Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 80
Текст из файла (страница 80)
п=о а=о Доказательство исчерпывается ссылкой на теорему 3 и' 393. Применение этой важной теоремы осветим примерами. Примеры. 1) Разложить фушшии дл3 а) );(х) = хэ, — , а=ат! 1+д Хк (считая )х! 1 и Опа«1) в ряды по степеням х. (а) Имеем дл3 ( 1)пда(кл+1)3чп 1 Ьа*ахп л-о и, подставляя и изменяя порядок суммированию, 1 а(1п+1)а с(х)= ~ ~ (-1)ла(пл+1)атпп г ( Пп1ап у ~~ ( 1)лапппч1хпп а Огп!п О ..-о =о т =О 1 Так как повторный ряд 1 аа 1 ! а(пл.)-1)ахт ~ —. — — аа а 03л! л=о а=от3 1-дкаХ1 1-Хп скодитси, то перестановка суммирований оправдана.
(б) Аналогично )',(х) ~( 1)ле-ам+'хпп. -о 2) Искот1 из Разложения функции хо(ах на простые дроби [441 9)1 пред- ставим ее теперь степенным рядом. Для упрощения заменим лишь х на лх, так что хп хх.с(йлх = ! — 2 ~ — . п3=1 тп- хп Если )х! 1, то для любого т= 1, 2, 3, х' 484 ГЛ ХП. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАтЕЛЬНОСти и РЯДЫ [445 Ввиду положительности всех членов, по теореме сразу получаем: 1 где ззп=,сз — (в=1, 2, 3, ). ! мзп х с з „.Аеп „=! и!' — х' Таким образом, при (х~ 1 имеем: тх с!ялх 1-2.~~ з,„хе'. п=1 3) Совершенно аналогично, исходя из разложения функции х.с!й х на простые дроби (431, 10), получим разложение в степенной ряд лх сйслх=1-~-2~ ( — 1)и 'зс„х'", ()х! 1). и=! Впоследствии 449 мъс дадим и другое выражение для коэффициентов разло!келий в 1) и 2).
4) Теорема сохраняет свое значение и в том случае, когда складываемые в бесконечном количестве ряды вырождаются в обыкновенные конечные мною- члены. Для примера выведем логарифмический рссл, исходя иэ бииомиавьного и показательного путем следующего рассуждения. Посс )х! 1 и произвольном и имеем (407 (22)): а(а — 1) а(а — 1)(а — 2) (!+х)*=1еахе хз-1- хзъ... 1 2 1 2.3 Фиксируя х, станем рассматривать члены этого ряда как целые многочлены отно- сительно а. Так как ряд ~а!(!а(+1) )сс)()сс(-~-1)(!а)зь2) !х!зе ' — !х!'Ф". 1.2 1 2 3 сходится, как легко убедиться с помощью признака Даламбера, то в предшествующем ряде, согласно теореме, можно объединить подобные члены: хз хз (1 Ф х)« = 1+ а (х - — -.
'— —... ~ + .. 2 3 С другой стороны, очевидно, (1 Ъх)»=еп!пв+х) — !.!.а )п (1.! «) Р, Так как оба разложения должяы быть тождественны, то, приравнивая коэффициенты прн а, получим: х' -з !и (1 Рх) —. х- — — . '—— 2 3 ~ 2," а„„Хп~. Действительно, стоит лишь заменить двойной ряд простым, чтобы свести дело к уже рассмотренному случаю. Заметим, что доказанная теорема непосредственно распространяется и на кратные рядъг, например на ряд 4441 З 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ 485 446.
Подстановка ряда в ряд; Рассмотрим функцию у = у'(х), которая в промежутке (-2<, Я) разлагается в степенной ряд (1). Пусть, кроме того, дана функция р(у), также разлагающаяся в степенной ряд ~р(у)= ЛЬ уь=ЬВ < Ь<ул'Ьзузч .. "Ьыу л=е (6) (апкь! = <а ( '- (а,! ° <Х) 4- <а ! ° <Х)З < ... -' )а„! ° <Х<ь ' ... по непРеРывности сУммы его [437, 2'1, ввидУ <аь). Р, длЯ достаточно малых х выполнится неравенство так что ряд <Ьь! 4- ~ ~Ь ~ ~ (а„! ° <я)" будет сходящимся. Полагая, аналогично (4), с .г' )а„! ° <х!"1 = ~ а< > (х~" -ь / и ь предыдущий ряд можно переписать в виде < Ьь < + ~ < Ь ! ° ( ~ а< > ( х <" т=1 14=0 Так как а< > получается из (а ), <а,), ..., (а„! с п о м о щ ь ю с л ожений и умножений [445] совершенно так же, как а< 1 из а„, а„..., а„, то очевидно: (а< >< ~а<">. Поэтому для упомянутых значений х сходится, и ряд для значений у в промежутке (-р, р).
Если <аь( = ~ЯО)~ р, то и при достаточно малом х будет ~у(х) ~ . р, так что имеет смысл сложная функция у(Г(х)). При единственном условии: ~аь! р, эту функцию р(1(х)) в окрестности точки х= О можно разложить в ряд по степеням х, если подставить в (6) вместо у ряд (1) и, произведя все возведения в степень согласно (4), обьединить затем подобные члены.
Доказательство. Считая ~х~ Я, рассмотрим ряд 486 гл. хп, етнкционяльнын послидовятвльности и ряды [4[6 а тогда к ряду Ь ',х, й '(„у' а х"~ =Ьо + ~ йм (.~ а~и) применшмо последнее утверждение предыдущего и', что и доказывает теорему. Область изменения х, для которой наше рассуждение обеспечивает возможность разложения функции у(у(х)) в ряд по степеням х, характеризуется, таким образом, кроме само собою разумеющегося неравенства [х( «Я, еще неравенством (7). При )т= +- нет надобности вводить первое ограничение, при р= + отпадает второе.
В большинстве приложений теоремы достаточно знать, что разложение имеет место для м а л ы к значений ~ х ~. Если представляет интерес вся область применимости полученного ряда, то этот вопрос требует отдельного исследования. Для прамерз проведем его н простом случае. Рассмотрим функцию е(у)= 2 у в промежутке ( — 1, 1) [р Ц и, вместо у, подставим функцию Ях) 2х-х" [й =+ ). Сложная функция 1 1 р(у"(х)) = 1 — (2х — х9 (1 — х)т имеет смысл, лишь если — 1 2х-х' 1, т. е.
1-)г2 х 1+)2, во хи 1. Ие разложение по степеням х изм известное 1 = 1+2х+ Зх'+4хз-1-...; (1-х)т этот ряд сходится для — 1 х«1. По совокупности, равенство ~(2х-хк)ш 1+2хьзхтс... т е амеет место при условии, что 1 — У2 х 1, Интересно сопоставить зто е тем, что дает наше рассуждение. В согласии с ним надлежало бы потребонзть, чтобы было [см. (7)[ 2[х[+ [х[т 1 или 1 — [(2 х )Г2-1.
Кзк мы видели, полученное рзеенспю на деле применимо в более широкой области. ' см. 390, 1). можно получить зто и почленным дифференцированием [43а, б [ прогреестш 1 = ! тхз Хз+хзт... 1 — х 4471 1 4. Дополнительные сведения о степенных РядАх 437 И здесь надлежит отметить возможность дальнейших обобщений теоремы. Пусть, например, дан двойной ряд 5(Улк)= Л Бя У"Я, г,ж=ь сходящийся при )у~ р и [г( р, и два ряда у=/'(х)= ~а„хл, я=е(х)= ~Б„Х", л Е л с сходящиеся при (х! .й; тогда, при условии: )ас~ «р и (Бс,' р, сложную функиию<р(/(х), я(х)) в окрестности х = 0 люжно разложить в ряд по степеням х, если подставить вместо у и г соответствующие ряды и, выполнив возведения в степень и умножения, сделать приведение подобных членов.
447. Примеры. 1) Найти несколько первых членов разложения функции 1 1 -(1Ьх)" по степеням х. е Имеем для )х( 1 1 — 1 — !л(14») 1 1 »»* »' — (1ех)" =- е» е З 3 4 е х х' х' х' х' -+ 2 3 4 5 б 1 / х х' хл х' )» 1 / х х' хл 1» +-(- — + — — — + — —...1 -'; — ( — — 4 — — — +...) 4 2[, 2 3 4 5 ) б~ 2 3 4 24( г 3 ") 120( 2~"') 1 11 7 2447 959 1- — х+ — х'- — хл 4- — хл — — — хл+ ..
2 24 1б 5760 2304 [Подобного типа задачи близяи к тем, которые рассматривались уже в 125.) 2) Поставим себе задачей получить бииомиальный рцц, исходя из логарифмического и показательного рядов. При )х[ 1 и любом е, очевидно, будет: »* «/» — 4 — ... (14. ),=е 1»(1+»)=.е 1 з з "') х» хл 1 а» / х» хл )» з(а в 1) =14-а(х- — Š— —...)»- — (х- — + — — ...) 1-...
=14хх ь х» Ь .. г 3 " '! 21 ~ г 3 " '! ' " ' Вид нескольких первых коэффициентов устанавливается сразу. Коэффициент же общего члена, содержащего хл, можно получить из таких соображений. Непосредстиенно ясно, что он представляет собой целый многочлен относительно и, степени л: (2»(а). Так как прн я = О, 1, 2,, л-1 в разложении чдена с х" нет, то 488 Гл. хц. ФУнкциОнАльные цоследОЕАтельности и РЯды 1447 этот многочлен в названных точках обращается в О, а следовательно, имеет вид; (3 (и)=ста(а-1) ....(а-пт!).
1 При а.=п коэффициент при х" есть 1, йп(п)=1; отсюда с= —, и окончательно: и) 3) Пусть г"(х) будет некоторая функция, разлагающаяся в ряд по степеням х, без свободного члена: ) (х) =а хта х'+а хл+... Фа„х" т...; тогда, ло общей теореме, для тех же значений х разлагается в ряд и функция я(х) = =еу(н), причем свободный член, очевидно, равен 1. Требуется найти это разложение. Покажем, как для этого может быть использован метод неопределенных нпэ(Ь- фииитппол. Пусть Я(х) =ну(х)=1+Ь х+Ь х +Ь Ил-...
-ЬЬ;,хп-ь... Продифференцировав это равенство, найдем: еУ(х) ° Д(х) =Ьз+2Ь т-(-ЗЬлхтт....(-пЬпхп г Ь или, подставляя вместо множителей левой части их разложения, (1-)Ь х+Ььх'+Ьлхз+...)(а,42агхл-Зазхзч-...) =Ьг+2Ьхч-ЗЬэхзт .. Это условие приводит к такой системе уравнений: а1=81 2пл+азЬг=2ЬН Заз+2ахЬ,+а,дз ЗЬ», ... "' пап+(и-1)ап-гдг+" ° .~-2а.дп-зч-а~да-1=пЬп ° ", (8) из которой неизвестные коэффициенты Ь и о следа в ате л ь но и определятся. Для примера лрнложвм указанный прием к решению следующей задачи (В е йе р ш т р а с с). доказать, что разложение фушщии — +-+...+— х х' х у(х) (1-х)ет хт начинается членами 1 — — +..., и что все его коэффициенты по абсолютной величине меньше единицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
