Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Отметим, что она имеет такой же вид, как и формУла для скорости, приобретаемой тяжелой материальной точкой при падении с высоты Ь. 3561 243 т 3, Вычисление мехянических Величии Предположим теперь, что в стенке резервуара имеется прямоугольное от. верстие (рис. 48). Требуется определить расход воды, т.
е. объем воды О(мг), вытекающий в 1 сек. Рис. 48. Рис. 49. О= д)г28Ь(ь*-йа). У ~1к ' Гг Г ь 1 г) б РГ Х „ — — — — — — — -=~% При Ь, = О отсюда получается формула для расхода воды через прямоугольный водослив 8) Изучая магнитное поле ~ 1 г) тока, Био и Савар пришли к зислючению, что сила, с которой ток действует на няапппный заряди может быть рассматриваема как равнодействующая сил, как бы исходящих маль1х чэлементов токаи По установленному имн (рис. 49) действует на магнитный заряд гл, помещенный Нр= Ьла1пр ~)г гк где! — сила тока, г — расстояние ОМ, а Р— угол ЬУг, л Рис. 50.
от отдельных бесконечно закону, элемент тока~)к в точке О, с снлойч г) * Формула имеет место в таком виде лишь при надлежащем выборе единиц (например, если сину выражать в дивах, расстояние — в км, магнитный заряд и силу тока — в злектромагнитвых единицах). и ° Элементарной полоске ширины г)х на глубине х отвечает скорость е= ~~'28х; так как ее площадь есть Ь Нх, то расход воды через эту полоску выразится так; «))2 = ')'28Х.Ь лх. Суммируя, найдем 1 /г йт Д = )'28Ь | хт гЬт = — ) 28Ь |,Ьк - Ькг! а, Фактический расход несколько менее вычисленного, ввиду наличия трения в жнлкости и сжатии струи. Влияние этих факторов обыкновенно учитывают с помощью некоторого эмпири- к! ческо го коэффициента д 1 н пишут формулу в виде 244 ГЛ Х.
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ !357 Сила эта направлена по перпендикуляру к плоскости, проходящей через 0 н г(г, и притом — в случае, изображенном на рисунке, — в сторону от читателя. При желании установить действие к о н е ч н о г о отрезка тока на магнитный полюс, приходится суммировать эти элементарные силы.
Для примера олределвм силу, с которой действует на единицу гмагнитного зарядаг прямолинейный отрезок тока ВС (рис. 50), при указавньпг на рисунке обозначениях. и Так как з(лр=з(п <ОМА = —, то г(р можно представить в виде г а1 г(г а1 г(г г(Г= —— гг (аг Гза)гй ' Элементарные силы здесь можно непосредственно складывать, ибо оля все имеют одно и то же направление.
Поэтому г(г 1 г ь 1 э, г, у=а1 (аг .~. Гг) !г а ~/~я Ч. аг (г, а 1 гг гг) й 4. Простейшие дифференциальные уравнения 357. Основные понятия. Урявяевня первого порядка. В главе ЧП1 мы рассматривали задачу об определении функции у = у(х) по заданной ее производной у' =1(х) (или — что то же — по ее дифференциалу г(у=у'(х) г(х) и учились производить операцию ин тег ри рован и я нли квадратуру, с помощью которой ояа решается, у= ~1(х) г(х+Сг. (2) В этом общем решении фигурирует постоянная С. Как мы видели на примерах (263, 264), если даны начальные усло в и я Р(х, у„у, у-, ...) =О, связывающих значения независимой переменной х со значениями как самой искомой функции у, так н ее производных у', у", ... Такого рода соотношения вообще называются д и ф ф е р е ц ц и а л ь н ы м и у р а в н е н и я м и .
Остановимся на уравнении и е р в о г о и о р я д к а, содержащем лишь первую производную у', Р(х, у, у') =О. (4) Решением его является любая фующия у=у(х), которая удовлетворяет ему тождественно относительно х. Как можно показать (при известных предполо- г В этом параграфе под символом ~Дх) г(х мы будем разуметь хотя и произвольную, ио оп р е д е лен и у ю первообразиую функцню, так что постоянную интегрирования мы в этот символ не включаем и будем писать ее отдельно. у= уг прн х =ха, (3) то этим определяется конкретное значение постоянной С=С,.
Подставив его в (2), мы придем к частно му решению нашей задачи, т. е. к конкретной функции у=у(х), которая не только имеет наперед заданную производную, но и удовлетворяет начальным условиям (3). Часто, однако, приходятся определять функцию у=у(х) нз более сложных соотношений вида 358] 1 ж пвостнйшии диоеьвшщнлльиык унявннния 245 жениях относительно функции Р), общее р еще н не его, подобно упомянутому вначале простейшему случаю [см.
(2)], и здесь также содержит пронзнольную постоянную С, т. е. имеет вид т=(е(х, С). (5) Иногда, впрочем, это решение получается в неявной форме Ф(х, у, С)=О нли н(х, у)=С. (б) Разыскание общего решения дифференциального уравнения, в той или иной форме называется н н те гри р о ван не м уравнения. Для примера рассмотрим такую задачу: найти кривые, д л я к о торыхх поди орм аль постоянна.
Если представить себе такую кривую выраженной явным уравнением у=-у(х), то вопрос сведется к разысканию таких функций, которые удовлетворяют условию уу' = р, где р = сопи [230 (3)]. Перепишем его в виде (уг)'= 2р; теперь ясно, что общим решением его будет у'=2рх-ЬС нли у= ]г2рхьб; (7) Таким образом, поставленному требонанию удовлетворяет целое аемейство парабол, получающихся одна из другой смешением параллельно оси х. Здеаь ответ на задачу дает именно общее решение, поскольку требовалось разыскать в с е кривые, обладающие упомянутым свойством.
Если бы в задаче было дополнительно указано, что кривая должна проходить через заданную точку (х, у,), то, подставив этн значения х и у в полученное уравнение (7), мы сможем определить значение С: Се=ус — 2рх . Полагая в(7) С=С„мы прядем к ч а с т и о му ре ш он и ю у'=.2рх~ьСе, выражающему уже конкретную кривую, Нужно сказать, что чаше всего бывает именно так, что задача, приведшая к дифференциальному уравнению, требует конкретного ч а с т н о г о р еш ели я . Обычно последнее определяется начальными условиями типа (3), выдвигаемыми самой задачей.
По этим усновиям, как и только что, прежде всего может быть установлено конкретное значение С=Се, оно определится из уравнения, которое получится, саля в общем решении (5) [или (б)] положить х = х, у = у„. Если теперь в это общее решение подставить найденное решение С„вместо С, то и придем к тому частному решению, которое удовлетворяет задаче. 358. Уравнешш первой степени относительно яреизводнои. Отделение переменных.
Предположим теперь, что в уравнение (4) производная у' входит в первой от сцен и, т. е., что уравнение имеет внд Р(х, у).Щ(х, у)у'.—. О, Иу где Р, Д суть функции от х н у. Полагая здесь у'= —, можно представить уравнеЫх нне в форме Р(х, у) Их+О(х, у) ау-О, (8) которая часто более удобна. Мы остановимся здесь подробнее лишь иа тех простейших частных случаях уравнения (8), когда интегрирование его непосредственно сводится к квадратурам; рассмотрение этих случаев, таким образом, слухшт естественным дополнением главы ЧП1, 246 ГЛ. Х.
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [Збй Если в уравнении (8) коэффициент Р на деле зависит только от .г, а коэффициент Ц вЂ” только от у, т. е. если уравнение имеет вид Р(х) «(х-Ь (9(у) йу = О, (9) то говорит, что и е ременные отделены. В этом случае «пггегрировапне производится очень просто. Пусть функции Р(х) и Д(у) непрерывны (в соответствующих промежутках). Тогда Р(х) «(х будет дифференциалом функции Р(х) = ~ Р(х) «(х, а Д(у) «(у — дифференциалом функции Щу) .= ~ Ку) «(у, даже если поду разуметь функцию у(х), удовлетворяющуюю уравнению (9)«. В таком случае левая часть уравнения (9) представит собой дифференциал от суммы Р(х)<-14(у). Так как этот дифференциал, в силу уравнения (9), равен О, то сама функши сводится к постоянной Р (х) Ч- Д(у) = С.
(10) Легко видеть, что и обратно, если функция у=у(х) удовлетворяет (при любом х) этому уравнению, то удовлетворяется и уравнение (9). Равенство (10) дает о б щ е е решение уравнения (9). При решении уравнения (9) иногда предпочитают члены с «(х и «(у помещать в разных частях уравнения й(у) ««у = — Р(х) г(х. (11) Интегрируя каждую часть порознь и не забывая о произвольной постоянной, которую достаточно присоединить к одному из интегралов, придем к результату (9(у) «(у= — ~Р(х) «(х«-С, тождественному с полученным выше.
Предположим, что требуется удовлетворить н а ч а л ь н ы м у с л о в и я м (3). Вместо того чтобы сначала находить общее решение, а затем подбирать постоянную С, исходя нх этих условий, можно поступить проще: «просуммировать« элементарные величины (11)„справа между х„в х, а слева — между соответствующими им значениями у«и у. Мы получим равенство у х 1()(у) «(у = — [ Р(х) «(х, которое и дает требуемое частное решевие; самый взш его подчеркивает, что оно заведомо выполняется при х=х, и у-у,. Читатель легко уяснит себе, что этот пРием лишь 4юрмой отличается от прежнего. При мер 1): Пусть дано уравнение «(у аш х «Хх 4 — = О. [Гу Интегрируем Г «(У ~жп х«(х Ь ~ — =С нли -сокхь2[(У=С, [У о~куда (соа х+ С)' У= 4 ' Ввиду инвариантности формы дифференциала [!Об[, 3591 ! а пРОстеЙшие диФФеренпиАльные уРАВнения 247 Таково общее решение предложенного уравнения.
Если даны начальныеиые условия, например 7 1 при х=О, то, подстанляя эти значения, сразу находим С = 1, что приводит к частному решению (1+ сок х)' 7= 4 7 лу — = — ~ ылхг(х, т. е. 2(~у-!) =созх — 1, с откуда — 1 Фсозх (1 Чсозх)з К»= 2 Часто случается, что хоти уравнение (8) и не имеет вида (9), но может быть преобразовано к этому виду, после чего интегрируется, как указано выше. Такое преобразование и носит название от д елен и я переменных. Переменные легко отделяются в том случае, когда коэффициенты Р и !2 представляют собой произведения множителей, зависящих каждый только от одной переменной, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
