Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 90
Текст из файла (страница 90)
а',1 ! Газ 2а,аз а[) ! Га„а,) 1 сд(х)о»1-~- — -, '~ — -« — 1 — Ч-~ — -1- — — « — 1 — +" «~ — 1. -г — ~ + ' х ' 11! 2!1х' !Г1! ' Гй 3!1 х' "' 11! п!!хп аз аз ап А(х) со — -1- — ' -, '... -1- — -!-... хз хз ' хп (13) 1 н а ч и кающееся членом, с о де рж а щ и.и †. Тогда для этой Функции хг существует конечный интеграл от любого х=а до -« ", и этот интеграл (как з Напомним [см, стр. 282), что интегралом 41ункдш» т(х) от а до -«называется предел А ~, :г(х) Ах = !лп ~ г"(х) Ах. и е Интересным приложением этой теоремы о подстановке ряда в ряд является [как и в случае сходяшихся степенных рядов, 448) деление аснмптотических разложений гбункций В(х) и А(х), в предположении, что свободный член аь второго из них отличен от нуля. Так как, по сравнению с и' 448, здесь не приходится привлекать никаких новых идей, мы не будем на этом останавливаться.
4'. Обратимся к и н те г ри р о в а н ию асимптотического разложения. пусть функция А(х) непрерывна е промежутке л",= [а, ч- ) и допускает асимптотическое разложение 464! 539 ! ь. ОБВегтывнвзщие и АсимптОтические Рядн! Агуггквизг от х) в свою очерег!ь илгеет асилтгнотическое разложение а« аь ! ан 1 А(л) гзх ж — -1. — — -1- ° ° ° -1.— --- ° — — .1- ° х 2 л" л — !хи а (14) кооюрое из (13) !рормазыго но.гучастсн ло ч хе ниылл интегрированием. Действительно, полагая " а« Агг(х) = У; —., гн(х) = А(х) — Ап(х), «=я х «' х А л Л ( — 1 и А(х) г!х.=. ~ Ан(х) г(хе ~ гн(х) ггх= ~ — -- ~ — — — -. '~ г (х) л(х. „.— ~.— -"-!1 При Х-, получим а«1 ал 1 а„1 А(х) с(х= — — -1- — — -1- ° ° ° + — — -- .! 11н.
г(л). 1 х 2х' и — 1хи (16) глс )(ч г(х) = 1йп ~ гн(х) с(х = ~ ггг(х) г!х. х г к к Так как, в силу (1 5), для достаточно больших х х л Х гНх с 11 1 ~гн(х)г!х)ж~ !ггг(Х)~ г!х е~ — = — — ~-. зхи н — 1(хн ' Х" гЛ то, переходя к пределу лри Х-, будем иметь (для указанных х) е ))!н г(х)) х" так что 1нп х" г)(н г(х) = О, к а зто, вместе с равенством (16), и доказывает справедливость асимптотнческого разложения (14), при произвольно взятом г -0 и люболг фиксированном н, для достаточно больших х будем иметь х" ° ! гн(х) ! г. 05) Если Х. х, то 540 гл.
хп. иункциоплльпын послндовлтнльпости и (яды [4бз Можно показать, что наличие в асимптотнчсском разложении функции А(х) а, члена — (при а, а 0) сделало бы невозможным существование конечного интеграла х для этой функции от х до ь . [См, ниже 474.) 3 а м е ч а н и е. Любопытно отметить, что формальное почленное дифферен- цирование аснмптотического разложения, в о о б щ е г о в о р я, недопустимо. Для примера рассмотрим функцию г(х).=е —" мп е». Так как, при любом л, !нп г(х) х":=О, х то г(х) глО, т.
е. асимптотическое разложение функции г(х) состоит из нулей. Между тем для производной Е'(х) =е » пи е»йсоаЕ» такОЕ разложЕниЕ Вообще невозможно, ибо не существует даже предела )пп г"'(х). где дополнительный член .+р Ь 1 г г гт о = — ) у (т+ О(у)(хр (- й — у )е' рй =- ~ у(т л О(хр -!- Ь вЂ” 2). — еух. т! лй Возьмем здесь, влюсто.У, поочередно функции х 1 г — ~ у'(() еуу, у"(х), йу'(х), йр~ "(х), Ьт -ру(т-р)(Х) х одновременно заменяя т соответственно на т, т — 1, т — 2, т — 3, ..., 1.
Мы получим систему т равенств: х +р р, р'„ а -' р) ' щ ' з! ' '" ен — у(!) Е(=у(»)Л вЂ” у(»)+ - у(х Н.... + — у! - )(»Не, и я -' ру (х )+- у"(х ) Ь .., + — у! -')(х) р Е, 2! " (р — !)! р -' иу"(,>+...+ — -у -'Х..)че (а — 2)1 АУ(х,) †. РАУ'(»;) —— » -' в у! ')(х )-(- е, А т! Р -'АУ! -')(х,)= Р Мы здесь н впредь, не оговаривая этого специально, всегда предполагаем существование и непрерывность всех упоминаемык провзводпых, 4бз. Вывод формулы Эйлера — Маклорена. Эта формула играет важную роль в анализе; в частносш, ею нередко пользуются для получения конкретных обвертывающих и аснмптотическнх разложений. Мы дадим ее вывод и ухажем приложения. Будем исходить из формулы Т е й л о р а с дополнительным членом в форме определенного интеграла [3181 йр у»!и Я(хр) =.У(х е й)-[( ) =Ы(хр)+ —,Г(хр)+ ".
4 —,У(">(хр) Л Е т1 541 4 б. ОБВЕРТЫВАЮП(ИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ Исключим из этой системы все производил»е в правых частях; для этого сложим почленно первое равенспю со всеми остальными, умноженными соответственно на числа А», Ао, ..., Ат», хоторые мы выберем так, чтобы было 1 1 1 — +А» — — ΄— + — А»-(-Ао=. О, 2! 3! 2! (! 7) 1 1 1 А,'- — Аоч ... ЕАт,=о.
ис! (т — 1)! (т — 2)! В результате найдем: х,б» 1 г У(хо) = — ~ Д() с((+4, А([хо) (А~ЬЛ7'(хо) Р... ТАт»Ьт о Л/(т ")(хо)+г, (!Е) Ь где -Ро-А»Р» -Анйо — -Ат-»осе-» = о 1 г ( 2»»» Ь2»»» Ь хт = — — ))тт)(хо+Ь-2)» — +А» 4-Ао — Е .. ° -(-Ао,. »Ьт»2) (72, Ь" ( т! (т — 1)! (т-2)! о или — короче— и 1 г г = — — ! 7"(т)(хо+ Ь вЂ” 2) 4»т(2) с(2, Ь2 с (1йо) где положено хт Ьгт-» Ьохт — о 4»т(2) =- — +А» +А2 +... -(-Ат»Ь"» 2. т! '(и-1)! '(т — 2)! (19) Очевидно, из системы линейных уравнений (17) коэффициенты А„А„ . ", Ат, о днов на ч но определяются один за другим, и притом независимо от выбора функции 2 н чисел х и Ь. Впрочем, зтн коэффициенты нам уже извсстны— Р(» х это коэффициенты — разложения — по степеням х (449 (12)).
Действительно, Ы ех — 1 если вспомнить символические уравнения: ((54-1)» — »5»=О, (5» 1 А,= — - --, АР., 7! 2 (»гр- » (2р — 1)! =(-1)Р ' — и(2р)! для р 1, (20) ~»Р (2р)! где ВР есть р-е число Б е р и у л л и. которым удовлетворяют числа ((, то легко убедиться в том, что именно числа (5(с Ы вЂ” и будут решениями уравнений (17). Из сказанного о числах (5» в и' 449 явствует, что 542 гл. хн. вункцноняльнын послгдовятнльностн н ряды ]466 Пусть функция у(х) рассматривается в конечном промежутке [а, Ь]; положим Ь вЂ” а Ь = —, где я — натуральное число, и, взяв за хь поочередно числа я а, атб, а ь2Ь, ..., а+(я — 1)Ь=Ь вЂ” Ь, для каждого промежутка [а ~ (! — !)Ь, ад й] (1.= 1, 2, ..., я) в отдельности напишем равенство типа (18), с дополнительным членом (18»), и все зти равенства почленно сложим.
Мы получим: ь Ь 1 ° ~;1(а —,1 — 16) = ~' Г(х) = — ~ Х(х) г(х ЬАь[у(Ы -((а)] —; ~=з и о Л АЬ[)"(Ь) — Г(а)]+... + А„, ьЬт »Ц(т ЦЬ)-Ят ь)(а)]4 й, (21) гле дополнительный член 1 ь Я= — —,~~ ])(т)(ат!Ь-з)УЗ»(з) Ае=- — — ~ ~)(т)(хмЬ вЂ” »руд(з)дз. (21') ь 1 Ь Эта йюрмула и есть (берну»а Эйлера — Маклорена, и притом с дополнительным членом (которого авторы ее, разумеется, не писали).
Числу яь люжно давать различные значения, начиная с 2. 466. Исследование дополннтельноге члена. Сначала сделаем некоторые замечания относительно функций ~рз,(з). Прежде всего, дифференцируя (19), получаем; (22) йи(з) зьт -з(з) т Ат- ьйт Далее, каково бы ни было т=2, имеем (23) ря,(0) =- О, с»1(Ь) = О. Первое ясно по самому виду многочлена рз,(з) [см. (19)], а второе следует из последнего равенства системы (17).
Докажем теперь такое утверждение: функция рм(з) (ч е т я о г о порядка) ие может ярияилтть в промежутке [О, Ь] какое-либо значение больше двух раз. Допустим противное; тогда ее производная [см. (23)] рз»(з) = зьь» з(з) (ведь Аз», = 01), кроме концов промежутка [О, Ь), обрашалась бы внутри промежутка в 0 — по теореме Р о л ля — не менее двух раз. В таком случае производная рь»,(з)== лрз» ь(з)»А»» збз»- ' — по той же теореме — долина была бы обрашаться в 0 внутри промежутка [О, Ь] не менее трех раз, т.
е, функция Рз» з(з) принимала бы внутри этого промежутка одно и то же значение: — А,» »Ь»» ' не менее трех раз. Так, постепенно понижая порядок функции й,» на две единицы, мы пришли бы ! 1 к заключению, что функция рь(з)= — з' — — (квадратичный двучлен) при- 2 2 нимает некоторое значение не менее трех раз, что невозможно! Этим наше утверждение доказано.
Из него вытекает такое важное следствие: (бузтяия рз»(е) с охран я е т знак е яромежутке (О, Ы, ибо, обрашаясь в 0 на концах промежутка [(23)], она внутри 46б[ $6. ОнвертывАк)щие и Асимптотические Ряды 543 ь ь )т= — — ~ [ УЬ»»(7Уть»)(хдй-г) т(7= в ь ь — ~ (Ах»й» -|рг»л,(г))УЬ»Нх+» — 7) бе =, а о 1 ь =-Амйг» У; Фь»-ь)(х-Ьй)-У(ь» ')(х))— Ь ь с Х ~ тт т х(7)Я7» "ь)(х 4 й — г) с!г = й ь = А»йь» — 1[)(ь» — 1)(б) ((ь» — 1)( г)) ь 1 ь г ,с ~ хь»-ь (7)т(т»ьь)(х.~.й 7)ь(' = й,д' ь .=Аь»М' '[1(ь» х)(6) — ~Ф' ')(а))— ь „ ,«~ ) %7»-~.ь(7)у(ы ! )(х+й 7) б7 а Так как подчеркнутые суммы интегралов в силу сделаиньт предположений имеют противоположные знаки, то первая из них имеет тот же знак, ныло и выражение Аь»й'» '[((ь» ь)(б)-)(ь» г)(а)[ и меныие его ло абсолютгюй величине.
Таким образом, окончательно и= йт»-. б Аг»йг»- [((™-~)(д)-У(г»- )(а)[= .†. б ( - 1)»- — йь»-г[((ы- )(Ь) - ((ь»-»(а)) В» (2й)! (21ь) (О й 1). промежутка больше уже в 0 обратиться не может. Легко установить, какой именно знак сохраняет функция (ьы(7): для малььх значений 7 (а, значит, и повсюду между 0 и й) этот многочлен имеет знак младшего члена Аь»,»х» 'гь (Аь»,= О), т. е.— В» х так как Аы г=(-1)» ' — знак (-1)». (2/с — 2)! Таким образом, две последовательные тбункеии четного порлдка, 4 н(г) и дм ье(г), сохранлют — каждал — определенный знак в (О, й), но знаки их и р о т и в о и оп о ж н ы 1 Это замечание нам сейчас понадобится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
