Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Бесконнчнып Ряды с постоянными членАми (зтз Перейдем к пределу, увеличивая здесь гп до бесконечности: ас.-Г(+ -) — Лп) ~ а„ 1=ль! с=л Р(ч ) — Г(п-~1). :Р; а„«й-' ) — Г(п); г=ль1 это и дает искомую оценку как сверху, так и снизу*. 1 Например, для ряда ~', — (с»0) будет я=1 лг+' 1 г(я!= — — — — .
Р(+ )=О, с хп г"!х)- —, хт+ ' ! ! ! 1 ! — ° — « ~ С (Л+1)п с=лп.гйг+и и Лп б) Если же Р(х) возрастает до бесконечности вместе с х, то эта функция позволяет судить о быстро те ро с та частичной суммы предложенного ряда. Рассмотрим неравенства 0 ..!'(1с) — Щ1с - 1) — Г(!1)) «Д/с) — 1'(гс ч- 1) и. просуммировав их от !с=1 до гс=п, получим возрастаю щую, но ограниченную варианту ЛД)с)-Щп-~1)-Г(1)]«)(1)-У(п+1)«У(1), 1-1 Р(л+ пл) — Р(л) ~ т (1) ас, Р(-! )-Р(л)= ~ Г(1)л1. и Поэтому неравсаства (10) могут быть переписаны так: у(г) пг«,2 аг,м ~ у()с)«Х(11111. п-п.1-1 п=лл1 пл1 л (10а) то, переходя к пределу при л1-, ПОлУчаем несобственный интеграл гй5 3741 ч 2. схОдимОсгь пОЯОжитяльных РядОВ которая стремится к конечному пределу.
ТО же справедливо и отно- сительно варианты к л,' .1((с) — г(л+ 1). 1-1 Если через С обозначить ее предел, а через а„— бесконечно малую, которой она разнится от своего предела, то придем к формуле: и ~ 1'(/с) = р(л 1-1) . С» яп. 1,=1 1 Например, при у (х) - —, Г(х) =! и х, отсюда вновь получается формула (4) л' 367. х 374. Призван Ермавева.Прнмерноту же область применения, что н интегральаый признак, имеет н своеобразный признак, предложенный В. П. Ермаков ы м . Формулировка его не содерящт понятий интегрального исчисления. Признак Ермсткоегь предположим те-прежнему д)ункцию у(х) тврерывной", положительной и монотонно убывающей для х 1»*.
Тогда, если для д'остаточно больших х (скажем, для хжх ) выполняется неравенство у(ех) ех ад«1, у"(х) то ряд (7) сходится, если же (для хв»хь) Г(ех) ° ех в1, г(х) то ряд (7) расходится. д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть выполняется первое неравенство. Прн любом х х, будем иметь (подстановка г = е") у(г)ей ~ Т(еи) е" е(еетд~ 2(1)е(г. ех .е, х, отсюда х х ех х е» (1-е)) ~ ТЯй=3~ ~ТЯй- ~ Т(1)дг~«с~~у(1)дг- ~'Т(г)411=11 /'у(1)дг, так как (12) ех».х » На деле требование непрерьпености может быть опущено. См. сноску ** на стр.
282. *' См. сноску на стр. 231. 1Л. Хг. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОС1ОЯНЫЫМИ ЧЛ ЕНАЫИ 1374 в вычитаемое в последних скобках положительно. В таком случае прибавляя к обеим частям интеграл ~ Дг) еуг, получим к, ,е 1 ! 711) М-а - -. ~ аз) е)1=-Е, 1- С.г к, л, н тем более — учитывая П2)- 7(1) е)гкеЕ (х -х). Так как с возрастанием х и шпеграл возрастает, то для него существует конечный предел х- ~ 771)е)1, и — по интегральному признаку — ряд (7) сходится. Пусть теперь имеет место второе неравенство.
Тогда х е11) е)1 ~ ее(1 ) е)1 „х„ е„ ех, и — если к обеим частям прибавить интеграл ~ Дг) е)г— х е х ех (так как, наяду (12), хе= ех). Определим теперь последовательность ХЕ,Х1,...,ХЛ вЂ” Е Хп ° ПОЛаГаЯ Хн — — ЕХ вЂ”; ПО ДОКаваННОЬ1У Дг) е)Г-у, к„, так что е Лг) еуг =-.~ ! У11) сег..щ. ~=1 ке 287 ! г. Олодимосгь положит ильных гидон Отсюда ясно, что )'(г) Й = йщ )г Г(г) йг х х х, и — по интегральному признаку — ряд (7) расходится. Примеры предыдущего и' легко исчерпываются и с помощью доказанного признака: 1 1) ~; — — — (ц 0). ч=зл.1п'".чл ! В этом случае )(х)= — —, и выражение х.)пгь х т(ех).ех 1пзьах -0 при х- 7"(х) .к так что при достаточно бадьи~их х оно становится меньшим любой правильной дроби 07 р я д с х о д и т с я .
2) Х «=з л (п л. !и !и л 1 Здесь |(х) =, а выражение х 1лх.1л 1л х у (ех) . ех =1п1пх.- при х- 7'(х) и при достаточно больших х превзойдет единицу: р я д р а с х о д и т с я . 1 3),~', (л 0). я=э л 1и л (1и )п л)'+" Имеем на этот раз 1 7'(х) х.!их.(1п1н л.)'+' у'(ех).ех (1п (п х)!+а 0 при х-: ряд сходится.
7"(х) 1л х Заметим в заключение, чзо функция е", фигурирующая в признаке Е р и ако на, может быть заменена любой другой функцией 7(х), монотонно возрастающей, положительной, имеющей непрерывную производную и удовлетворяющей неравенству (г(х) х, (12") которое заменяет (12). Доказательство может быть скопировано с приведенного выше.
Таким образом, в общей форме признак Ермакова я в л я е т с я источником для получения ряда конкретных признаков, отвечающих различному выбору функции е(х). 375. Дополнения. 1) Мы воспользуемся оценками (! 1), чтобы охарактеризовать поведение функции Римана (Згю, 2)) ! ((1+ )-2 я=~ и'чя (которая опрелелеиа лишь лля п - 0) при приближении л к О. 2ВВ гл.
хь ьнсконнчнын ряды с постоянными члннями [375 Прежде всего, полагая а= О в первом нз неравенств (11) н я = 1 во втором нз ннх, легко получить 1 а.ь(!-~-о) 1 +о, откуда 1нп о ь(1-~о) = 1. а о Можно прийти к более точному результату, если, исходя нз очевидного равенства ! 1 1 П!-го)=-1-г — +...-,- — о гг, 2+ + ~~+ применить неравенства (11) прн произвольном л: 1 1 1 Г 1 1 1 1 ! — — —...
+ — - -Ь вЂ” [ — -1 ! ((1 4.) - — -1 2'+ яь+ ° о ((л+1)е 1 о 1 1 11! + — ".+ +-[ — -1). 2з+и лг+е о (ла Переходя здесь к пределу прн а О, мы получим 1 1 Г 11 !+ ! ...~. -!.(н~.1)=! [И+.)- — ~~ 2 л 11 1 1 кн !пл [((1-Ь а)- — ~ 1 е — +... + — - !и я*. а 0 а1 2 я Наконец, ввиду произвольности и, устремим здесь л к бесконечности.
Так как первое н последнее выражения, в силу (4) и' 347, прн этом стремятся к эйлеровой постоянной С, то наибольший н наименьший пределы совпадают, так что существует обычный предел н равен [Этн результаты принадлежат Д н р н х л е .) 2) Пусть члены ряда (А) ма я от окво убыегоот; тогда рлд (А) сходиямл алк расходится одноеремелло е рядоле ~ 2" азь (Ко шн). г=о Действнтельно, с одной стороны. Азь а,+(а,+а,)+...+(аз„+...Ьагь„— т) а,+2а,~-...+2каг„ а с другой— Азь аз+аз+(аз+ах)е... +(~ь-,ьг+...
+ать) 1 1 — а +а +2аеч-... +2" 'аз,= — (а,ч-2агт4аг+... +2"азь). 2 2 1 ' Мы пока не знаем, существует лн предел выражения ь(1-ьо)- — прн а-О, а н потому пользуемся наибольшим н наименьшим пределами [42). Пределы )гыраженнй — [ — — 1~ н — [ — 1 [ находим по формуле 77. Я, (б). о л' о (ль1)е 3751 289 1 з.
сходимость положитнльиых рядов ал йщ —.=1'ип лал =- с, ! я то необходимо с=б, так что ал.=-о ~ — ) . (13) ! Действительно, иначе — ввиду расходимости гармонического ряда ~ — — и даил ный ряд был бы расходящимся [366, теорема 2!. Однако существование такого предела, вообще говоря, не обязательно, как видно на примере ряда 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! -)- + . + — -!- )- .-!- -1- + 2' Зг 4 5' бэ 7! 8' 9 10 1 Сходимость этого ряда ясна из сопоставления с рядом ~ —; в то же время, если л' 1 и нс есть полный квадрат, то для него вал=-, в противном же случае: лап= 1. и Впрочем, если члены раца монотонно убывают, то для сходи- мости его условие (13) все же необходимо.
Действительно, при любых л! и лли! (и л!)ал ал)л)+ ° +ал агл . е а,л — остаток ряда. Отсюда л лал им. л — т )З !'. М. Фигг и еллл, т. )! Отсюда и следует требуемое заключение. 1 1 Например, поведение рида.~~ — совпадает с поведением ряда ~ 2". — ы 1 и с 2" 1 1 м Д 1, явно расходщпегося. Ряд ~ — (а О) сходится вместе с ридом,~~ 2" — и с ! л)+ о 2)(г+'! 1 1 1 1 щ~ — —. Ряд 2 — расходится, ибо расходится ряд ~2а м2 —, с 2х з л1пл 2" 1и 2" ! )! 1и 2 ит.д. В этой теореме ряд сравнения ~2аазз может быть заменен н более общим рядом,~~ад азх, где л) — любое натуральное число. )=о 3) Пусп (А) будет произвольный сх од я щи йс я ряд. Какие заключения 1 можно сделать о порядке малости общего члена ал по сравнению с — ? Прежде всего, очевидно, что если эти бесконечно малые вообще сравнимы между собой [60), т.
е. если существует предел 290 Гл. К1. БескОнечные РЯДЫ с ИООТОЯнными членями [375 Пусть сначала т взято так„чтобы ат было м|шьше произвольно заданного числа е =.0; если предположить теперь в настолько большим, что л е ат то одновременно яал е, ч. и тр. д. Заметим в заключение, *по даже для рядов с монотонно убывающими членами условие (13) отнюдь не является д о с т а т о ч н ы м для сходимости.
Это вивдо 1 на примере рида ~ —. з и!лв 41+1, длит г(л+1+" +г(лет Вл — 1 Вл+1 Влет Вл+т В„,„ Сколь большими ви взять н, всегда можно выбрать такое т, чтобы было Вл 1 «- и, Вл+т 2 41+1 41+т следовательно, — + . + Вл+1 Вл+гл 41 Для ряда ~ — нарушено основное условие сходимости [364, 5'1 — р|щ рас- 1 Вл ходится. д Для доказательства сходимости ряда ~ 1+ мы прибегнем к приему, В|1~ сходному с примененным К о ш и [373].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
