Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 87
Текст из файла (страница 87)
(с')' ех и 523 5 В. Оункции комплнксной пш'именной Естественно функции созз и ял г для любого ко м иле к с но го 5 определить с помощью аналоп1чных рядов: ЗЗП-1 Вшз= ~ (-1)" — ' (14) п=! (2л -1)! ззл соз 5=1+.~ (-1)" —,, и т 2л! сходящвхся на всей плоскости переменной 5. Этот способ введения тригонометрических функций для нас уже не нов: в 443 мы вааюльзовались им дазв в веществеююй области (для того, чтобы обосновать этн важные для анализа фушшии без обращения к геометрии). Подражая проведенным там рассуждениям, можно было бы и здесь установить для косинуса и синуса теоремы сложения, формулы приведения, свойство периодичности, а тааке правила дифференцирования нх — но уже для хомплексвых значений независимой переменной.
Впрочем те же результаты можно получить и другим путем, установив связь тригонометрических функций с показательной. Именно, прн любом комплексном з, Обобщая сделанное в 467 для В = у(, можно вывесгя, что [ср. (5)] ЕЙВВ=СОВВЕ1 51П Г, а отсюда [ср. (7)] ел+В *' СОВ 5= 2 ех! В-г! ЯПВ 2! (15) еуже У сО5 эй -сЬу, 2 ВУ-е-У ВЬВУ1= 1=1 ВЬУ 2 (16) Такам образом устанавливается непосредственная связь между гиперболическими функциями от вещественного аргумента и тригонометрическими— от чисто мвимого. Любопытно отметить, что созу1 есть вещественное число, всегда большее единицы.
Теперь, воспользовавшись теоремами сложения, можно написать, что СОЗ (Х+ У!) = СОЗ Х С05 У1 — В!П Х.ЯП У1, 5!П (Х.! У!) =5!П Х СОВУ!-УСОВ Х'ЯП Зй вли [во внимание к (16)] соз(хьу1')=созх сьу-1ьып х Зьу, 51п (х+у1) = зш х сЬ У+ 1 ° со5 х ВЬ у, н тем разложить косинус и синус на их сосгавлшощие. Функции гй В и сгй г определяются формулами япз 1 е51-е 13 г СОВУ 1 ЕЗ1-1-Е М ~5~ ][(г+ — ~ л), (з м хл), СОЗЗ ЕЗ!+Е сгн з= Вш З 51! 5-1! причем оказываются имеющими период л. Эти формулы целвком сводят изучение тригонометрических функций к изучению показательной функцви.
[Их можно было бы положить в основу определевия тригонометрических функций вместо (1 4).] Предлагаем читателю, исходя из формул (151, наново доказать упоминавшиеся вьшщ свойства косинуса и синуса, а таске установить, что 1) соз з и Вш з не вмеют друпсс периодов, кроме 2/гл (1с — целое), и 2) что все корни этих функций вещественны. Если в (1э! взят В-У] (у — вещественное), то найдем 524 ГЛ.
ХН. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ !459 Разложения, полученные в 449 для 1Е х и х с1Е х, сохраиюот свою силу и после подстановки комплексной переменной г на место вещественной х. Сходство разложений для х ° с!к х и х ° сг)ах становится совершенно понятным, если учесть получагошиеся из (16) соотношения 1Е у1- г бг у, сгн уг'= — 1 сй у.
Из функций, обратных тригонометрическим, мы остановимся на арктаигенсе и ва аркгжнусе. Ввиду того, что тригонометрические функции приводятся к показательной, естественно ждать, что обратные им окажутся связанными с логарифмом, Начнем с указания, что в 1Н г не принимает значения я г (в этом легко убедиться, рассуждая от противного).
Пусть в и Е г; тогда уравнение 1 ег1 — е г1 1 егг1 — 1 1нг=-. = — - — чж гг1 1-е '! г' еы1-~-1 может быть решено относительно г: 1+вг ! 1';в! е"'= —,, г= — !и —,. 1 — кч 21 1- вч' Таково выражение для обратнод функции Агс1нв, очевидно, бесконечно многозначной вместе с (л. Если для логарифма взять его главное значевие, то получим главное значение арктангенса: 1 14 в! агс1Е в = — 1п — (к я Е 1), 2г' 1 — юг' которое характеризуется тем, что его вещественная часть содержится в проме- жугке ~--, — ): л л — — д (агс1Е в) 2 2 Остальные значения получаются по формуле Агсзев =агсгегг+йв (й — целое).
Заменив в ряде (13) в на в(, придем к разложению для г л а в н о й в е т в н арктангенса ва вгп г агс1К в = гг — — +... +(-1)а-' — +..., 3 2л — 1 которое действительно для ~в~ «1*. Обратимся, наконец, к решению уравнения еаг — е Ыпг= гж 2г отаосительно ж ег'г — 2в1 гаг 1 — 0 егг — М+ '1'1 — вг откуда 1 г= Асса!и в = — Еп (вгя )/1 — вг); г н здесь получаем бесконечно ми от оз н а ч и ую функцию. а При к = й г' функция агс1Е в обращается в 525 459! ! 5. ФУНКЦИИ КОМПЛШГОНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Ограничимся дия логарифма его г и а в ным з и а ч ение м: 1 й = - 1и (ЛЫ )г! — я ') . 1 л При зг = +1 илн — 1 Радикал обращается в О, и мы получим, соответственно, э =— л 2 ипн —, что и примем эа главное значение арксииуса.
Пусть 2 теперь яя э!, и нам предстоит выбор из двух значений г, Очевидно, (я)+ )Т:л)(яч'- )г! !- Н1) =- - 1, так что 1 — — 1 — !и (1И+ )г! — лз) Ч вЂ” !и (ззз' — ) ! — Лз) = Эл, 1 следовательно, и Я ~ — 1п(ил+~! — я)))+Я ~ — 1и (ач — )/1 — згй)) = Эл, в то время как мнимые части разшпся лишь знаками, Так как каждая из вещественных частей не выходит за пределы промежутка ( — л, л),то лишь одна иэ пях будет содержаться между — -- и —; соответствующее значение арксинуса при- 2 2 нимаем за главное. Исключение представится лишь в случае, когда обе вещественные части Равны — или — —; тогда за главное принимается то значение, 2 2' которому отвечает положительная мнимая часть*.
С этой оговоркой можно сказать, что главное значение ар к синуса определяется условием л л — — ~Я (агспп и)- —. 2 2 Легко проверить, что остальные значения выразятся формулами." Агой!и я=агсып л92йл, Агсзш зз - (2х"; 1) л — атсзш л (й — целое). В заключение, упомянем о разложении аюпп и по степеням а. В обласгн вешественных переменных мы уже видели, что дия рзега хз «йл-1 у =х — — +... +(- 1)" 3! (2л - 1)! [выражающего ып х), обращением будет ряд 1 у' 1 3 уз (2л — 1)й у'"+' 2 3 24 5 2ий 2я+1 [выражаюп!ий агсяп у; см.
440, 3)). Так как и в случае комплексных переменных коэффициенты опредепяются совершенно одинаковым образом, то ясно, что в результате обращения ряда йз йз эйя -1 я =э- — -! — —... +(-1)" 3! 5! (2Л-1)! л " Например, агсзш 2- — ~11п (2+) 3). 2 526 гл. хц. вункцноняльныв послвдовхтильностн и ряды 1460 должен получиться ряд 1 и' 1 3 сап (2а-1)й пап+с х н+ + 4 ° ° .+ 2 3 24 5 2дй 2л41 Его радиус сходвмости Я= 14; прн (н! 1 он дает о д н о из значений Аюз(в н. Покажем, что это будет именно главное значение апиш вп Действительно ()с(з)( ие превосходит 1 1 1 3 1 (2л — 1)й 1 л (з( !+- -+ +...+ + 2 3 24 5 2п!! 2в+1 2 откуда и вытекает требуемое заключение.
460. Степенвая функция. Пусть а и Ь будут два комплексных числа, из которых а я О. Тогда общее определение степени аь будет такое дь=есьпа=асрпа+21 0 ()с — целое) так что степень оказывается вообще многозначной. При)с 0 получается так называемсю гл а иное значение степени дэ = еып а Если Ь равно ц е л о м у числу, то второй множитель обращается в едшпшу: в этом случае степень будет иметь лишь одно значение. Когда Ь есть несократимая Р рациональная дробь — (а 1), то степень будет иметь ровно а различных значений.
4 Наконец, при всяком другом значении Ь степень будет вметь бесконечное множество значений. Например, 21= а((п х соя ()п 2)41 п)п (1и 2), ((2))1 2(.е-тсп (Ь вЂ” целое), — (414-1) Л ((=.Е( )пс=д П, ((1))1 Е (Ь вЂ” целое). Если т есть любое постоянное комплексное число, то степенная ф у н к ц и я ((к))м вообще многозначна. Ее главная ветвь есть (х а 0) 'и гпа дПС 1П П. (1 4 х)сп ее 1п(1ьп) Из соотношения совершенно также, как в л' 447, 2), можно получить бино ми а льный ряд дс(т-1) т(т-1)...(т-л41) (1+х)пс 14кать я'+... + кп+... 1-2 1 2 ...-а При сп= т! нару(лается непрерывность производной арксивуса: 1 )с1- ну *и Иногда прн я = 0 полагают гм О, если Я(дс) О. Для отличия общее выражение степени, следуя Коши, иногда обозначают таю ((а))ь. Таким образом ((д))ь аь еас 41 (Ус — целое).
46П 1 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 527 Зтот ряд сходится прв любом комплексном ш, если ~4 1*, н воспроизводит, как видно нз самого способа его получения, именно г л а в н о е значение степени бинома. Исследованием его занимался А б е л ь.
461. Прнмеры. В этом пл на нескольких примерах мы покажем, какие успугн оказывает вещественному анализу комплексная переменная и эпементарвые функции от нее. 1 1) Последоватеяьвые пронзводные функции у= — — легко вычнсляются, хе 5:1 если представить ее в виде: 21 ~х-1 х+1) Именно, 1 г 1 1 '=- — (-1)л '(«-1)! [ 21' ~(х — 1)л (х+ 1)л) ( 1)л-1(в 1)) (хч 1)л (х )л 21 (хх-~-1)л (-1)л-'(и-1)! г л(в-1)(л-2) лхл-1 хл — зч ...
(х'+1)л " 1 2 3 Например, 1 )(О 5х'-10хх61 ~--)'= — — = 24 х'+ 1! (хх-~-1)' Одновременно, очевидно, получаются н последовательные производные функции агс18 х [ср. 116, 8) в 118, 4)). 2) Формулы Э й п е р а, выражающие косинус н синус через показательную функцию, могут быть многообразно использованы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
