Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 82
Текст из файла (страница 82)
х,.гч "т — Рг+ — 49 я! 1! (я-Ц!74 ( -(г-Ь1))И И и! (», Ц! нли — по умножении ва (л41)! Ся+пулЧ-С',+~()л ~-~- .ЕСяч.~Рл,, тЧ-".ч-Сл+пу,-~- =о. 1 А 494 гл. кц. вункционяльнын поалцдовятнльносги и виды [449 449! ! в. дополнитильньш свидания о ствпннных видах 495 Использовав сходство с биномом Н ь ю то на, можно зги уравнения си мв о ли чески записать так: (Р+1)в+в — Р"+'=0 (л=1, 2, 3;...); восле возвышения двучлена в стелень по обычному правилу и сокрашения старшего члена, стевени РК долвзвьв быть заменены здесь коэффициентами Ро Итак, для олределевия чисел Рл (л = 1. 2, 3, ...! будем иметь бесконечную систему уравнений: 2р,+1=0, 3р 43рв.~-1=0, 4р +брв+4р,+1.=-0, 5рв+10рвч 10Рв-! 5РвЧ-1=0, ..., лз которьвх последовательно находим: 1 1 1 1 Рв ' Рв Рв 0 Рв Рв 0 Рв Рв 0 2 б 30 42 1 5 691 7 Рв Рв 0 Рве= Рн=О Рве= Рвв=О Рм= 30 66 2730 б х х х х хе"-'1 хе+е в х х сзЬ вЂ”.
ех 1 2 2ех 1 2 х х 2 2' е' — е В таком случае ее разложение 1+ 2~ — "х" "Р в=х и! не может содержать нечетных стеленей х, ч. и тр. д. Для чисел Р с четными значками введем более привычное обозначение, полагая" р,„=( — И" 'в„, так что 1 В,= —, б 1 1 ! вв= —, в,= —, в,= —, 30 42 30 5 69! Вв= —, Вв= — -, В,= —, 66 2730 б 36!7 43867 174611 Вв= —, Вв= — Ввв= 510 798 330 Эти именно числа В„и называют числами Беряуххв, цо имени Якова Бернулли, который влервые цршлел к вим лри изучении сумм степеней " Мы скоро убедимся, что все В„лоложительны.
3617 43867 174611 Рм=О. Рм= — —, во=о* Рва= — Рвв=о Рм=— 5!О 798 330 Так как числа Р олределяются нз линейных уравнений с целыми коэффициентами, то все оии являются рациональными. Легко установить, в общем виде, что числа Р с нечетныво! значхами (к р о м е ц е р в о г о ) — нули. действих тельно, перенося в равенстве (12) член — — налево, будем иметь в левой части 2 равенства, очевидно, ч ет ну ю функцию 496 гл. хп. эункционлльнып послндовлтнльности и инды [449 последовательных натуральных чисел с натуральными же показателями. Числа Б е р н у л л и играют важную роль во многих вопросак анализа. Итак, заменяя для удобства х на 2х, окончательно имеем разложение 2'В, , 2'В, 2юВл х.с!й х=-1+ — хе- — хгЧ-...
4(-1)л ' — хил) ... = 21 41 2л! действитечьное для достаточно малых значений х. В 445, 3) лгы уже имели разло!кение лх с!Ьях=1-1-2~( — 1)» гг., х!", а=! 1 где через г! была обозначена сумма ряда ~ —. Заменив неравенстве(13)хиа ! лР' хх, перепипюм его так: (2л)юВл лх сгйпх=1ч- 2; (-1)л-! "х!.. л=! 2л! Оба разложении, разумеется, должны быть тождественны; отсюда 2(2л) Вл = — тел (2л)гл так что все числа Вл оказываются положительными. Так как при лочевидно, г.л 1, то из полученной формулы явствует, что числа Б е р н у л л н бесконечно возрастают' при возрастании ик номера. Отметим попутно полезные выражения, получающиеся для сумм г,: 1 (2л)гл ,.= Л вЂ”.= — Вгб ,„= ! ге!~ 2(2л)1 в частности [ср. 447, 6)) Вспомним теперь, что и для их.с!них мы имели'[445], 2)) разложение, коэффициенты которого также зависели от сумм гьр лх с!йлх 1-2,~~ гглх!".
л=! (14) Заменяя здесь лх на х и подставляя вместо хе„найденные их выражения через бернуллиевы числа, получим: 2зл Вл х с!йх=) — Д вЂ” хю. ,=! 2л) * Хотя, как мы видели, не монотонно, а по весьма прихотливому закону. 1 ! и!! 6' 2елВл =14- ~ (-1)л ' -х'л, (13) л=! 2л! 1 л' г = л-! гл! 90 4491 2 4 дополнительные сведения О степенных РядАх 497 Гй к=с!8 х-2 518 2х, из (15) легко наново получить разложение для !8 х: - г-(2 -П !Ях= 2 В„х™-1. п 1 2л1 (16) Оно тождественно с полученным раньше [см. (11)[, но его предпочитают писать именно в этой форме потому, что числа Б е р н у лл и хорошо изучены, и дня ннх имеются обширные таблицы.
Радиус сходимости ряда, представляющего !8 х, есть —; это видно теперь из самого способа его получения. 2 1 С числами Бернулли связаны в многие друпш полезныс Разложения. Например, так как ( — ~'= 51пх! со5х 1 1 21ПВ !и — ~ = - — — = — (х с18Х-1)= —,~~ — хгл Х 51ПХ Х Х вЂ” 2л! го, интегрируя почленно, находим (для [х[ л) 51п х 21" В1, хзл 1и — -= — ~ —, х и 1 2л! 2л Аналогично, из разлоясения (! б) лочлеииым интегрированием получаем [ для [х[ 2! " 25Я(21л — 1)В„хе1 1и со5 х =-— 2л! 2и !их Из этих разложений легко получить разложение для 1п †. Ряды эти полезны х лрн составлении логарифмо-тригонометрических таблиц.
* Впрочем все вопросы, связанные с определением радиуса сходимоств степенного ряда, легко репшются с помощью теоремы Коши — Адамара [380[. Например, для ряда (15) имеем зл 25 )/г В„))2 22я! 2л! )( 2л! (2л)ю л Рю — 1=0 1 1 Р= 1лп рм-— —,  — л. т л Р 22 Г. М. Фяхмягсяья, 1. Н Так как про разложение (14) мы знаем, что оно имеет место при [х[ «1, то разложение (15) действительно при !х[ л.
Но при х- тл левая часть равенства (15) бесконечно возрастает, следовательно, ряд справа не может сходиться ни при х = тл, ни тем более при [х[»л: его радиус сходимосги в точности равенн 5. Отсюда, между прочим, ясно. что таков же будет радиус сходимости ряда (13), между тем ка1 исходный ряд (12) имеет радиус сходимости 2л. Пользуясь тождеством 498 гл. хп. Функционхлъные ПОслеДОеАтелъности и РЯДЫ [450 Вернемся, в заключение к расходящемуся ряду 2' (-1)п(л+ 1)а, п=е который мы рассматривали в задаче 6) и' 425. Там была установлена суммируемость зтого р|ща по методу Ч е з а р о лл-го порядка, но самой |обобщенной сумыыв (обозначим ее через А(л)) мы ае нашли! выполним зто сейчас.
Впрочем, мы просуммируем ряд по методу Пуассона — Абеля, что — как мы знаем [424, 2)1 — должно привести к тому же результату. При г О будет О«е' | 1 н, суммируя прогрессию, получим О|1121|!2| ~~ ( !)пе — (пес| 1-е | е|.|-1 е| — 1 е"-1 г п'-1 | е"-1 Используя разложение (12), для достаточно малых г будем иметь ; (2лп- 1)Рп А, (-1)"е (и+')| =- — ~ |и п=е п=1 Л! Продиффереицируем оба ряда л пенно )л раз; для степенного ряда справа мы опираемся на теорему 8' и' 438, оаа' же служит основанием и для днфбюревцнровання р|ща слева, который тоже оказывается степенным, если ввести переменную х е '.
В результате найдем .~~(-1)п(л+1)"е ("+О|=(-1)"+1 .~~ (и — 1)(л — 2) °...(и — йрп (2лп 1)Р п=е и 1+1 Л| Устремим теноры к О, а следоватольно,х к 1. Слева в пределе получится именно искомое АИ), а справа — свободный член (21(а+1) !)РЛ ( ца.|-л )л + 1 Вспоминая, что числа р с нечетными значками, ббльшими единицы, все нули, а с четными — приводятся к числам Б е р и у л л и, окончательно приходим к формулам: 2лм — ! А(вп) О, А(пм О (-1)м ' В (ш~1). м 450. Решение уравнений радами.
Мы еще раз вернемся к вопросу об определении переменной у, как функции от х, из неразрешенного уравнения: Г(х, у) =0 (17) (ср. 206 и 4421), но в иной постановке: Предположим, что функция с(х,у) в окрестности точки (хо, уе) разлагается в ряд по степеням х — х и у — уо причем постоянный член 4501 5 4, дополнительные сВедения о ст'епенных РядАх 499 в нем'равен О, а коэффициент при у-у отличен от О ч. Тогда и функция у=у(х), определяемая уравнением (17) в окрестности указанной точки, также разлагается в ряд по степеням х — хр вблизи х=х .
Иньеии словами, если функция Г, фигурирующая в левой части уравнения (17), будет аналитической в точке (х,у), то и функция у=у(х), определяемая уравнением, оказывается а н а л и т ич е с к о й в точке х,. Таким образом, здесь речь идет уже не только о существовании или вычислении значений искомой функции, но и об ее аналитическом представлении. Доказательство. Без умаления общности можно принять хе=у,=О; это, по существу, сводится к тому, что в качестве новых переменных мы выбираем разности х-хв и у-у, но сохраняем старые'обозначения.
Если вьщелить член с первой степенью у, то, перенося его в другую часть и деля на коэффициент при нем, можно будет переписать данное уравнение так: у=с„хьс хе+с„хуме у'+сгвэР4-сз1ху4-с,зхузчс,уз+... (18) ряд для функции у от х будем искать в вице: У=азя РазХ'+а,Х'-~- . (19) Преждевсего, если подобное разложение в о кр естности нуля имеет место, то коэффициенты его впрлне однозначно определяются самим со отнош е н и е м (1 8). Действительно, заменяя в нем у (при указанном п р е д и о л о ж еи и и) разложением (19), получим: а,х+а х'ьа,х'+... = = сщх 4 с хз 4 сз х(а4х + ахз +...
) + с . (а х + а хе+... )' Р Рс„х'+сжх'(азх —...)+с,зх (а,хч...)а ь свз (а1х " ' ) (18а) По теореме п' 446, для достаточно малых х, справа здесь можно выполнить все возведения в степень и сделать приведение подобных членов. Если после этого воспользоваться теоремой о тождестве степенных рядов и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, то мы придем к (бесконечной!) системе уравнений: а,=Сны а,=е,ьеиа,+С,авы а, = с„а, 4 2свга,аг 4- с,в+ сзза, + с,зааз 4 свза,', (20) 4 Это в точности соотттствует обычным требованиям р1х4 Р4) = о, Г (хо у4) н о 32' 500 гл. хц.
ФУнкЦиОнАльные послццОВАтельности и Уяды 1450 относительно искомых коэффициентов ан аз, аз, ..., а„, ... Так как в (18) справа все члены, содержащие у, не ниже второго измерения (т. е. содержат либо высшую степень самого у, либо у в первой степени, но умноженное на какую-либо степень х), то в л-м уравнении системы (20) коэффициент ао оказывается выраженным через коэффициенты а„аз,..., а„с с меньшими номерами (и известные коэффициенты с). Этим и обеспечивается возможность определять коэффициенты а„последовательно один за другим: а, = Сн, аз = Сэ» Ф Сз»С»о.~- Со»С»о, аз = (сц+ 2созсзо)(с»о+ сцсза+ со»с»о)» сзо Ф сжсзо+ снсьо ь созе»о ..
(21) з, з з Попутно сделаем такое, важное для дальнейшего, замечание. Так как при раскрытии скобок в (18а) над буквами а и с не приходится производить иных действий, кроме сложения и умножения, то в правых частях уравнений (20) мы будем иметь целые многочлены относительно этих букв, с заведомо положительными (даже — нат у р а л ь н ы м и) коэффициентами. А тогда и в формулах (21) справа также будут целые многочлены с положительными же коэффициентами относительно букв с.
Составим теперь ряд (19) с коэффици0нтами а, вычисленными именно по этим формулам. Про него можно сказать, что он «формально» удовлетворяет соотношению (18а). Если бы была удостоверена сходимость этого ряда для достаточно малых х, то уже не было бы надобности доказывать, что для представляемой им функции условие (18) выполнено, ибо в этом случае равенства (20), которым коэффициенты ряда удовлетворяют, вполне равносильны (18а). Итак, весь вопрос теперь сводится к доказательству того лишь, что ряд (19), коэффициенты которого о п р е д е л я ю т с я ф о р м у л а м и (21)„с х о д и т с я в н е к оторой окрестности нуля.
Рассмотрим, одновременно с (18), аналогичное соотношение У=-У„х+Узохо+Уз»ХУ+Уо»У'ФУ х»ФУззхУ«-УИХУ'«Уо»У»«-..., (18«) где все коэффициенты ун положительны и, кроме того, удовлетворяют неравенствам (гг) ~сн! ~ун. Построим для него — пока формально — ряд, аналогичный (19): (19«) У=и»к+и тоьа СЗ+... +Со„Х" Ф .. 4бв) е к дополнительные сВедения О степенных РядАх Я1 причем коэффициенты его, наподобие (21), определим формулами: па=Ум "я=уееч УПУзе+Уоауте 2 аз=(УП Р 2Уотуте)(У22 "УПУьз .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
