Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Второй пример поучительнее в том отношении, что здесь рассматривается постоянно расходящийся ряд. 2) Положим теперь (для х О) сз Р(х) -,~~ з-! х+Ус где О с 1 (ряд сходится!), При й=х имеем ь» /з хфй х х' хв х' если пей-х, то этот ряд расходится. Темпе менее, формально подставив это разложение в рдп, определяющий функцию Е(х), объединим подобные члены и получим таким путем ряд А, А, А„ - — + — + .. ° + — 1- ° ° °, (2) х х» х" 533 э ь. ОБВБРтывпющие и лоимптОтичепкие Ряды Ал=(-!)л ',~~/сл 'сЗ'.
1=1 Легко убедиться, что ряды, определяющие коэффициенты Ал, все сходятся. Но предшествующий ряд явно расходится, нбо Ал пл 'сл хл Хл (Ал~-.=пл 'сл а последнее выражение при и- стремится к Для написанного расходящегося ряда (2) п-й отрезок будет: 4„, " ( )) -1/р-1 г йл1 сп 5.()=2' — "=2'"Л =2 ()+(-))"+' — ~ —, ,=1Х" 1,=1 „=1 Х" 1, 1 Хл Х+й так что ьдополнительный члеиь ьлсй О,(х)=-Р(х) — б (х)=(-))л Л 1,=1(ХЛ й)Хл И здесь имеем ..(.)=О.(-)) 2й. ь — =-О.
-- (олО-П. л ) АЛ-Ь1 хл+' хл+' ОАл+, .тл 1И(Х) = — -- О, х то гл(х) =- о ( — ) (3) такчто гл(х) оказывается бесконечно малой выше иго по рядк а. Чем больно членов расходящегося ряда (2) мы удервшваем для приближенного представления фузшции Г(х), тем более высокого порядка малости при хможно ждать от погрешности этого приближения! 4б3. Определашя.
Перейдем теперь к общим формулировкам и определениям. Пусть дан числовой ряд ~ил-о,+азе из+, "+пилил+1+... 0 (4) Снова налицо привычная особенность ряда лейбницевского типа, хотя рассматриваемый ряд и р а с к о д и т с я. Конечно, приближенно приравнивая г(х) частичной сумме бл(х) этого расходящегося р1ща, лри 1б и к с и р о в а и и о м х, заведомо ивльзк получить произвольную точность, но можно доби1льск любой точности при д о с т а т о ч и о большом х. Для рассматриваемого случая сохраняет силу замечание о том, что наращивание числа сохраняемых членов выгодно (в смысле увеличения точности) лишь до тек пор, пока члены по абсолютной ~ Алл-1 величине убывают, т.
е. ~ — —..х. ~ Ал Очевидно, при фиксированном и, дополнительный член гл(х) стремится к О, если х-- . Более того, так как при этом 534 ГЛ. ХЦ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И >ЯДЫ 1463 (а) Вели его частичные суммы поочередно >по л>еныие, гно польше некоп>орого числа А, >п. е. если д о п о .«н и т е л ь н ы й ч л е и, определяемый формулой (5) А=а, Еа,1 ...Фап+г„.
ока>ываеп>сл знака переменным, то говор»т, чп>о ряд (4) обверн>ывашп число А. Простое равенство гп = апв, -,' го Ь, 1-2Ф2-242-.. с частичными суммами 1, — 1, 1, .-1, 1, ...„очевидно, обвертывает каждое из чисел промежутка ( — 1, 1). Свойство обвертывающего ряда, сформулированное в определении (б), часто делает его ценным средством для приближенного вычисления числа А, но само собою ясно, что далеко не всякий ряд, обвертываюший число А, может служить для этой цели. Пусть, вместо ряда (4) с постоянными членами и числа А, имеем функциональный ряд у а„(х) = а«(х)+а(х)-Ь... ' ап(х)';а„ьг(х)Ь .. о (6) и некую функцию А(х), причем все функции ап(х) и А(х) заданы в одной и той же области );.
Только что приведенные определения числового ряда, обвертывающего данное число, естественно распространяются и на случай функционального ряда, обвертываюшего данную функцию. Не останавливаясь на этом, мы дадим новое определение, относящееся специально к случаю, когда члены ряда, подобно (6), содержат еше параметр х, область изменения которого,«2 имеет в качестве точки сгущения конечное или бесконечное число «ч. Как всегда, дополнительный член гп(х) определим равенством А(х) -- а«(х)+а,(х) Ч ...
Ф ап(х) Ф г„(х). (в) Рлд (6) называетсл асн»>п>пот ическим ршлохсснием вблизи х = ю б)унк>гии А(х), если при любо,п б)иксировапном и гп(х) 1пп — - = 0*ь. х «ап(х) ь Мы сохраним термин «обверть>наюШнй» и в там СлучаЕ, еслИ прсдлспожеиное в определении выполняется лишь для достаточно больших и (скажем, для п- и„1). ** Прн этом, естественно, предполагается, что ап(х) отличны от 0 (по крайней морс, для х, достаточно близких к о>). делает очевидным, что это определение р а в н о с и л ь н о такому; (б) Ряд (4) называетсп абвер ты каюк)им число А, если, во-первых, этот ряд — з на ко нер ем ен н ы й и, во-вторых, дополнительный член гп >рормулы (5) меньше числа а„+> по абсолютной величш>е и имеет одинаковый с ним знак'".
В предыдушем и' мы уже имели дело с такими рядами: ряд (1) явно был обнертываюШим для 1п (1+х) (при любом х»О), а ряд (2) — обвертывающнм для функции Р(х), определенной в 2) (тохсе при х- 0). Заметим, что в случае расходимссти ряда (4) он может одновременно обвертывать и бесконечное множество чисел А. Например, ряд 4631 535 1 б. Оквнртгпнлющив и Асимптотичпскип Ряды Этот факт записывается так: А(х)юав(х)+а,(х)9...
Ч-ал(х)+ .. Ввиду гл(х) = ал+,(х) .~- тле,(х) гл(х) аль,(х) Г гле,(х) ] ~1-~- ал(х) ал(х) 1 алв,(х) как следствие нз (7), получается, что алз-ъ(х) 1пп =О. а (х) (8) Легко доказывается такое утверждение: Если рпд (б) обвертывает Функяию А(х), причем выповнпетсл (8), то названный рпд служит и асимптотнческим разложением 4ункяии А(х) вблизи х — — лл Действительно, имеем ~ гл(Х) (- (ал+,(х) (, ( гл(х) ! )ал+г(х) ! так что Тогда из предположения (8) непосредственно вытекает (7).
Оба ряда (1) и (2), приведенные выше в ниде примеров, служат асимптогичсскимн разложениями соответствующих функций, первый — вблизи х=О, а второй — вблизи х= В последующем изложении нам, к а к и р а в и л о, предстоит иметь дело с асимптотнческими разложениями вида ~а„а, а, ал А(х)зз,х, — ачм — -1- — ч-...
Р— м .. «=С хо х хз ' х" (9) вблизи х= . Напомним, что смысл напнсашюго соотношения состоит лишь в том, что, как бы ни было фиксировано и, всегда гл(х)=о ~ — ) илы — подробнее а, а, ал1 1!гп )А(х) — ав — — — — —... — — ~ хл = О. Х х хз хл (10) Таким образом, для «балашихе х имеет место приближенная формула а, аз ач А(х) -а,-. '— + — -...-~- —, х х" хл чкачесгво» которой характеризуется равенством (10).
Если переписать это равенство так: а, а. ал,1 1йп [А(х) — а„— — — — —... — —.1(.хо=а . 3 — л ° (10ч) то станет ясна единственность аснмптотического разложения, вида (9), функции А(х), — конечно, в предположении, что она нообщс допускает такое 536 гя. хи. оункцноняльнын послцдовлтвльности и вяды 1464 разложение. По формуле (10*) все коэффициенты а„последа в а тел ьн о определяются вполне однозначно! Обратное утверждение, однако, неверно: р а з л н ч и ы е функции могут иметь одно н т о же асимптотическое разложение.
Например, известно, по е " х"-0 прн х-; поэтому, очевидно, все функции вида А(х)ч С.е " будут иметь то же асимптотическое разложение, что и функция А(х). 3 а меч ание. Иногда для удобства мы будем писать а„ В(л) сои(х) л- р(х). ~ =ох" где В(х), 1»(х) и н(х) — функции, определенные в К, разумея под этим„что В(х) -у(х) ао р(х) =с х" 464. Основные своиства асвматотвческнх разложевий. Говоря об»асимптотическнх разложениях», мы здесь и впредь разумеем разложения вида (9)ь. Все рассматриваемые функции предполагаются определенными в области К с точкой сгущения -'; 1'.
Если Ь В(х) аз,~~ —, я=охи' ая А(х) оз .~~ —, =с х" то, очевидно, и аиьбч А(х) Ь В(х) оз,У, и=о хи а, а» ая ( ! ) А(х)=аь-!- — + — + ° . + — 1-о ~ — ) х х' х" (хо) ь,ь, ьо В(х)=ьь+ — о — + ..+ — -ьо ~ — !. х х' х" хя) Перемножая, получим: /1) А(х) В(х) =с»О — + — + ° + — Оо ~ — ), х х» х" !хя) где т е, = ~~', аЬм з=-е ь Теория таких разложений была развита Пуанкаре (Нели Ро!лса»6), который дал вахсяые приложения их как в теоРии дифференциальных уравнений, так н в небесной механике.
т. е. аеи*швштичееьие разложения можно складывагль и вычищать яочлеиио. 2'. Покажем теперь, что асимшиоглическое разложение произведения А(х) В(х) может быжь яолучеио иутель йшрмолызого умиожеиия — ло вяравилу Ко и иь разложеииа (11). Имеем, при любом л, 4441 537 ь ь. оввыетывтощиы и хсимптотичыскыы тяпы Это и равносильно утверждению сп А(х).В(х) т,л, — ", л=с Х Г(у)=- .У;Р у"=-РьЧАУ';Ууз+" МРпгу +." м=о Кроме иее рассмотрим функцию А(х), допускающую асимптотическое разложение без свободного члена: а, аь а„ А(х) ю — + — М... М вЂ” М...
х хе х" (12) так что А(х) О при х - . В таком случае, по крайней мере дли достаточно больших х, сложная функция Г(А(х)) = ~()м[А(х))т м.=е имеет смысл, Функция Г(А(х)) нюхее допускает асимптотическое разложение, которое лгажет бьипь получена из прес)идущего рюложения, если елгеста каждой степени [А(л)]т падстаеить ее асимтпатичеекае разложение и Формально еыполнить нриеедение подобных членов [ср. 4461). Заметим, прежде всего, что в окреспюсги точки у=О функция Г(у) имеет ыепрерывную (а следовательыо — ограниченную) производную, и для любых двух точек этой окрестности у и у будет выполняться неравенство [Г9)-Г(у)[тЕ [у-у[ (Ь=сопзь).
Обозначим н-й отрезок р1ща (12) через Ап(х): а, а, ап Ан(х) =. — + — -~-... + — . х х' х" Прн фиксированном и, для достаточно больших х, обе фуыкции А(х) и Ап(х) попадут в упомянутую только что окрестность, так что [х" [Г(А(х)) - Г(Ан(х))) [ Ь хп )А(х) -Ап(х) [ 4 В х" [ г„(х) [ О при х-, и (1) Г(А( ))=Г(А ( И+ которос подлежало доказателмпну. Если отождествить В(х) с А(х), то получим асимптотическое разложение для квадрата: [А(х))Ц Так же может быть получено асимптотическое разложение для функции [А(х))т, где т — любое натуральное число. 3*.
Далее, пусть дана некоторая функция Г(у), аналитическая в точке у=О, т. е. разлагающаяся в окрестности этой точки в степенной ряд: 538 Гл. хн. ФункпнОИАльные пОследОВАтельности и Ряды [464 С другой стороны, на основании известной нам теоремы п' 44б, для достаточно больших х: хз хз ф,ап; —... -,-фпа'. !' ! ) *-~-О' ); хп И' ввиду прсдыдушсго соотношения т а к о е ж е равенство может быть написано для р(А!х)), что и доказывает справедливость а с и ми то т и ч еского разло- жения ()за! Г)заз-«ГГ»аз фзаз».21"заза!».!)за! ))за» М . »'.Фпа!' р(А[х)) х[),~- х хз ха сп о котором была речь. Например, если взять угн р(у)--ау= !+ ~ к=1 т! ' то окажется, что а, Га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
