Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 42
Текст из файла (страница 42)
е. когда Р(х, 7) Р,(х)Р,(7) и Д(х, 7) = ()з(х)(2 (7). Действительно, достаточно разделить обе части уравнения Р,(х)Р,(7) (к+0,(х)(2з(г) 7 на Р,(7)(!г(х), чтобы этим уже отделить переменные: Р,(.) — г(х Ф вЂ” с!7 = О. Д,(х) Р,(7) (1 2) х Х' Пример 2): 7 Нл — ох — соз - оу- О. 2 2 Уравнение имеет вид (12); отделяем переменные х з!и— г(7 2 — ~УХ 7 Х соа- 2 и интегрируем х 1и 7 -2 !п соз — + с. 2 Потеицируя, определяем отсюда 7 ес 2ес 7= х 1+соах созз— 2 Полагая еще С = 2е', приведем общее решение к виду С 7 1+созх 359.
Задачи. Рассмотрим ряд задач из различных областей знания, йейбсредственно приводящих к дифференциальным уравнениям с отделяющимнйй ййре. менпыми. Как упоминалось, можно в этом случае избежать необходимости предварительно составлять общее решение, написав сразу 248 ГЛ. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [359 1) Найти кривые, у которых отрезок л нормали (до пересеченил с осью х) сохраняет постоянную величнау г.
Воспоминая выражение для л [239, (4)), записываем условие, которому должна удовлетворять искомая функция у от х, в виде дифференциального уравнения [у[г~ 1уг( г. Етш уг([.~.уг) — гг Отсюда г(у )ггг уг у= г[х у у г(у или — -- йг1х. )ггг уг Интегрируем РГ= г( — Ь. )газ Гг у Интегрируем: гь ))с'-у) мы получили семейство тракт ри с [ср. 331, 11)). 3) 3 а кон охлаждения. Пусть охлаждаюшесся тело температуры В' С окружено средой с температурой 0' С. Н ь ю т о н установил закон, по которому скорость охлаждения пропорциональна самой теьшературе 9, т.
е. 49 — -Щ г(г где )г — положительная постоянная. Определить закон, по которому убывает температура тела, начиная с момента 1=0, Имеем г(9 — -)г г(г, В откуда, интегрируя, найдем 1и 9 = — )гг Р 1л С'". Очевидно, В = Се ы. Полагая здесь г=О, видим, что С есть нечто иное, как н ач альп ая температура 9,.
Подставляя, придем к окончательной формуле В=Ее которая определяет температуру тела в любой момент, если только она была известна в начальный момент (Вг). ' Предвидя потенцировзние, мы сразу иерем постоянную для удобства в виде [лС вЂ” [(г' — у"= х(хчС) или (х->С)гг-уг= г'. Как и следовало ожидать, мы получили семейспю окружностей радиуса г с центром на оси х. 2) Найти кривые, у которых отрезок г касательной до пересечения с осью х сохраняет постоянную величину а. й силу 239 (4), дифференциальное уравнение задачи имеет вцц ~ У вЂ” -1[ г(у Полагая у'= —, его легко преобразовать так: г(х 3591 З 4.
ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 249 й! Н или — Ф вЂ” 1=— й 1 Е (! 3) (а) Пусть постоянный ток силы 14 в момент 4= 0 размыкается. Так как тогда и=о, то м Ш и — + — 1=0 й Е 4(1 )1 или — — — ~(г 1 Е и (аналогнчно 3)) л — г 1=- 1,4 Этот ток, проходящий в цепи под действием одной лишь электродвижущей силы самоиндукции, называется экстратоком размыкания.
С возрастанием г его сила быстро стремится к О, и через короткое время ои становится неощутимым. (б) Если цепь в момент 4=0 з а мыкается, в ней начинает действовать постоянное напряжение У", то из уравнения (13), снова отделяя переменные, получим Ю Г вЂ” лу= Се — )Г ~(1 Н вЂ” =- — й, К вЂ” й1 1 Постоянную С определим из н а ч альных у с но вил 1=0 при г=-б; очевидно, С= Р', так что окончательно - ) Н Мы видим, что наряду с током —, отвечающим закону О м а, одновре- Л л Н менно протекает в обратном направлении ток — е . Это и есть экстра Е )г ток замыкания; его сила также быстро убывает с возрастанием с.
Коэффициент Е зависит от свойств тела и среды; он определяется опытным путем. 4) Экстратоки размыкания и замыкания. Если в электрической цепи действует постоянное напряжение г', то, обозначая через й сопротнвление цепи и через 1 — силу тока, по закону О ма будем иметь Е Ж. Когда же напряжение Е меняется (а также в момент размыкания или замыкания тока постоянного напряжения), во многих случаях имеет место явление самонндукцин, которое состоит в появлении дополнительной злектродвижущей силы, пропорциональной 4(1 скорости изменения силы тока —, но имеющей обратный знак. Ф Таким образом, величину этой электродвижущей сильг самоиндукции можно 411 представить так: — 1 —, где 1.
— 4коэф(пщнент самоиндукцииз (Е О). Ф Если налицо самоиндукция, то при размыканни тока его сила не сразу падает до нуля, а при замыкании — не сразу достигает своей нормальной величины. Исслелуем эти явления аналитически. Закон О м а теперь принимает следующую форму: 250 ГЛ. Х.ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГ!'АЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1359 5) Уравнение химической реакции. Рассмотрим химический процесс, состоящий в превращении взаимодействующих веществ А, В, ...
в вещества М, 1Ч, ... Для оценки количества вещества, участвующего в реакции, его выражают в грамм-молекулах или молях. Молем какого-нибудь вещества называется такое его весовое количество, которое вмражается в граммах числом, равным его молекулярному весу. В моле любого вещества всегда содержится одно и то же количество молекул, независимо от вещества. Если предположить, что во взаимодействие вступают на каждую молекулу одного вещества по одной молекуле другого, то на каждый моль одного придется один моль другого. По истечении времени с от начала реакции, от каждого из взаимодействующих весцеств вступит в реакцию одно и то же количество х молей, Вх Скорость во з р а с тани я х относительно времени, т.
е. производная —, сгс ыазыыается скоростью химической реакции. Пусть в процессе участвуют д в а вещества А и В, первоначальные количества которых (в молях) обозначим через а и Ь (при этом пусть, скажем, Ь а). Через промежуток времени с будем иметь колнчеспю а — х вещества А и количество Ь вЂ” х вещества В. Естественно допустить, что скорость химической реакции в момент с пропорциональна произведению реагируюпщх масс, т. е, произведению количеств реагентов, ые подверппихси еще превращению.
Это приводит к такому дифференциальному уравнению сух — = )с(а — х)(Ь вЂ” х) сй сгх или = (с с(с. (а — х)(Ь вЂ” х) Интегрируя, получим 1 а-х — )л — — (с!+ С. Ь-а Ь вЂ” х 1 а Так как при с = О мы должны иметь и х = О, то С=- — — 1и †. Подставляя это значение С: Ь вЂ” а Ь (а-х)Ь 1-е-а(ь-ид 1и =- — (с(Ь-а)с, легко находим затем х=аЬ (Ь вЂ” х)а ,„-а(ь-и)! ' При возрастании с показательное выражеыие стремится к О; через конечный промежуток времени оно становится настолько малым, что х практически уже не отличить от а, и реакция заканчивается. б) Математический маятних. Пусть материальная точка массы т подвешена на ыерастявимой нити или стержне длины 1 (весом которых пренебрегаем) так, что может двигаться по дуге окружности (рис.
51). Эта система называется .иатематичесиим маятником. Выведя маятник из положения равновесия ОА в положение ОВ(и я!2), предоставим маятник самому себе, не сообщая ему начальной скорости. Маятник перейдет в симметричное положеыие ОВ', потом вернется в положение ОВ и т. д. Задача состоит в установлении характера колебаний маятника, т. е. в выяснении зависимости между углом 6 = сУАОМ и временем С. Для определенности рассмотрим двюкеыие точки М по дуге АВ, отсчитывая пройденыый путь с АМ=16 от точки А, а время с — от момента прохождения маятника через положение равновесия. Разлагая силу тткести В= иск, действующую ыа точку М, как указано ыа рисунке, видим, что ее касательная составляющая Рс= — сики)лбс, 359] 251 ь а пгостнйшин диионнннцияльныв увнвннния в то время как нормальная составляющая уничтожается сопротивлением нити или стержня. Рели через о обозначить скорость точки М, то ее кинетическая энергия 1 в рассматриваемом положении будет — тес и сведется к О при переходе М в В.
2 С другой стороны, работа А, произведенная силой рс иа пути МВ выразятся так [352 (9а)]: Л = — ~ тр ып 6 ссс (здесь Я=АВ) или, сели перейти к переменной В, Л= — ~+[о В бй=- о = — тф(сок  — сок сс). Тогда, по закону живой силы [552], 1 — то' = л)уl (сок  — сок а), 2 Рис. 51. о = ]СВ[ ~2(сок  — соки). с(г сс'В Так как е=- — = [†„ то для определения с(е с'с " дифференциальное уравнение зависимости между В и г получаем 1 с(6 с(с = гскйз-л ) ]~ — — ])'2(сок  — сок а) или дс 17- где переменные уже отделены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
