскостью основашш. Определим площадь сечения, перпендикулярного к оси х и пересекающего ее в точке М(х). Это сечение будет прям ау г ольн ы м т реу го л ь н и к омм; очевидно, 1 1 Р(х)=ил. М)уР= — уз зйи= — (а' — хс) ~й и, 2 2 211 1 г.
площади и овънмы так что по формуле (15) а 1 г 2 2 У= — 1йи ~ (ав-х ) 4х= — ав гйа= — ава, 2 " 3 3 -а где Ь-КЕ, есть высота цилиндрического отрезка. Интересно отметить, что тот же объем можно было бы получить, заставив ось у играть ту роль, какую до сих пор играла ось х, т. е. рассекал тело плоскостяьш, перпендикулярными оси у (рис. 31). Такая плоскость, проведенная через точку Рис. 30.
Рис. 3!. М с ординатой у, пересечет наше тело по нр ям о угольнику ЯД, плошадь которого будет Р(у) = 2ху1йи= 2 гй и у~ах-ув. Поэтому, аналогично (15), а 2 1 = 2 ой а ) у)'ав-уз йу (йа(ав 3 о 9) Найти объем трехосного элли и со ид пением 2 ув)в = ав вй„ о 3 а, заданного каноническим урав- х' у' г' — + — ч — =1 а' ов с' (рис. 32). Плоскость, перпендикулярная к оси х и проходящая через точку М(х) на этой оси, пересечет эллипсоид по эллипсу; уравнение проекции его (без искажения) на плоскость уг будет таково: г' + -1 (х= сопи). 'О "('-'-:) Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственао, х' н ф1- —, а- ы» [3е3 212 !'Л. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ а площадь [см.
339, 2), 8), 15)) выразится так; хе) абс Р(х) = лЬс (! — — ~ = — (а' - х'). ай дй Таким образом, по формуле (15) искомый обьем Н= — ~ (а'- х') с(х= — яаЬс. а' 3 — й 10) Найти объем элли по аида, отнесенного к центру, Ах'+2Вху-1 Схй Р2Рух+20гх+2Нху =. 1. Рис. 32.
ахй+2Ьху-~.суй -2Ахсь2еу-~ у".=О, где положено а=А, Ь=Н, с=В, с(=бг, с=уа у=Схй-1. По 339, 7), плошадь этого сечения равна лА* Р(х) =— (А — Нй) !й если через А* обозначить определитель А Н бх Н В Рх ай Рх С '-1 =Айй-(А — Н'), где А Нб~ Н В Р Подставляя, получим л Рыб= — [Ах'-(АВ-Н')). ( (В- Нй)"й Р е ш е н н е . Если фиксировать г, то уравнение соответствугошего сечения (или — вернее — его проекции на плоскость ху) будет 2!3 1 2.
плОЩАди и Окъемы Очевидна, г может изменяться лишь в пределах интегрируя а этих пределах, найдем окончательно 4 ! У= —. 3 11) Рассмотрим два крутовых цилиндра радиуса г, оси которых пересекаются под прямым углом, и определим объем тела, ограниченного ими. Тело ОАВСР, изображенное иа рисунке 33, составляет восьмую часть интересующего нас тела. Ось х проведем через точку О пересечения осей цилиндров перпендикулярно к обеим осям.
Тогда в сечении тела ОАВСЮ плоскостью, проведенной иа расстоянии х от О, перпендикулярно к оси х, получится квадрат йТ.МЖ, сторона которого М!т'= )Гг'-хэ, так что Р!х) = = г'-хи Тогда по формуле (15) 16 У = 8 ) (г' — х') Ых = — г'. 3 о 12) Решим, в заключение, ту же задачу, но в предположении, что цилиндры имеют р а з л и ч н ы е радиусы: г и Я г. Разница, по сравнению с прежним, будет лишь в том, что, вместо кваарата, в сечении рассматриваемого тела плоскостью на расстоании х от О получится п р я м о у г о л ь- Рцс. 33. н и к со сторонами !'г'-х' и )!Вэ — х'. Таким образам, в этом случае обьем У выразится уже эллиптическим интегралом с 1'= 8 ~ ~~~ — х')гг' — х') лх е г или, если сделать подстановку х= ге!ар и положить й Я 2 У= 8йг'~соя'и ° ~) -IРэш'р г)й = 8йг' й е Займемся сведением интеграла 1 к полным эллиптическим интегралам обоих видов.
Прежде всего 2 соэ'р ~ э!л'р соээр — Ар-8 '! !и )мь)2. у! — йэз!лэр .l )г! — /гээ!лэр е р 2!4 ГЛ. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1244 Ыо ( ! -з(пво .~ ')г! -/Ке~~'-~ — ИР )' 1 — йв вшво о в - — ~") 1-е,.— „(,-[ — — ~ ~к(е)+ — .(). ,Р е~ о С другой стороны, интегрируя по частям, имеем 1 1 1,= — З! в!п 2тв()'1-Еввювчв=- в1п(в ')г! — Еввгпвр з- 2" 2 1о о г з — [сов2е '(1 — йвв(пврв((в= ~ (1 — 2совв(в) )1 Евап уоОГ=Е(Е) — 2Д о о Отсюда 1= — [[ — т!) е(ц-[ — -!) к(ц~. Таким образом, окончательно вдв ! = — ((1-!-/вв) Е(/с) — (1 — йв) К(/с)1. 3 344.
Площадь поверхности вращении. Пусть имеем на плоскости ху (именно, в верхней полуплоскости) некоторую кривую АВ (рис. 34), заданную уравнениями вида (б), где р, вр — непрерывные функпни с непрерывными же производными р'„вр'. Предполагая отсутствие особых и кратных точек на кривой, мы можем ввести в качестве параметра дугу г, отсчитываемую от точки А(1,), и перейти к представ- лению х = Ф(г), у = У(и).
(18) Параметр к изменяется здесь от О до В, если через Ь' обозначить длину всей кривой АВ. Если вращать кривую вокруг оси х, то она опишет некоторую поверхность вращения. Поставим своей задачей — ЕЕ!числить ил о щадь этой поверхности. Мы лишены возможности установить здесь в общем виде понятие площади вкривойв (т. е. не плоской) поверхности; это будет сде- з441 215 ох плОшАди и ОБъемы лана в третьем томе. Сейчас же мы определим зто понятие специально для поверхности вращения и научимся вычислять ее площадь, причем будем исходить из данных еще в школьном курсе правил вычисления боковых поверхностей цилиндра, конуса и усеченного конуса. Впоследствии мы убедимся, что полученная нами формула входит как частный случаи в общун2 формулу для площади кривой поверхности.
Возьмем на кривой АВ в направлении от А к В ряд точек (см. рис. 34) А=Ао~А„А„..., А1,А1э1, ..., Ап-1,АА=В (19) и рассмотрим ломаную АА2...А„,В, вписанную в кривую. Станем вместе с кривой вращать вокруг оси х зту ломаную; она опишет некоторую поверхность, площадь которой мы умеем определять по правилам элементарной геометрии. Условимся под пло- 4', щадью поверхности, опи- 22 санной кривой, разуметь предел Р площади Д поверхности, описанной (О ломаною, при стремлении к нулю наибольшей из частичных дуг. Это определение площади поверхности вращения дает нам ключ к ее вычислению. Мы уже знаем, что ряд та- рас. 34.
чек (19) может быть получен, исходя из ряда возрастающих значений в, вставленных между О и В: 0 = В,1 к В1 к Д, к.... В, к К,.М к,... К„к В„= Я, Каждое звено ломаной при вращении вокруг оси х будет описывать поверхность усеченного конусае. Если обозначить ординаты точек А, и Аг+, соответственно через уг и у1~Ы а длину звена А;А1М через 1н то площадь поверхности, описыаасмой 1-м звеном, будет 2 «' «" 1 1. Площадь же поверхности, описываемой всей ломаной линией, будет и-1 1=О * В частности, эта поверхность может выродиться в поверхность конуса пли щщиадра; площадь ее, однако, в в этом случае можно выласкать по общей формуле длк поаерхиостк усеченлого конуса. 216 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
