Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 36
Текст из файла (страница 36)
х. пРиложения интегРАльного исчисления (344 Полученную сумму можно разбить на две сужчы следующим образом: и-1 и-! 0=-2~~ Лу!1!+л Л (у1-т-у!)1! 1=0 Так как функция у= !Р(у) непрерывна, то (по свойству равномерной непрерывности) можно предположить нашу кривую разложенной на столь мелкие части, что все разности у;+,-у1 по абсолютной величине не превзойдут произвольно малого положительного числа и. Тогда л — 1 л — 1 "Л (У1+ -У1)1 - .'5 11 б; !-е отсюда следует, что эта сумма стремится к нулю при !пах Аз1-0.
Что касается суммы: л-1 2тс ~ у;1„ 1-Е то ее можно разложить на две суммы: л-1 л-1 2л ~ у!АР! — 2л ~ у(Ах1-1). 1-о Так как функция !Ут(х) непрерывна„ то она ограничена, так что все ~у1~~М, где М вЂ” некоторое постоянное число. Обозначая последнюю сумму через х, имеем л-1 / л-1 )т! =2!к ~ у;(А41-11) ~2ЖМ~Я- ~ 1, .
1-О 1-О При дроблении кривой на все более и более мелкие части разность и-1 Я вЂ” ~ 1„ 1 Е по определению длины дуги, как предела периметра вписанной ломаной*, должна стремиться к нулю. Но тогда н т О. Оставшаяся сумма и — ! а = 2л ~ у! Лу! 1-о и Это непосредственно следует из определения лип!ь для простой н е з а мкнут ой кривой, но затем легко получаетса и для простой вам к ну той кри. вой, путем разложения на две незамкнутые кривые, 3451 2)т 1 2.
площади и Оьъемы является интегральной суммой для интеграла который вследствие непрерывности функции у= 9г(з) существует, так что при гпак Лг;-О сумма и стремится к зтому интегралу. Мы получаем окончательно, что — при сделанных предположениях — площадь поверхности вращения существует и выражается фор- мулой Р = 2 и ') у йз = 2л ~ 'У(х) г)ю (20) Если вернуться к общему параметрическому заданию (б) нашей кривой, то, произведя в предшествующем интеграле замену переменной (см. 313, (9)], преобразуем его к виду т т Р=2л~уУх' у'згй=2л ~чр(!Я7р (г)Я (9УЯ7гП, (21) В частности, если кривая задана явным уравнением у = Дх) (агих цЬ), так что в роли параметра оказывается х, будем иметь Р=2ж~у)~1->у„"Их=2и) г'(х))г1е11'(х)1'г1х.
(22) е а 345. Првмеры. 1) Определить площадь поверхности шар о в о г о и о я с а. Пусть полукруг, описанный около начала радвусом г, вращается вокруг оси х. Из уравнения круга змеем у= )/гз-хь, далее, у6+г- г. В таком случае площадь поверхности повса, описанного дугой, концы которой имеют абсциссы х, и х,~-х„по формуле Р2) будет Р 2лг~ г йх = 2лг(хг — х,) = 2лгЬ, где Ь есть высота пояса. Таким образом, плошадь поверхности шарового пояса равна произведению окружности большого круга на высоту пояса.
В часшости, при х, = — г, х, = г, т. е. прн Ь = 2г, получаем площадь всей шаровой поверхности Р 4лг'. 2) Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги ц е и л о й х л л н и н у = а с)г —, концы которой ямеют абсциссы О и х. в г|8 ГЛ. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [345 где |' — обьелс соответствующего тела вращения [см. 343, 3)[.
3) То же дла астр аиды х=-асоь' с, у=аьшьс. Достаточно удвоить площадь поверхности, описанной дугой астроюнл лежа- ) хс'+ус =-Замп|сох|; в таком случае по формуле (21) ь ь яп'с |" !2 Р 2 гл [ааль с Заяпссоьс0с=!2таь~ь(п ссоь сс(с=)2лаь — ~й= — лак 5 [о 5 о о 4) То же для ц и к л о н д ы х = а(с — яп с ), у — — а(1 — соь с ). с Так как у=2а ып' —, с(с=2аяп — с(с, то 2 2 с г, Ссоьь и 1|л 04 Р гл [4аьяпь — Ась=!благ ~ япь а с(и=!благ ~ — -сохи) = — ла'. 5) Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды г-а(1+соя 0) вокруг полярной оси. Следует в основной формуле (21) перейти к полярным коордвнатаьп ь 0 Р = гл ~ у ссь = 2л ~ г яп 0 у Нг + Р' с(0. ь о (23) В нашем случае и =О, )) =-л, и поэтому 0 О 32 Р= гх ° 8аг~соь' — ь!п — 00.= — лак 2 3 5 о Так как )'!+ух*-с)з —, то по формуле (22) а х 2 Р 2л ~ сйй — асх = — |', а а о щей в 1 квадранте ~О~У~Л .
Мы имели уже 2)' О О у = г яп 0 = а(1+ соь О) яп О = 4а соьь — ь!п —, 2 2 О с(г = 2а соь — с(О, 2 З45) 2!9 1 2. ПЛОШАДИ И ОБЪЕМЫ 6) То же для ле и ни с ка ты г'=2атсоз 20. а )Г2 Здесь у = а )г2 )тЪз 20 яп О, ттт = т)0, так что по формуле (21) ')гсоз 20 Р=2 ° 2л 2а' яп 010=Блат 1- — ~я7,361 а'.
~'2) 2 ~ Наконец, 7) определим поверхность элли по аида вращения как вытянутого, так и сжатого (сферонла). х' у' Если эллипс — ф — =1 врашается вокруг оси х, и а»Ь, то имеем последоа' Ь' ватепьно Ьт ут "Ь ат УУ = дт У )т1 +У'=- К~'+!Ууз)*=~) Ь вЂ” — х Ч- —."= ат ат д ~ дт с Но а- — Ьт = с', где с — расстояние фокуса от центра и — равно зксцентриситету а г эллипса. Таким образом, — Ь у)т1+у'= — )а-техт а а а Ь г Ь г Р=2л — ~ ~Р-ехат)х 4л — ) ~IФ-гехт тля= а а -д о =4л — ~ — х )та' етхтч--агсз)п — ~~ =2л — (а )тдт-гтдтфататсяпт); а 12 2е а~~а а но ат — Ма'=а'-с'=Ьт, так что окончательно имеем а Р=УЛЬ ~6+-атсяпе) . Если эллипс вращается вокруг малой оси, то для того, чтобы удобнее было воспользоваться уже произведенными выкладками, мьт будем считать, что ось х и служит малой осью.
Тогда в полученном для у )т! +у' выражении нужно лишь обменять а и Ь местами, так что теперь У )т) т-у'т= — / Ь'+ — х'=- ) Ьтт--х'1 Ь1 Ь' Ь~ Ь' 22С гл. х. пеиложьныя иитегеального исчисления в таком случае ь Р=2п — ~ 1 Ь»Ь вЂ” х»»!х.=2п- ~ — х~ Ь'+ — х»Ь — !и ~ — х+ ~/ Ь»Ч вЂ” х Ц ~ — Ь11 и» Ь~2 1 и» 2с 1Ь ~ Ь» 11~ ь -и а УЬь-~с»+с ) =2па )ггЬ»-~с»~- — 1и 2с )Ь».~. » но )ЬЬ»-~-с'= а, с=.»а, так что окончательное выражение для Р будет такое Ь' а+с) / Ь' 1 1+в! Р 2па'(а+ — !и ~=2па !а-Ь вЂ” — !и ) .
2с а-с~ ~ 2а в 1-в) 346. Площадь цилиндрической поверхности, Рассмотрим еще один частный тнп ар ив ой поверхности, для которой мы также здесь Рнс. 35. определим понятие площади (предвосхищал то общее определение, которое будет дано лишь впоследствии). Мы имеем в виду ц илиндрнческую поверхность. Вернемся к кривой АВ на плоскости ху, о которой была речь в 344.
Приняв ее за направляющую, представим себе цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси х (рис. 35). По этой поверхности проведем кривую СР, которая с каждой образующей пересекается в одной точке; зта кривая определится, если к уравнениям (6) присоединить еще третье т = Х(!) (Х !)) (24) 1 Х Плспсчлн И Овъвым Речь идет о вычислении площади Р части цилиндрической поверхности чпод этой кривой». Как и в и' 344, введем дугу г в качестве параметра; тогда не только уравнения (6) кривой АВ заменятся уравнениями (18), но и уравнение (24) перейдет в т = Х(у).
'~ ~;.Эя~+г !=о 2 С помощью таких же соображений, что и в 344 (провести их полностью читатель сможет сам), вопрос приводится к вычислению предела суммы и-т ~ к;Ахм з в в которой легко узнать интегральную сумму, Окончательно* Р = ~ г ~Ь = ~ Х(к) Ва о о Возвращаясь к произвольному параметру 6 легко получить и общую формулу Р= ~ к)гх,"+у,' с(г= ~2(г) ДД~))яч (зр'(г))яй. (25) Наконец, для случая явного задания кривой АВ: у=Дх) (а х~Ь) эта формула перепишется так: Р = ~ г )г1 ь у„" Ах = ) 2(х)~! ч- ( Г(х))з Ых.
ч (26) в Этот результат становятся совершенно наглядным, если представить себе пнлнндрнческую поверхность развернутой по плоскости, так что рассматриваемая фнгура превратится в чкрнволннейную трапепнюь Вписав в кривую АВ ломаную АА,...
А„,В и, в соответствии с этим, в кривую С11 — ломаную СС,... С„,)) (см. рисунок), из трапеций А~Аз ыСоыС~ составим призматическую поверхность, вписанную в рассматриваемую цилиндрическую поверхность. П о д п л о щ а д ь ю этой последней будем понимать здесь предел Р площади Д упомянутой призматической поверхн о с т и при стремлении к нулю наибольшей из частичных дуг.
Полагая к;=А;С„имеем (сохраняя в остальном прежние обозначения) 222 ГЛ. Х, П1'ИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1347 347. Примеры. 1) Пусть на рис. 36 кривая АВ представляет собой и а р а б о л у с вершиной в точке В. Ее уравнение (при обозначениях рисунка) Ьх' у=Ь- —.
аз Построенная на ией цилиндрическая поверхность пересечена плоскостью ОВС с уравнением с г= -х. а Найти площадь Р части АВС цилиндрической поверхности. Р е ш е н н е. По формуле (26) з Р= ~х )саву'ых= — ) х)са'ч4ьх' с(х= — — )(аз-;46 )з — аз~ . а' с !2Ьз 1.
е о 2) Если кривая АВ будет четвертью окружности у = Сса' — х'(О» т»а), то воспользоваться формулой (26) — безоговорочно — нельзя. ибо при х=а производная Рис. 36. у„'. обращается в . Прибегнув к параметрическому представлению х=асозс, у=азшс ~б~с»вЂ” 2/ мы по обшей формуле (25) будем иметь Р ~ х~хрч-ур Ас=ас ~: сок сАс =ос. о е Если вернуться к цилиндрическому отрезку, о котором была речь в 343, 8), то боковая поверхноссь его, как следует из полученного только что результата, окажется равной 2аЬ (с=Ь). 3) Наконец, решим ту же задачу в предположении, что кривой АВ будет четверть эллипса х=асозп у Ьзш с (0»с» — 1 .
2/ 3471 1 '2. плон(иди н овьнмЫ [Явным уравнением здесь не следует пользоваться по той же причине, что и выше). (а) Пусть сначала а Ь. Вводя эксцентриситет е = эллипса по формуле [Гп'- Ь[ о (2эг, получим Р=с ~созг'1'агэ)п'г-ьЬгсоээг Ш= — [ [/Ьгч ггируи Ь3 (подстановка и=аз(п г), и окончательно 1 Г 1 — гг 1-'~.къ Р = — ос ~1+ — 1и 2 2е 1 — г [1 Ьг — г' (б) В случае а Ь, эксцентриситет е= — и Ь Ьс г — — 1 Р=Ьс~ )г(-ггэ(аг г соэ г й= — ф-гг+ — агсппг~. 2 е е 4) Рассмотрим часть цилиндрической поверхности х" +у'=Хх, ограниченной сферой х'+у'-1-х'= Х', кривая, получающаяся в пересечении [кривая В и в и а и и, 22Р, 1)[, как мы знаем, может быть представлена параметрически так: х=йзш'Г, у4 Хаю тсовГ, х=йсоап Если ограничиться первым октантом, то г здесь надлежит изменять оз.
0 до —, 2 Очевидно, первые два уравнения играют роль уравнений (б), а последнее — уравнения (24). Плошадь упомянутой поверхности по формуле (25) будет э Р =- 4 Хг ~, 'соз г М = 4 Хй а х -- г соэ г, у =- г ып г и, наконец, г' л) к= [(г' — х'=гпп г ~От!~-~ ° 21 По формуле (2эг половина искомой площади равна э 1 — Р=йг' [ з)п г гй=йг', 2 и так что Р=!бг'. 5) Определить площадь поверхности тела, общего двум цилиндрам радиуса г, оси которых пересекаются под прямым углом [ср. 343, 11)). Введем систему координат, как на рис.
33. Ограничиваясь одной из цилиндрических поверхностей, для первого октанта имеем 1347 1'л. х. ПрилОжения интеГРАльнОГО исчисления 6) Та же задача — но для случая, когда цилиндры имеют различные радиусы г н А г (ср. 343, 12)). Вычислим сначала плошадь части цилиндрической поверхности радиуса г. Имеем х=гяп1, у=псов! ~О гав 2) »=)А»-х'= )»А» — г»5!Л»1=А)1-/г»5!Е»1 ~/и-— А/ По фора»уле (25) Р, =хйг | )Р! — /»» 5!и» 1»/1-8АГЕ (/»). и Обращаясь теперь к цилиндрической поверхности радиуса А, обменяем ролями ось 5 и ось у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
