Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Теперь (не ссылаясь на общую теорему о дифференцировании рядов) непосредственно докажем, что внутри круга екодиности степенной ряд можно дифференяировать иоч лен я и, т. е. если для !г! Я положить 518 гл. хп. оункционлльнын послвдовктнльности и ряды [457 функцию в рял по степеням г, то расстояние от начала до ближайшей к нему точки разрыва функции (или какой-либо ее производной) является естественной г р ан и ц е й для радиуса сходимости этого разложения. В случае прогрессви 1 гьгг ...
[ Пнгнл ... -.. 1-1-г такой точкой будет г= — 1; она лежит на вещественной оси, поэтому и 1 раньше было ясно, что радиус сходимости разложения функции — не может 1-1-г быть больше единицы. Иначе обстоит дело с прогрессией 1 1 — г +г ° ° ° г [ 1)нгн~+ ° ° ° = 1+ г' Ее сумма терпит разрыв в точках г= г1 м и и м о й оси, на расстоявии единицы 1 от начала; оставаясь иа вещественной оси, вдоль которой функция — непрерывна 1+х' вместе со всеми производными, нельзя было уяснить себе, почему радиус сходи- мости ее разложения равен единице. Подобного Рода примеры, когда переход в комплексную область помогает вьшснить истинные причины тех нли иных особенностей разложения вещественной функцют от вещественной переменной, мы встретнм и виже. В заключение упомянем, что все правила действий иад степевнымк рэщами [44э1, теорема о подстановке ряда в ряд [446], о делении рядов [448] и, наконец, об обращении степенного ряда [451] сохраняют свою силу и здесь; доказательства, носящие формальный характер, в полной мере годятся и для комплексных степенных ранов.
457. Показателышя функция. Мы видели в 404 [!1), что при произвольном вещественном х имеет место разложение х х' ел=1.!. !. !,., !. !. 1! 2! и! Если заменить в э т о м р я д е вещественную переменную х комплексной перел г менной г=хьуб то получится ряц 16 .~~ — „про который мы уже знаем [456], т и! что он сходится, т.
е. имеет определенную конечную сумму во всей плоскости комплексной переменной. Его сумму и принимают, по определению, за значение накаэательээой функлии е* нри любом комплексном д т. е. полагают г г' гн е'=1-! — +- -1-...-! —.(- 1! 2! и! Это определение, как мы вцлели, не противоречит обычному определению для случая вещественного показателя и является естественным его обобгцением. Если воспользоваться правилом умножения степенных рядов, то, как и в 390, 6), легко убедиться, что при любых комплексных зиачевнях г и г' будет ег, ег — ел э г (4) так что зто характерное свойство показательной функции оказывается соблюденным и в комплексной области. 519 1 5. ФУНКПИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Функция е' непрерывна во всей плоскости, больше того — она имеет производные всех порядков," почленно дифференцируя определяющий ее ряд, получим (ег!'= е' как и раньше. пусть г х-)-уг, где х и у — вещественные числа; замешш в (4) я ва х, а й' науй) будем иметь ей=як ЗУ!.
Займемся теперь особо степенью еу! с чисто мнимым показателем. Если в основ- ном определении (3) подставить у!' вместо й, то получим уй уй у4 уйл уйл+ 4 еу1-1->у1- — — — 44 — Ф...+(-1)л — Ф(-1)л 14- ° . 2! 3! 4! 2л! (2л+ 1)! или, отделяя вещественную часть от мнимой, уй У4 уйл '! ! Уз уйл+й зу! — ~1 .!... 4 ( 1)л Ф...
4 У .! . !.( 1)л ++ 2! 4! 3. " (2л+ 1)! В этих рйщах мы узнаем разложения соя у и ип у (404, (12) и (13)) и, такам образом, приходим к замечательной формуле ЗУ! = СОЗ У-!- 4' ЗШ у, которую впервые установил Э й л е р; отсюда, например, йл ей = — ь — ! ей !', Итак, если я=х";у!) то ей=с"(сову+!з!ну) з; мы видим, что е"=зи(й)= )е*!, У42(г)=Агйей. ЗУ4-!-е У! ЗУ! — е У! сову= ып у 2 24' выражающие тригонометрические функции от в е щ е с т в е и н о г о аргумента через показательные функции от чисто мнимых аргументов. Мы еще вернемся к этому замечательному факту ниже. Если в равенстве (6) заменить у на у-!-2л, то значение правой (а значит, и левой) части равенства не изменится; иными словами, ей+™! е й З Можно было бы положить и зто равенство в основу определения показательной функцви от комплексного аргумента; тогда (4) вытекало бы нз теорем сложения дйш косинуса и синуса, Таккакех Опри любом вещественном х,тоейотличноотнуляприлюбом комплексном й.
Заменяя в (5) у на — у, путем сложенвя и вычитания обеих формул, получим соотношения 520 гл. хн, вункцнонхльныв последовательности н ряды [4% и коказательиая Функция оказыеается лерио диче си ой, с чисто мнимым периодом 2лй Легко показать, что, кроме периодов вида 2йл! (к — целое), других периодов функция ез иметь не может, В самом деле, еслк е«ее=ее, то (полагая з=О) е'«=1.
пусть скажем со=ач!91 так что [см (6)) е«(соз!)ь!зш)))-1; отсюда е«=1 и и=О, а затем: соз р = 1, з!л р -О, следовательно, р -2йи, ч. н тр. д. Теперь лишь, когда мы знаем, что ех««!=1, становится понятным, почему х разложение функции — в степенной ркц [449 (!2Я имеет радиус сходимости е" — 1 2л; хотя на вещественной оси у функции — нег особенностей, котоех рые могли бы зто мотивировать, но на мнимой оси есть точки, где функция обращается в бесконечность, и ближайшими из них к началу как раз и будут точки з= ~2лг, лежащие от него на расстоянии 2л. В связи с обобщением показательной функции ва случай любого комплексного показателя, вспомним об одной интересной функцаи, которую мы рассматривали в 138, 407: Х(х)=е " (хлО), у'(0)=0.
Невозможность разложить ее по степеням х в какой бы то ни было окрестности нуля, несмотря на непрерывность самой функции со всеми производными вдоль вещественной оси, включая точку х О, становится непосредственно очевидной при переходе к комп ле к снов переменной з=хдуй Действительно, функция з е " (хлО) прн х 0 не вмеет даже предела, ибо, например, прн приближении з к нулю вдоль мнимой оси, когда х= у! и у О, будет: 1 1 ез 458. Логарифмическая функция.
Возьмем любое комплексное число ы, отличное от О, и поставим о!бе задачей найти число з, удовлетворяющее уравнению: (при и = 0 зто уравнение, как мы знаем, не имеет решений). Такое число . назы- вается Оьзтуральиы*~) лагарио)мом ы и обозаачается символом (8) Если ы = г(соз О+ !на О) н положить з = х+уй то, ввиду (6), уравнение (8) распадается на такие: созу=созб, з!л у=а!пО, ех= г откуда у = О+ 2йл (/с — целое).
х=1п г', Мы првходнм к заключению, что логарифм х (при вы О) всегда существуег, он равен Ьлы=1п [ы!+!Агйы=!и [зг! Ч( агйы";2йл! (9) * Здесь имеется в виду о бы чны й натуральный логарифм положительного числа г. 4Щ 521 1 з. еункции компдиксной пш амвнной и, таким образом, оказывается м ног о з н а ч ны м.
Впрочем, это легко было предвидеп„исходя нз периодичности показательной фуыкции. Взяв lг= О, получим так называемое главное значение логарифма: )л и =1и [в[+! шов, (10) которое характебизуется тем, что его мнимая составляющая содержится в лромежутке (-л, л]: -л (блв)~л. Например, имеем 1п 1 = 0, Ьп ! = 2)гл1; !п( — 1) =лг', Ьп ( — 1) (2уг-~.1)л1, л 4)гЧ- 1 1л 1= — б Ьп 1= — л! и т. д. 2 2 При переменном в фюрмула (10) выражает главыую ветвь многозначной логарифмической функции 1.пи. Другие ветви получаются при различных целых значениях !г по формуле Ьп в 1п в+2!гль Заменив в на 1+в, рассмотрим функцию г=[л(1+в) (вв — 1). Тогда и с так что в= и=.г л.
и х ет=емО+в)=1+в=1+ .~ —, и гл!' Отсюда следует, что для достаточно малых (по абсолюпюй величиве) значений и функция г= 1п (1+в) разлагается в ряд по степеням в: г =- и 4 с,и з+ сэва+... 1 гиви+... Проиэводыая от этой функции по и представится рядом: [1п (1 Ч и)]' 1+2сзв+Зсзв'+... +леев" в то же время, ввиду (11), она выразится и так: 1 [)п(!!в)], 1 и,Ч е 4( Пл- ~вл — 11 1+в Легко видеть, что функция (10) непрерывна на всей плоскости комплексной переменной в, за исключением начальной точки и отрицательной части вещественной оси. Разрыв при в=О неустраним, ибо при в-О, очевидно, ЫиИначе обстоит дело с отрицательными вешестаеывыми значениями и„=и, О.
Разрыв здесь создается, в некотором смысле, искусственно из-за нашего условия брать агй и в промежутке(-л,л].Кослан и-~-е! ве при е О, та агйв л=агйв„, если же при атоме О, то аги в--л. Если бы от главной ветви: 1пв во второй четверти мы перешли к другой ветви: 1п и+2л! — в третьей, то непрерывность была бы восстаыовлена. Такам образом, желая избегнуть многозначности и расчленяя ьшогозначиую функцию на однозначные ветви, мы тем самым для каждой отдельной ветви создаем разрывы. Наоборот, одна ветвь в другую переходит непрерывным образом. В этой связности различных ветвей многозначной фувкции и заключается замечательная особенность комплексной плоскости, не имеющая аналога в многозначных вещественных функциях, определенных на веществеыной оси. По общей теореме о производной обратной функции, имеем (исключая точки разрыва) 1 1 1 (1п в)'= —, - — = — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
