Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Возвращаясь к дополнительному члену л, будем считать теперь т ч е т н ы м числом, т= 2к, и прелположим на этот раз, что производные гть»)(7) и утытх)(7) в тюмежутке [а, Ь[ обе положительны или обе отрилательны. Из выражения для )1, дважды интегрируя по частям, с учетом (22) и (23) последовательно получаем: 544 гл. хц. аункциопкльныв послидовкзиЛМЬОстн Н гиды (462 Если предположить теперь, что все производные )'(зь)(г) четного порядка сохраняют в промежутке [а, 6) один н тот же знак, и написать вместо конечной дюрмулы (21) бесконечный рдл, учитывая вдобавок значения (20) козффипиентов Ат, то получится бесконечный ряд Эйлера — Маклорена: ь ь 1 В, ~1 (х) =- — ) )(х) дх — — Ц(Ы вЂ” )'(а)) + — Щ'(Ь) — у" '(а))— Ь 2 2! в — — Ьз(У "(Ь)-У- (а))-, ... + Вз 4! .! ( !)ь — 3 " 1 мь — з(!(Ьь — з)(6) 1(ыз-з)(а)) ! (26 -2)! Ь(-1)к ' - Ью 1(Р"-')(6)-.6"-з)(а))Ь ..
(24) (26)! 467. Примеры вычислывзй с помощью формулы Зале!а — Маклорена. 1) Найти приближенное значение суммы 900 (!) слагаемых з=-000 1 гнкз 1 1=-100 3 100, Х положив г(г) = 1й, а = 100, Ь= 1000, Ь= 1, Так как 120 у'ч(г) = —— г' 1 „2, б 24 Г (г) - -, ) "(г) = —, у'"(г) = — — ! 10(г) = —, гз зч г' гз ' и, вообще, (2!с)з )(зк)(г) = — -, г'"+' то условия на счет производных четного порядка соблюдены. Мы продолжим разложение до члена, содержащего у'", так что в дополвительныйчленвьзйдетуяе)чз.
Вэтомслучае формула Эйлера — Маклорена Этот ряд, вообще говоря, ра с ходите я (так что знак=поставлен здесь условно!). В силу сделанных предлОЛОжений, Он — ПО крайивй мере, начиная с трЕтьЕгО члена — оказывается зиакопеременным. Учитывая еще (2!Ь), можно сказать, Ь что написанный ряд о б ве р т ы в а е т сумму ~Дх), стоящую слева. Если в Ь 1 г переставить зту сумму и интеграл — д! у'(х) з(х, изменив при этом знаки всех Ьд в прочих членов на обратные, то получится ряд, о 0вертывающий названный интеграл. Частичные суммы этик рядов позволяют шюй раз с большой точностью ь Ь 1 г вычислять сумму ~, зная интеграл, или интеграл — ), зная сумму.
Конечно, в Ь)' в во всем этом о с н о в ну и роль играет тот факт, что нам наперед известна оценка донолнытвльного члена! 0 б. ОБББРтывАюшии и АсимптОтичестсин Ряды дает: 1000 100 1('11~6~11~12~11 — — — . )48 — — 1 — — — —. -! (О-О-Ц. 12 ! 100" 10001) 720 (100' 1000') 3024 (100' 10000) Так как г/х — = 1п 10 2,3(в2 585 092 994 045 .. х — ( — —..
) =0,0045 1/1 1 — — — = 0,000 008 25 12 100' 1000! 6 ! 1 1 — — — — = — 0,000 000 000 083 325 720 ~ 100' 1000!) 2,307 093 342 910 720 !2 8 .. — ~ - — — — — )-О,ОООООО ОБОЕ)0004, 3024 ~ !ОО !000 ) 1 1000 ! то с точностью до — можно положить ~ -= 2,307 093 342 910 72. 10'в 100 Х 1 в/х 1 2) Вычислим теперь ~ — --=1п2. Здесь /(х)=- —, а=О, 1+х Ь = 1; возьмем Ь=1/!О (и=10). Имеем 1 2 6 у'(х) = —, Ха(а) =- —, у"'(а) -— (1 + )в (1 + )в ° (1 )в г 24 120 (2/в)! /'!н(х) =, / ч(,) и, вообще, /(вх)(г) = (1-<;х)в (! .!.х)в (1 -~- г)ва 1 г/х 1 ! ! 1 1 1 1 1 1 1 — — = — + — -~- — + — + — 4 — + — + — 4 — -!- —— 1 Тт 10 !1 12 13 14 15 16 17 18 19 0 (0«8 1). 00 П М.
Фв гангавви, г. П так что наши условия снова выполнены. Воспользуемся видоизмененной фор- мулой Э й л е р а — М а к л о р е н а, оборвав ее и на этот раз Ба чЛЕне, СОдер- жащем у а". 546 Гл. хп, ФУнкЦиОнАльные ЦООЛЯДОЕАтельносГН и Ряды 1467 Находим, далее, 1 1 1 1 — Ф вЂ” + — 4... + — = 0,718 771 403 10 11 12 19 11' 11 — — !1- — ~ = -0,025 20~ 21 1 ( 11 — -- — ! 1 — — ~ = -0,000625 -'-('-й:-"=' "' 0,693 147 184 !2 ( 11 в ° Р— — ~ ~-О,ООО ООО 004. '3О24ОООООО ~ 164 1 Поэтому с точяостью до — -- получаем: 2.10ч 1 сх — = йг 2 0,693 147 1 8.
1-;х е 3) Покажем, наконец, как с помощью формулы Эйлера — М а к лорен а может быть приблнженяо вычислена сумма бесконечного рнла, сходящегося, ио медленно. В виде примера остановимся на ряде: 1 ля=6~в ~=1Р Положим в общей формуле (21) [и (21ь)) 1 )"(х)= —, 8=1, 6= 4 Ь, х' где а и л — пока щобые натуральные числа. Иытеграл и производные вычисляются легко; подставляя вместо Ам ик выражения, получим: в-1 1 1 1 1 1 1 1 Я (с+() 1ач.я а1 2 [(а+я)' аа1 ' 1(с+л)э ае1 1 1 1 1 +В ~ — -+...-(-!) -В,,1 1 1 1 -в„(-П вЂ” Ва! -- — 1 (о«в„-П.
Ца+л)м+1 а'А+11 При фиксированнык а и й перейдем здесь к пределу, устремив л к + . Легко убедиться, что множитель В„тоже стремится при этом к некоторому пределу В, 0~8~1, и в результате: 1 1 1 1 1 1 1 2 = — + — — -~-в,.— -В,.— ФВ, —— „(а-;1')' а 2 а' а' " ат а' ! 1 ..;(-ПЯ- Вь, — -+в(-1)а- В, а'" ' амю 468! 547 1 6.
ОБЕЕРТЫВАЮ!ЦИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ Возьмем теперь конкретно а=10 и )9=10; воспользовавлзись известными значе- ниями чисел Б е р н у л л и [449), окончательно найдем: 1 6 3 1 1 1 1 л9= 6 Ъ" — -!- — + — + — — — — — + — — —,+ ,~-,' В 10 100 1000 5 109 7 10' 5.10" 5 691 7 3617 43867 174611 + 8 11.10ц 455.10'з 101" 85 10" !33 !О'" 55.10п Вычисления проведем с 19 знаками после запятой: 9 6 2 — 9,238 606 3869992441421 р 6 3 1 — + — о 0,631 10 100 1000 — — = — 0,000 002 1 5 !09 1 — — 0,000 000 014 285 714 285 7 7.
10' 1 — — — 0,000 000 000 2 5 109 5 0,000 000 000 004 545 454 5 1! 10ц 691 = — 0,000 000 000 000 151 868 1 455 10" — — 0,000 000 000 000 007 7 10'9 — — = — 0,000 000 000 000 000 425 5 3617 85.!Оо 43867 — — 0,000 000 000 000 000 033 0 133 10и 9,869 604 401 089 358 621 7 Если учесть поправки на округление и дополнительный член, то окажется, что л' = 9,869 604 401 089 358 62 с точностью ло 1/2 10-". Этот пример очень поучителен: сумму лз сходящего ся ргша мы вычислили с очень большой топюстью по формуле Эйлер а — Маклорена, по сути дела прибегнув к частичной сумме р а ох о даше г о с я ряда, обвертываюшего число л'. Если бы мы захотели достигнуть того же, пользуясь самлм сходящимся рядом, то пршллось бы взять больше миллиарда его членов! 468.
Другой вил формулы Эйлера — Маклорена. Вернемся к формуле (21) и (21'), но предполовшм, что производные функции 7 (х) нсех порядков существуют в бесконечном промежутке (а, + ) и удовлетворяют условиям: (а) производные у !'а)(г) четного порядка в с е имеют в зтом промежутке один и тот же определенный знак, 35' 54$ гл.
хи. о>нкционьльнын нослидовьтильности и вялы [448 (б) производные у(ы '>(г) нечетного порядка при г + все стремятся к иулго. Пусть число т четное: гл = 2Ь. Числа а и Ь мы фиксируем, а Ь= а+лЬ (вместе с и) будем считать переменным. Дополвнтельньй член Я (см. (2Г)) представим теперь в следующем виде: Ь Ь 1 г 1 — — ) р,ь(г)У'(м>(алг й — г) а(г+ — г, ~ рнг(ВЯь>(а+ (Ь- г) Аг и "~-1 Ь е !=лег о Ь Ь 1 - г 1 г н — — ~~ ~ (>гг(г'У" (аг>(г+ Ь - г> аЫ вЂ” ~" ~ Ргг(г) ((М(х+ Ь - г) Аг. Ь. Ь, >' е е Объединив первую из зтнх сумм со всеми членами 4юрмулы (21), содержащими и, в одну посто я иную: Ь 1 Сь= — А,)'(с)-Аллу'(о)-...
— А,» Ьгг ЬЯЬ Я(а)- — ~~ а а явно не зависящую от Ь, перепишем формулу (21) так: Ь 1 г ~"У(г) — СЬ-~- — ~ Дх) Аг4А,У(Ы+АЬЬ|'(Ы+... 4А,Ь,Ьй — ЬУ(гг — '>(Ь)+Р', (25) Ь а где Ь Ь 1 1 г Я'= — ~~ ~тая(г)У(ЬЬ>(атй-г)г>г= — ~' ~РЫ(г)>(Ы>(Ь+й-г)йгн Ь ! =а+1 Ь 1-1 9 е Ь 1 г -~ ~(ай()Р'ь>( +Ь- ) Аж Ь е Дпя обоснования проведеииого преобразования нужно лишь еше убедиться 1 в с х о д и м о с т и использованных бесконечных рядов; начнем с ряда — ~ . а Из (24) следует л-1 г — ~' ~ тгь(гк(гь>(а+й — г) йг Ь~ 1 е 0~ 1 А >йы 1Ц (гь о>(а)-У(гь 1>(а, яЬ)) 4681 1 н оьяевтывлзощив и Асимптотг!чнскиы Ряды По свойству функцны рг»(г) [4бб[ и в силу предположения (а), все слагаемые в числителе имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком знаменателя.
Отсюда, переходя к пределу пры и и учитывая предположение (б), эаюпочаем о сходимости ряда » » 1 - с 1 с — ~ 0!г»(г)Г( )(я+Ь Ы !Ггж — ~~ ~ рг»(г)г (~)(а-'сй — г) аг Ь Ь, е е причем его сумма имеет тот же знак, что и выражение Аг»ьм 'у"(г» ') (а), и по абсолютной величине ые превосходит его. Замеыяя в проведенном рассуждении числа а на Ь, убедимся в сходимостн ряда 1 с 1 — ~~ ~гр»(ЫГрй)(хфь — г) аг— = — у ~ !рг»(г)Г(»»)(Ь+гь — г) г[г. -Ь!, е е а также в том, что его сумма имеет тот же знак, что и выражевнелг»ьг» ' Г(г»-!)(Ы, а по абсолютной величине не превосходит его. Итак, мы ые только убедились в сходвмостн примененных бесконечных рядов, ыо попутно установили, что доыолвительвый член Я' формулы (25) можно написать в виде: )г'=В.лг»ь㻠— !.Я» — О(ь)=0.( — 1)» ' — ьг» ' Г(г» '1(Ы (О В 1). (25Я) Весьма любопытно, что постоянная С» г срормуле (25), для которой — по самому способу ее составления — не исключена была возможность зависеть от указателя Ь, на деле огп Ь нс загаси!я! Для того чтобы в этом удостовериться, достаточно сопоставить формулы (25) и (25б) с такими же формулами, написанными для Ь=1: 1 Г 2У()=с,+ — ~ Г()л ~А„Г(ь)б-К а Ь а где Я'= 0 А»Ь у'(Ы (О 0 1).
Имеем с+в АЬ. Г (ы=с»+лгь| (ь)+. д ьл» д™-»Г(»- ) (ь) »в л»Г»»- Г(™-!) (ы. Если перейти здесь к пределу при Ь, то — с учетом предположения (б) — получим: Сг, С»=С. Постоянная С, которую естественно было бы назвать поспюянной Эйлера — Маклорена для 4ункянн у"(х), кроме этой функции зависит еще от выбора а и Ь. Замечание.
Переходя в неравенствах к пределу, нам следовало бы к знакам неравенства присоединить знаки равенства и для множителя 0 в (25*) писать О В:ж1. Что равенство вулю исключается, это сразу ясно — сумма бесконечного Ряда с членами одного знака ые может быль нулем. Если же предполоюпь 0 =1, то — при увеличении в формуле (25) номера Ь на единицу — имели бы )с'=О, что (как мы только что ргзъясынлн) невозможно. Итак, на деле: О В 1, как мы и писали. 5% гл, хп, еункциональнын послндоватильности и вялы [469 Напишем вместо конечной суммы (25) бесконечный ряд. Мы получим ркд Эйлера — Маклорена в следующем виде: ь ь 1 В, , В, у у(х) = С+ — ~ г(х) ах- — у(Ь)+ — ' Ц(Ь)- — Ьь['"(Ь) 1- .. Ь 2 2! 4! а а .. Ч-(- !)ь-ь ' ' . ЬМ-ьУ !"-ь) (Ь)4( - 1)К- ' Ь -ьУ'! -ь) <Ь)ч- „, (26 - 2)! 2й! [Знак = и здесь также имеет лишь условный смысл!] В силу предположения (а), все проюводные у!ьи-ь)(Ь) с возрастанием Ь изменяются в одном направлении; а так как, по предположению (б), при Ь - онн стремятся к нулю, то все онн имеют один и тот же знак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
