Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Интегрируя слева от О до г, а справа от О до 6, приходим к искомой зависимости: е с[6 г с)зг 9-) е Однако, квадратура яа этот раз в конечном виде ие берется: как сейчас увидим, интеграл справа непосредственно приводится к эллиптическому интегралу 1-го рода. Переписан (14) в виде 04) 1]1 [ с(6 2 В а к[п' — — к[лев 2 2 а а и положив а1п-=сс (О=де 1), введем новую переменную интегрирования р по 2 ' Сила направлена против движения! 252 Гл. х. НРилОжения интеГРАльнОГО исчислнния [359 формулам В, 1 В яп — =-/г зшр, — соэ — 4В=/г сезр г(Р; г (15) при этом изменению В от О до а отвечает изменение Р ог 0 до л/2.
Тогда Р— — Т(р, В). а (16) Так как по первой из формул (15) легко выразить Р через В, то зависимость г от В можно считать устанонленной. Желая выразить, наоборот, В через г, мьг нуждаемся в о б р а щ е н и и эллиптичепгого интеграла в Это раненство определяет и как монотонно возрастающую непрерывную (и даже дифференцируемую) фушагню от Р в промежутке (-, -ь ), которая и сама при этом изменяется от — до + . В таком случае [ВЗ) переменная р оказывается однозначной функцией от и в промежутке ( —, + ); ее Я к о б и обозначил через аш и", Из (16) теперь ясно, что 1ГВ ,В, и 1)В р=агл — г и, значиц ыл — =яп — з)ваш — г. 1221' l Функцию зш аш и («синус амплитуды«или «эллиптический синус«) обычно обозна- чают просто через зл и«*. Итак, окончательно, зависимосп В от Г выражается ра- венством в а [Г~ з)л — = з(л — зл — г.
Т вЂ”. 2 — = 2 — КОг). е Отметим, что период колебания Т на деле з а в и с и т от угла а, на который маятник первоначально был отклонен, ибо lг зависит от гг, Заменяя — при малых * аш — начальные буквы от слова ашррлпбо (амплитуда). ««Функция зп и, рассматриваемая как функция комплексного аргумента, является одной из простейших (введенных Абелем и Якоби), так называемых, эллиптических функций.
«*«Волн верхний предел интеграла (14) взять равным а, то интеграл станет «несобствешпяьв [см. ниже 479[, ибо на этом пределе подннтегральиая функция обращается в . Это затруднение исчезает при пользовании интегралом (16). Определим, в заключение, продолжительность Т одного размаха маятника из положения ОВ' в положение ОВ; она в д в о е больше промежупга времени, нужного лля перехода из ОА в ОВ. Т(олагая в (14) В = и или в (15) Р = л(2«««, получим (после у д в о е н и я) выражение для Т через полный зллнптический юпеграл 1-го рода: «д ЗЕО) ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 253 углах а — молуль )с нулем, получим простую и р и 6ли же ни у ю ф о р мулу которая обычно и приводится в элементарных курсах физики.
Збб. Замечашш о составлении дифференциальных урввжвий. Ограничиваясь уравнением первого порядка вида (8), мы остановимся на вопросе о составлении подобного уравыення. Наши замечания по этому поводу читатель сопоставит со сказанным в 348 отыоситсльно простейшего уравнения ЛО = 4(х) Лх. Как правило, при составлении уравыеыий приходится рассматривать бесконечно малые элементы входящих в рассмотрение тел и бесконечно малые приращения тех величить о которых идет речь.
Правда, в задачах предыдущего л' нам, как будто, удалось избежать этого, но лигпь цеыой истюльзоваиия уже г о т он о г о выражения для углового коэффицнеыта касательной, г о т о в о г о выражения для скорости изменения той или иной величины, коз орые сами п о явились из рассмотрения бесконечно малых элементов. При установлении зависимости между бесконечно малыми элементами следует пользоваться всеми возможными упрощающими допущениями и приближенными замеыами, сводящимися в сущности к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. В частности, все бесконечно малые приращения рассматриваемых величин рекомендуется заменить их днффереыциалами; как читатель знает, это также сводится к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. Истинный смысл всех этих указаний лучше всего выяснится ыа примерах (см.
следующий и'). Здесь же мы хотим остановиться еще на разаясыении того важного обстоятельства, что получающееся в результате всех этих упрощений и отбрасываний дифференциальное уравнение вида (8) Р(х, у) Лх~-П(х, у) Лу=б оказывается отнюдь не пр н б л и же ыяы м, а вполне точным *. Итак, предположим, что замеыяя приращения Лх и Лу дифференциалами т)х н Лу и отбрасывая — в случае надобности — бесконечно малые слагаемые в ы с ш ег о, чем Лх, порядка, мы пришли к уравнению (8). Если бы мы не делали этой замены, то вместо 4х н Лу имели бы Лх и Лу. Восстановнм, сверх того, все отброшенные бесконечно малые высших порядков и, перенеся в правую частгь обозначим их сумму через а; очевидно, а также будет бесконечно малой в ы с ш е г о порядка.
Таким образом, рассуждая строго, мы пришли бм не к равенству (8), а к такому: Р(х, у) Ля+0(х, у) Лу=а, которое вполне точно. Разделим теперь обе части его на Лх Лу а Р(х, у)ты(х, у) — ==— Лх Лх н перейдем к пределу ыри Лх-О. Так как при этом — О, то в пределе получим равенство Лх Лу Р(х, у)тй(х, у)у'=О или Р(х, у)тй(х, у) — =О, Лх которое тождественно с (8). Поэтому и уравнение (8) оказывается точным. Хотя при обычном методе составления уравнения мы явным образом ие прибегаем к прелельному переходу, но фактячески мы его именно и выполняем, когда ь Это аналогично сказанному в конце 348 о равеыстве ЛО = я(х) Лх. 254 Гл.
х. Пгиложвнии интигилльного исчисления 1361 отбрасываем бесконечно малые высших порядков и заменяем приращения диффеРенциалами. Обращаем внимание читателя иа то, что мы вовсе не утверждаем, что всякое отбрасывание бесконечно малых высшего порядка пряводит к точному результату. Лишь в том случае, если это отбрасывание доведено вдо концаь, и в результате получилось уравнение вада (8), линейное и одно р одное относительно дифференциалов, можно уже ручаться за его точность. (Опнть аналогяя с и' 348В 361.
Задачи. 1) Барометрическая формула. Поставим своей задачей установить зависимость между вьюотой Л(ж) места над уровнем моря и давлением воздуха Р (хг/м'). Вообразим над уровнем моря площадку в 1 м' и рассмотрим призматический столб воздуха, опирающихся нв эту площадку. Давление воздуха р в сечении этого столба на высоте Л обусловлено весом той части столба, которая опирается на упомянутое сечение.
У в ел и чение высоты Л на бесконечно малую величину ~(Л влечет за собой у б ы л ь давления — Вр, которая измеряется весолг слоя воздуха между площадками (Л) и (Л+ ь Л) (рис. 52) — Вр = г г(Л, где г есть вес (в к ) 1 мь воздуха под давлением р. Мы пренебрегаем здесь тем, что на деле г цен яе т с я при переходе от нижней площадки рассматриваемого слоя к верхней. Как легко нанести из закона Бойля — Мариотта, величина г сама пропорциональна давлению р: з=-ЛР, так что окончательно В» 47= — ЛР ВЛ или — = -ГЛ ~(Л вЂ” уравнение уже знакомотгб нам типа [ср. 359, задачи 3) и 4) (а)). Отсюда Р Рьг — Лл Если решить это уравнение относительно Л, то получим формулу Ууо1еяь жвяя Рис.
52. Рь Л=- 1п —, Л р позволяющую судить о высоте Л подъема над уровнем моря по давлению р воздуха. Постоянная 1!Л, как устанавливается в физике, равна (с округлением) 8000 (1+0,004г), где г — средняя температура воздуха. Если перейти к десятичным логарифмам (умножив и разделив на модуль Лг=0,43) н заменить опюшение давлений Р~р отношением барометрических отсчетов Ь /Ь, то получим окончательную фоРмулу Л = 18 400(1+0,004г) 1ой Ь,УЬ.
Эта фоРмула годится и для определения разности высот Л любых двух точек, в которых показания барометра соответственно равны Ь, и Ь. 2) Трение канатов и ремней. Представим себе, что через неподвижно укрепленный цилиндрический барабан перекинут канат (ремень и т. и.), который прилегает к цилиндру по некоторой дуге АВ (рис. 53а), соответствующей центральному углу гь (ьугол обхватаь). Пусть к копну А каната приложена сила Яь, а к концу  — сила В,.
Если между канатом и барабаном существует трение, то сила Вь может уравновесить даже бблыпую ее силу, приложенную на другом конце. Какова же та н аиб о л ь ш а я сила В„которая при наличии трения может быть уравновешена дан- ной силой Яьу ЗЬЦ ! а пгостнйшии диееивннцихльиыь угхвнв!ия 255 Для решения этого вопроса рассмотрим сначала, как распределится и а т аж е н и е Я вдоль части АВ каната в тот момент, когда лишь начинается скольжение. Что это натяжение не будет постоянным, явствует уже из того, что в точках А и В оно, соответственно, равно Я, и Бг. Возьмем на дуге АВ какую-нибудь точку М, положение которой определяется углом В = <)АОМ, и установим, какие силы действуют на элемент ММ' каната, отвечающий центральному углу АВ. Прежде всего в точке М действует натяжение Я=ЯВ), а в точке М' — натяжение оьсИ (рис. 53б).
Обе эти силы направлены д) Рис. 53а. Рис. 53б. по касателыпам к окружности барабана. Для того чтобы определить силу тревия иа рассматриваемом элементе, нужно вычислить нормальную силу ЙЧ, принимающую этот элемент к поверхности барабана. Она слагается из р щиальиых составляющих обоих натяжений, так что АВ АВ ШЧ = Я з(л — Ч-(б-ЬАЯ) з)п — . 2 2 АВ Здесь можно отбросить произведение Абз!л — как бесконечно малое высшего 2 ИВ АВ порядка и заменить з!и — эквивалентной ему бесконечно малой — (что снова 2 2 равносильно отбрасывааию бесконечно малой высшего порядка). Окончательно И!У= ЯИВ. Так как сила трения пропорциональна этой нормальной силе, то, обозначая множитель пропорциональности (коэффициент трения) через д, получим гИ=РИВ(=дБАВ. Трение противодействует начинающемуся движению, так что сила гИ вместе с натяжением Я в точке М должны уравновешивать иатюкенне ЯЧ-гИ в точке М', откуда сИ =дЯ ЫВ.
Мы снова получили дифференциальное уравнение знакомого типа. Можно сразу написать его решение (с учетом начального Условия Я= Запри 0 0)". Я= Завяз. Наконец, полагая здесь 0 =со, найдем Яг= оае~ '. Эта важная формула принадлежит Э йле ру. 3) Ф о р м у л а П у а с с о н а (3. П. Ро(ьзоп). Предложим себе установить зависимость между объемом Р и давлением р одного моля идеального газа при 256 ГЛ. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1361 (! 8) и определить АТ г/Т= — (р А)гг- Кг(р), 1 Я то остается лшпь подставить это выражение в (18) сс сг+АЯ г/(/= — ГгАр-Ь р АИ Я Я Можно показать, что сс+АЯ есть как раз теплоемкость ср газа при посто ян- ном давлении *, так что окончательно сс ср А(/= — ГгЫр+ — р сЬ'.
Я Я Вернемся теперь к сделанному вначале предположению, чю процесс протекает а д и а б а т и ч е с к и; тогда А(/= О. Таким образом, мы приходим к дифферен- циальному уравнению, связывающему р и )г, ЫР А)г / ср с,)гг/р+ срр г/)г= 0 или — -ь/г — 0 ~где /с =- — 1) . с, Интегрируя, найдем 1и рг-)г (п 1'=0 или р) я= С. Это и есть (рармула Пуассона. я Если из (19) определить р Ау= я г/Т- )гАр и подставить в (18), то получим г/(/=(с„-ьАЯ) АТ-А)'Ар. Полагая здесь р-сопзг, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
