Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 37
Текст из файла (страница 37)
На зтот раз Х=АЯпт, х=лсо5!, 1 / г) у = 1/г» х» 1/г» А» яп» 1 г ! яп» р з' А~ причем 1 может изменяться (если, как всегда, огравичиться первым октантом) лишь от О до агсял /г. Тогда, по формуле, аналогичной (25), получим аг»яп 1 а»с»1п а Р,=8 ~ ууха 451»/1=-8Аг ~ 1/ 1 — — яп'1»/1. /»» о о Подстановка 51П 1/ А 51Пу, где у изменяется от О до —, дает 2 С последним интегралом мы уже встречались в 343, 12); он равен Р,= 8А»(В/А) — (1-Е»)К(ЕН, Р = Р, + Р, 8А(А+ г) (В(lс) — (1 — /г)К(/1)).
Этим исчерпываются простейшие геометрические приложения определенного интеграла. С вычислением геометрических протяжений в более сложных и более общих случаях мы встретимся в третьем томе. Таким образом, Окончательно а»сап 1 1 /1» о /»сову »/у 1/1 — /г» 51п»У СО5»у фр с»/г-/г )/1 — /1» 5! П» У о 348) » 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН й 3. Вычисление механических п физических величин 348. Схема применения определенного интеграла.
Прежде чем перейти к применениям определенного интеграла в области механики, физики н техники, полезно наперед уяснить себе тот путь, по которому в прикладных вопросах обычно приходят к определенному интегралу. С этой целью мы набросаем общую схему применения интеграла, В В иллюстрируя ее примерами уже изученных геометрических задач. и, у г(рт) Вообразим, что требуется определить некоторую постоянную величину Д (геометрическую или иную) связанную с промежутком (а, Ь]. Прн этом пусть каждому час- А' тичному промежутку (я, Я, содержа- В и а хтйх щемуся в [а, Ь], отвечает некоторая часть величины Д так, что разложение промежутка [а, Ь] на частичные промежутки влечет за собой разложение иа соответствующие части н величины Д.
Точнее говоря, речь идет о не- рпа 37. которой «функцин от промежуткаэ Д([к, Я), обладающей «свойством аддитивности»; это значит, что, если промежуток [и, Я состоит нз частичных промежутков [и, у] и [у, р], то тогда и О([ Р])=0([ У])+0([У Р]). Задача же состоит в вычислении ее значения, отвечающего всему промежутку (а, Ь]. Для примера возьмем на плоскости кривую у =у(х) (лиях~В) (рис. 37)'". Тогда 1) длина Я кривой АВ, 2) площадь Р ограниченной ею криволинейной трапеции АА'В'В и 3) о б ъ е м )т тела, полученного от вращения этой трапеции вокруг оси х, — все три являются величинами указанного типа. Нетрудно дать себе отчет в том, какие «функции от промежутка» ими порождаются.
Рассмотрим «элемент» Л«2 величины Д, отвечающий «элементарному промежутку» [х, хе Лх]. Исходя из условий вопроса, стараются найти для Ло приближенное выражение вида «)(х) Лх, линейное олгносительно Лх, так чтобы оио разнилось от Л«2 разве лишь на бес- * Функция)(х) предполагается непрерывной и имеющей непрерывную производную.
Для определенности мы допустим, что кривая все время идет в в е р х и выпукла вниз. 55 Г. М. Фи«тли««лыс т. Г~ 226 ГЛ. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИОЧИСЛЕНИЯ [зйй конечно малую порядка высшего, чем Лх. Иными словами, иэ бесконечно малого [лри Лх О) «элелгента» Л[г выделяют его г л а в н у ю ч а с т ь. Ясно, что тогда относительная погрешность приближенного равенства ЛД ='. »У[х) Лх будет стремиться к нулю вместе с Лх. Так, в примере 1) элемент дуги ММ» можно заменыть отрезком касательной МК, так что из ЛБ выделяется линейная часть ]~! Ру'» лх )г)+ [Р(х))' лх.
В примере 2) естественно замеыить элемеитарыую полоску ЛР входящим прямоугольником с плошадью уЛх = Г(х)Лх. Наконец, в примере 3) из злемеытарного слоя Лг' выделяется его главная часть в виде входящего кругового цилиндра, с объемом яу' Лх =-л[Дх)[» Лх. Во всех трех случаях нетрудно показать, что погрешность от такой замены будет бесконечно малой высшего порядка, чем Лх. Именно", в случае 1) она будет меньше КМ»=Лу-ду, в случае 2) — меньше ЛхЛу, а в случае 3) — меньше я(2у1- Лу) Лх Лу. Лишь только это сделано, можно уже утверждать, что искомая величина [Л точно выралсается интегралов» л [Л = ~ д(х) а»х.
а Для пояснения этого разложим промежуток [а, Ь] точками х„хя, . , х„г на элементарные промежутки [а,х,], [хм ха], ..., [хо хьы],..., [х„,, Ь]. Так как каждому промежутку [х;, хг м] или [х;, х; .," Лх;] отвечает элементарная часть нашей величины, приближенно равная фх»)Лх„ то вся искомая величина Д приближенно выразится суммой Д =- л'»)[х,) Лх;. » Степень точности полученного значения будет тем выше, чем мельче частичные промежутки, так что Д, очевидно, будет пределом упомянутой суммы, т.
е. действительно выразится определенным интегралом ь ~ д[х) г[х. а " При предположениях, сделанных в сноске на предыдущей страиипе. 227 » з аычисльнив михьннчяских внличин Это в полной мере относится ко всем трем рассмотренным приыерам, Если выше мы получили формулы для величин б, Р, »' несколько иначе, то зто потому, что задача наша состояла не только в в ы ч и с л е н и и их, но и в доказательстве их существования — в согласии с ранее данными определениями. Таким образом, все дело сводится к установлению приближенного равенства (1), из которого непосредственно получается окончательный результат (2).
Обыкновенно, впрочем, вместо г)х и ЛД пишут Ых и Щ а равенство (1) для «элемента» ««Д величины Д записывают в форме п«Д = д(х) Их. (3) Затем «суммируют» эти «элементы» (на самом деле беря интеграл!), что и приводит к формуле (2) для всей величины Д. Мы подчеркиваем, что пользование здесь и н т е г р а л о м, вместо обыкновенной с у м м ы, весьма существенно. Сумма давала бы лишь приближенное выражение для Д, ибо на ней отразились бы погрешности отдельных равенств типа (3); предельный же переход, с помощью которого из суммы получается интеграл, уничтожает погрешность и приводит к совершенно точному результату. Итак, сначала в интересах простоты, в выражении элемента г««2 отбрасываются бесконечно малые высших порядков и вьгделяется главная часть, а затем, в интересах точности, суммирование заменяется интегрированием, и просто получаемый результат оказывается т о ч ным.
Впрочем можно было бы подойти к вопросу и с иной точки зрения. Обозначим через Ях) переменную часть величины Д, отвечающую промежутку [а, х), причем Д(а), естественно, полагаем равным О. Ясно, каким образом рассмотренная выше «функция промежутка» Д([««,Д) выражается через эту «функцию точки» Д(х) В наших примерах фушщиями точки явпнются: 1) переменная Луга АМ, 2) площадь переменнойтрапецииАА'М'Ми, наконец, 3) объем тела, полученного от вращения именно этой трапеции. Величина г)1А есть попросту приращение функции «А(х), а произведение «1(х)г)х, представляющеесобойего главную часть, есть не что иное, как дифференциал этой функции [103, 104). Таким образом, равенство (3), написанное в дифференциальных обозначениях, на деле является не приближенным, а т о ч н ы м, если то.«ьяо лод «1«2 разуметь именно ЫД(х).
Отсюда также сразу получается требуемый результат: ~ «7(х) Ах =О(Ь) — Яа) =Д([а, Ь)) — Д. 15 228 1 л. х. ПРилОжения интеГРАльнОГО исчисления (349 Отметим все же„что в приложениях более удобной н плодотворной является идея суммирования бе с ко печно малых элементов. 349. Нахождевве статнческнх моментов н центра тжкестн кршюй. Как нзвестно, статический момент М материальной точки массы т относительно некоторой осн равен пронзведенню массы т на расстоявне Ы точки от осн. В случае с н с т ем ы л материальных точек с массами т„ш„..., т„, лежашнх в одной плоскастн с осью, соответственно, на расстояннях Ам Ал, ..., с(я от осн, статический момент выразится с у м мой М=-2'тн),.
Прн этом расстояння точек, лежашнх по одну сторону от осн, берутся со знаком плюс, а расстояння точек по другую сторону — со знаком минус. Если же массы не сосредоточены в отдельных точках, но расположены сплошным образам, заполняя линию нлн плоскую фигуру, то тогда для выраження статического момента вместо Рнс, 38. суммы потребуется н н т е г р а л. Остановнмся на определении статнческого момента М относительно осн х масс. расположенных вдоль некоторой плоской кривой АВ (рнс. 38). Прн этом мы предположим кривую однородной, так что ее линейная плоты о с т ь р (т. е. масса, прнходяшаяая на еднннпу длвны) будет постоянной; для простоты допустим даже, что р=-1 (в противном случае прндетсн полученный результат лишь умножить на р), Прн этих предположеннях масса любой дуги нашей кривой измеряется просто ее длнной, н понятие статического момента приобретает чисто геаметрнческнй характер.
Заметим вообще, что когда говорят о статическом моменте (нлн центре тяжести) кривой — без упомннання о распределении вдоль по ней масс, — то всегда имеют в виду статический момент (центр тяжести), определенный именно прн указанных предположениях. Выделим теперь какой-нибудь э л е м е н т яг кривой (масса которого также выражается числом Ыг). Приняв этот элемент прнблнженно за материальную точку, лежащую на расстоянии у от осн, для его статического момента получим выражение АМх=уг)к Суммируя зтн элементарные статические моменты, причем за независимую пере- менную возьмем дугу б отсчитываемую от точки А, мы палучнгц М„= ~УЛх (4) Лналогнчно выражается н момент отнаснтельна асн > Мч.= ~ л г/л )5) 229' 3501 Ч 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНЬЗЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Конечно, здесь предполагается, что у (нли х) выражено через в.
Практически в этих формулах в выражают через ту переменную [г, х или й), которая играез. роль независимой в аналитическом представлении кривой. Статические моменты М„и Му кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести С[с, Ч). Точка С обладает тем свойством, что если в ыей сосредоточить всю чмассув Б кривой [выражаемую тем же числом, что н длина), то момент этой маасы отыасительно любой оси совпадает а моментом кривой отыосительно этой оси; в частности, сали рассмотреть моменты кривой относительно асей координат, то найдем 5 5 ос=му= [х Ь, аг).=М = [уи; откуда 5 Му )с с= — = — [ хсЬ, В В[ о М„1 г Ч= — = — ~ у сй. 5 о (6) Из формулы лля ординаты г) центра тяжести мы получаем замечательное геометрическое следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
