Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 85
Текст из файла (страница 85)
хц. оункциоиальнын послндовятельности и ряды (454 Таким образом исследование комплексной вариалпы может быть заменено исследованием двух вещественных вариант. В частности, этим путем можно доказать для комплексной варианты и принцип сходимости (39).
Рассмотрим теперь бесконечный ряд ~ с„=с,-!.с,+... +с„+ «=1 с комплексными членами с„=а„+ Ь„л. С у м м о й ряда и здесь называется предел частичной суммы « С„= ~ са. Л=л Так,например, для геометрической прогрессии ~~', г" 1Ьг+гэ+...Ьг" 1-Ь...
«=0 (где г — комплексное число, отличное от 1), частичная сумма равна «-1 1 « С«= ~я- —— 1л л-о 1-г отсюда ясно, что при )г( 1 ряд имеет сумму 1 С 1 — г а прн (е(. 1 у него (конечиой) суммы иет. Все основные понятия и теоремьг лл' 362, 364 (с их доказательствами) сохраняются.
Исследование комплексного ряда может быть сведено к исследованию двух вещественных рядов, на основании теоремы; Сходимость комплексного ряда 2 с«т Х(а«';Ь«О «=-! «=1 н сумме С=А+В! равносильна сгодимости двух веигественных рядов ~ а„(А) и,~~ Ь„(В), «=1 «=1 соответственно, к сумглалл А и В. Это утверждение, очевидно, есть лишь перефразировка теоремы, доказанной выше в терминах варианты. Теперь докажем теорему, аналогичную теореме и' 377.
Если сходится положительный ряд 2;~.ь (Сь) составленный иэ модулей членов ряда (С), ню и этот последний ряд также сходится. 513 455[ 1 3. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Действительно, ввиду очевидных неравенств [ил[ [ у-,— —, [бя [! [ся[ = У я-ь(гя, сходнмость Ряда (С*) влечет за собой сходимость обоих рядов ~ [и„[ н ~ [(ге[. Отсюда [377[ следует, что сходятся Ряды (А) и (В), а тогда — по предыдущей теореме — сходится и ряд (С). В случае сходимостн ряда (С*) ряд (С) называется а б с о л ю т н о сходягцимся, отметим, что при зтом, как мы выдели, и ряды (А), (В) также сходятся абсолютно.
Благодаря атой теореме, для комплексных рядов сохраняет свою силу, напрвмер, признак Даламбера [377). На абсолютно сходвциеся комплексные рцаы переносятся теорема и' 387 о перемещении членов ряда и правило л' 389 о почленыом умножении рядов. В первом случае доказательспю асуюествляется сведением к вещеапхсввым ридам, а во втором — в принципе может быть сохранено прежнее доказательство. Наконец, аналогичным образом можно на комплексный случай перевести основные понятия и теоремы из теории двойных рылов. 455.
йыувкцви компвексвой иеремевыон. Пусть комплексная переменная х =х+у1 принимает всевозможные значения из некоторого множества 9=(г), которое геометрически интерпретируется, как область (открытая или иет) в комплексной плоскости. Если с каждым значением х нз области Ь сопоставляется одно или несколько значений лругой комплексной переменной ж=ич ы1, топоследнюю называют(соответственио, однозначной нли ми о газ на чы о й) функцией от з в области,',д и пишут: х =Дг) нли и=я(х), и т.
и. Примерами однозначных функций (и притом — во всей комплексной плоскости) могут служить: [х[„г" илв вообще — цела я рациональная фун кц и я, т. е. целый многочлен сеггсогхг" х,-ь...;с„хх.ьс„ с произвольными комплексными коэффициентами с„с„..., с„. Д р о б н а я раци о и ал ь н а я функция, т. е. несократимое частное двух многочленов, также одыозначио определена во всей плоскости, но в точках, отвечающих корням знаменателя, она обращается в бесконечность. В качестве примеров ысодыозыачя вых фуыкпий назовем Агйх. [гх.
Ниже, в 457-460 мы изучим другие важные функции комплексной переменной, В последующем, есля не оговорено противное, мы будем рассматривать однозначные функции. Если и и;ег есть функции от я=х-1-уг в области Оа [г)=[х+у1), то ее саставлягоппю и, о, очевидно, также будут функциями от з или — что то лев от х, у в соответствующей области осе =((х, у)) (которая геометрически изобра- жается той же фигурой, что и Ыг и и(х, у), о=о(х, у).
ЗЭ Г. М. Фяхтеягеяея, г. П 514 ГЛ. ХН. ФУННГГИОНАЛЬНЫН ПООЛВДОВАталъГЬОСТИ И РЯДЫ [455 Например, для эеществеввык фушщий я = [э[ или в= ага э имеем, соответственно: У и [хе+у» или и=2агсьй (о=О); х; [гхьеуь для функции в=эп (х+у1)п, очевидно, к(п-1) к хп — — хп ьуь4, . 1 2 п(п-1)(л-2) лэп ьу- хп — ьуь Ь 1 2.3 Пусть с будет точкой сгущеняя области )Ь. Говорят, что функаин ж-У(э) нри стремления г к с имеет предел С», если длл каждого числа е»-О найдется такое число дшО, что [у(э)-С[те, лишь только [г-с[ д (н э»с). Записывшот этот факт, как обычно: 1лп ш = 1пп г"(э) = С. ь-ь ь ь Лыко перефразировать это определение для случая, когда с (или С) есть -; можно выразить его ьна языке последоэательностейь.
Если с о+Ь|', С=А+В1, то [как нетрудно выаестн из и' 454[ предыдущее соотношение равносильно таким двум: 1лв и(х, у) -А, 1вп е(х, у) = В. к а х а у-ь у-ь Н е п р е р ы в н о с т ь функции 1'(з) в какой-либо точке г„=. ха+ у»1 области уо определяется равенством: 1лп г'(э) = г'(эь). Она, очевидно, равносильна непрерывноспг обвил составляющих и(х, у), е(х, у) в точке (хь, Уь). Таким образом, вспоманав только что приведенные выражения длв [г[ и состаэлшощвк э", видим, что зти фушщии непрерывны для всей плоскости комплексной переменной. Аналогично, агйг оказывается непрерывным повсюду, исключая отрвпательную часть вещественной оси. Конечно, непрерывность может быть устанавливаема и непосредственно вз компжжсвык соображенвй. Напрнмер, для функции [х[ она сразу следует из неравенства [[е[- [г [[ ж[г-г,[.
для функции эп имееьс гп п=(э гь)(эп-ь 1.эгп-э+... 1.эп-ь) ь ь При достаточной близости г к г, значения э будут ограничены некоторой постоян- ной: [э[асМ, так что ~эп-эп[тлМп ' [к-г,[, откуда и следует требуемое заключение. ' Здесь с и С вЂ” комплексные числа. 4541 515 1 З. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Легко теперь доказать непрерывность целой и дробной рациональной функлни (в последнем случае — исключая корни знаменателя). - Определение производной для функции и=)(г) в точке г го имеет тот же вид, как в обычном дифференциальном исчислении: у (го+ г(г) -у (го) /(г) — 1 (г~) ~'=/'(го) =- 11ш -!Еп ш-о лг г-ге Например„для функции в =гп имеем гп — гп и гп — 1 1 г гп — г 1 -1-гп 1 го о так что, переходя к пределу при г — го, получаем снова знакомую формулу: вг = лгп о Формула л' 94 для производной обратной функции и все правила дифференпирования лп' 97, 98 переносятся без изменений.
Аналогично устанавливается и понятие производных высших порядков. Упомянем еще о рядах: ~; )п(г)=-Д(г)г) э(г) + ° ° ° т/п(г) .~- ° ° ° п=! членами которых являются функции от комплексной переменной г в одяой и той же области Оп. Здесь, прежде всего, может быть установлено понятие равномерной с х оды м о с т и в тех же терминах, что и в 428. В случае комплексных фушшнональных рядов убшкдаться в равномерной сходимос~и также можно по наличию положительного мажорантного ряда, так как првзяак Вейерш трасса сохраняет силу и здесь. Из теорем о функциональных рядах нам понадобится в дальнейшем теорема о по член иом предельном переходе в равномеряо сходящемся рице 433, теорема 4; доказывается она так же, как и выше.
Теперь мы обращаемся к рассмотрению, в частности, степенных ркцов, которые в теории функций комплексной переменной играют искшочительно важную роль. Им мы посвятим особый и'. 456. Стеиеилые ряды, Пусть имеем ряд спгп — со+ с~г+ сэгг+ ° ° ° 1- с гп Ф ° ° ° п=о гле со, с„сг, ... — постоянные комплексные коэффициенты, а г — переменная, изменяющаяся во всей комплексной плоскости. Совершенно так же, как это было сделано в 379 (иви 380), для него может быть установлено существование такого неотрицательного числами,что для ф Я (если Я 0) ркл (1) абсолютно сходится, а для )г~ и (если к«+ ) ряд расходится.
Такам образом, если отбросить случай Я-О, мы вмеем при Я=+ р~щ, сходвцнйся на всей комплексной плоскости, а при конечном и — ряд, сходящийся внутри крута, описанного около начала радиусом й, и расходшцийся вне этого круга. Вместо промежутка сходимости здесь появляется круг сходимостн, и термин орадяусэ впериые оказывается оправданным.
зз» 516 гл. хц. аункционяльные последовательности и еяды [456 Напрвмер, ках легко убедиться с помощью признака Даламбера, ршь л г 16 ~— л=-1 н( абсолютно сходится при любом комплексном значении г, в то время ках ряды гл тл ~ г", в ьнь з н имеют радиусы сходимосги Я = 1. На гравице крута сходимости поведение степенного ряда может быть различным. Например, из только что приведенных трех рядов — первый р а с х о д и те я во всех точхах окружности [г[ =1, ибо нарушено основное условие сходимостн — обшей член не стремится к нулю; второй ряд во всех точхах этой окружности 1 абсолютно сходится, так как сходится ряд ~ —; наконец, третий ряд, 1 Рр если наложить в нем г = соз О+! зш О, принимает вид "созл0 "ып лй Л вЂ” +'2~— и л и (исключая случай 0 = О, т. е.
г -! ) с х о л и т с я [305, 2)), но н е а б с о л ю т н о. 3 а м е ч а н и е. Если коэффициенты степенного ряда — вещественные числа (как в приведенных примерах), то ясно, что радиус Я вкруга сходимостиь на комплексной плоскости совпадает с прежним радиусом ьлромезгутка сходимоспв на вешествевной оси. Перечислвм теперь дальнейшие теоремы о степенных рядах, которые переносятся ва комплексные степенные ряды.
Теоремы 1' и 2' п' 437 сохраняются полностью, так что внутри круга сходи- мости сумма стеленного ряда (1) является непрерывной гбуняяией ст г. Что же касается теоремы А б е л я [437, 6'), то теперь изложвм ее в такой форме: Боги ряд (1) сходится в нвхотсрой точке гь окружности [г[ Я, то нри лрибяижвяии точки г к точке г, изнутри вдаль ли радиусу имеем 1пп ~ слгл = ~ слгьл ь, ь»в л=ч л О В частном случае, когда гь-и, можно считать, что г=-г есть вещественная положительная переменная, и доказываемое равенство представится в вцце 1пп у, слгл= .у слЯл. -я-в л=е ь Можно доказать это равенство и при более общем законе приближения г к г ва чшв мы, однако, не будем здесь останавливаться. 4561 517 1 З. ЕУНКЦИИ КОМПЛВКСИОИ ПИГИМКННОй Если положить е„= ап+Ьпг, то оно распадается на такие два равенства: 11п1 Л аппп =,к апйп е Н-О п=с п=с 1пп ~ Ьпг" = ~ ЬОЯО.
Н-О п=о п=о Так как ряды в правых часок сходятся, ввтду ЛрвдПОЛОженной СходнМости ряда .Р; спЯО= .~~(апЧ-Ьп!) и", п=с п=е то для доказательства этих равенств остается лишь сослаться на обычную теорему А б е л я. Переходя к общему случаю, обозначим через ВО аргумент числа гь. Тогда можно положить: г =Я(созВ~+!Ош В ), г= г(сов В~+!з!и В~), и подлежащее доказательству равенство напишется так: ! Ип 2; сп(соз нВО+ ! Ош нВО)гп,г, еп(сог пВО+ (з!п ИВ ) Яп. Н вЂ” О п.—.е п=о у(г) = ~ с„г", то у'(г) =,~~ нспг' п=с п=1 Прежде всего, отметим, что и радиус сходимосгн последнего ряда татке есть Я, в чем легко убедиться, например, с помощью теоремы Коши-Адамара. Остановимся на определенной точке г„, !гь! Я. Имеем: ф(г) -у'(~~) = Л еп = ~ сп(гп '-1-гвгп г-! ...-1-гп ').
(2) г-г, п=г г-гь а Если взять В между ~ге~ и Я, то можно считать и )г~ В! тогда !еп(гп гдгьгп 1+...+гп 1)~ и !еп~ Вп Ряд .~~ и!сп!Вп ' сходится, ибо В меньше Я, который (как мы указали) слуэкнт 1 радиусом сходимости и для ряда ~ аепгп '. В таком случае, применяя признак 1 Вейерш трасса, заключаем о равномерной сходимости р1ща (2); в нем прн г-г, можно перейти к пределу по ч лен но, что н приведет к требуемому результату. Отсюда уже вытекает, что предложения 8 н 9 и' 438 также переносятся на комплексный случай без изменений. Таким образом, внутри круга сходимостн сумма степенного ряда непрерывна вместе со всеми производными. Иными словами, если мы разлагаем Если множители в скобках отнести к коэффициентам, то вопрос, очевидно, сведется к уже рассмотренному случаю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
