Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Уозукте) + Ч- Уае+ Уиуте е Утзуте+ Уезуто, (21*) Самый состав этих формул, ввиду отмеченного выше, обеспечивает положительность чисел и„. Кроме того, сопоставляя с (21) и учитывая (22), видим, что и (при всех л) ~а„( ии„. (23) Если бы удалось выбрать положительные козффициенты уи так, чтобы не только выполнялись условия (22), но и чтобы соответственно построенный ряд (19*) имел отличный от нуля радиус сходимостн, то, ввиду (23), зто же было бы справедливо и для ряда (19) — и теорема была бы доказана. Займемся же выбором чисел уи. Существуют такие положительные числа т и р, что двойной ряд ~сто~ ° г+ ~сяа~ ° т'е (стт! ° Рде )со )Оке .. будет сходящимся, так что его общий член ~сх~ т'оа стремится к О и, следовательно, ограничен: ~~си! ° т'да~ М, откУДа ~си~ =,„.
М Положим уд,— — —, и, в согласии со сказанным, рассмотрим соотношение: М М 2 М М 2 М м у= х+ —,и+ — хуч еу ч ..= М у тя тр яа ( 'е~)~ у) р или, наконец, р' Мр' х 3х- — — У-,— Е+М р+М вЂ” х Здесь оказывается возможным ф а к т и ч е с к и найти функцию у=у(х), удовлетворяющую уравнению — именно ту ее ветвь, которая обращается в О при к=О. Рептая квадратное уравнение, мы получим (считая ~х~ г): * Зиак мииус перед корнем взят как раз дяя тото, чтобы при х=о иметь и У=О. 502 гл.
хп. «»ьнкционлльныа поспадовлтвльносги и вялы 1451 Если, для упрощения записи, ввести обозначение (24) то выражение для у можно написать в виде: откуда уже ясно, если воспользоваться бнномнальным рядом, что оно для ~х~ г» г разлагается по степеням х. Так как упомянутое разложение должно быть тождественно с (19«), то этим и завершается доказательство сходимостн ряда (19*), а значит, и ряда (19), по крайней мере для )х~ мгы Отметим, что теорема устанавливает лишь возможность разложения у по степеням х (или, в общем случае, по степеням х — хр) в б л из и х=О (х=хв). Определение точного промежутка сходнмости этого разложения требует особого исследования.
Подобным же образом можно трактовать и общий случай, когда система функций определяется из системы уравнений. Замечательный метод рассуждения, примененный выше, принадлежит К о ш и. Сущность его заключается в замене данных степенных рядов, с одной или несколькими переменными, — более удобными для исследования «мажорантными» рядами, все коэффициенты которых положительны и, соответственно, превосходят абсолютные величины коэффициентов данных рядов. В связи с этим и сам метод получил название метода маэкорантнгвх рядов. Им часто пользуются в теории дифференциальных уравнений. 451. Обращение отененного ряда. Как частный случай решенной задачи,рассмотрнмтенерьвопрособ о б рашен и и степенного ряда.
Пусть функция у=~(х) в некоторой окрестности точки х=х представляется рядом, расположенным по степеням х — х,. Обозначая свободный член (выражаюший значение у при х = х,) через у„напишем это разложение в виде У вЂ” У«=а,(х-х,).~-аэ(х-х,) 4... »а„(х-х»)" » При а»~О, в окрестности у=у, х определяется отсюда как функция от у, разлагающаяся, в свою очередь, в ряд пп степеням у-у . Таким образом, если у является а н а л и т и ч е с к о й функцией от х в точке хв, то в соответствующей точке у» (при укаэанном условии) и обратная функция будет аналитической.
Все это непосредственно вытекает из доказанной теоремы. Положив для простоты х =у =О, напишем соотношение, связывающее 45Ц 1 а дополниттльные снедег!ия О степенных Рядах 5О3 у с х, по примеру (18), в вндс х=Ьу 1-с х'+сзхз+ сзхзч...* Тогда козффнцненты искомого разложения Х=Ь,У ЬЬ,у'+Ьэузч-... последовательно определятся нз уравнений: Ь, = Ь, Ьз = сзЬ! 2 Ьэ = 2сзьть, 4 СД, Ьз = ся(2ьтьз+ Ья) 4- Зсзьгьз+ с,ьз, Ьз=2са(ЬгЬ|+Ь2Ьз)+ Зсз(Ь2Ь24-Ьгьяя)+4С,ЬзЬ хе Ц Например, зная разложение синуса 1 1 у=з(ох= х — — хз Р— х"— 6 120 можно найти разложение х= агсэзл у= Уз- Ь,У', Ь,узт (мы выписываем лишь вечетные степени у, пбо, ввиду нечетностн функции у =э)п х наперед ясно, что и обратная функция будет нечетной).
Уравнения, определяю!иле коэффициенты Ь, в этом случае имеют внд: 1 1 Ь,=1, Ь,=- Ь',= —, 6 б Другой пример: пусть 1, 1, 3 ь =.— ь,ь,— — ь,=- —, 2 120 40' хе хз у=ех — 1=ХŠ— -1 — + 2! 3! отсюда х=1п О+У)=Ь у+Ь! 4 Ь У .,-.. Коэффициенты Ь определяются последовательно: 2 ! 1 з Ь,=-!, Ь,= — — Ь',= — —, Ь,= -ЬЬ.,— — Ь,=— 2 2 " 6 3 1 2 1 з 1 4 1 Ь, = — — (2Ь,Ь, + Ьз) — — Ьзбз — — Ь,' = — —, 2 2 " 24 4' з з 1 з 1 з Ь, = — (Ь,Ь, Е Ь,Ь2) — — (Ь',Ь + Ь,Ь~ — — Ь',Ьз — — Ь', = —, 2 6 120 5 так что 1 1 1, 1 1и(1+у) =у- — уз+ — у'--у'+ — у'- ".
2 3 4 5 Область изменения у, в которой гарантируются существование обратной функции и действительность полученного для нее разложения, может быль установлена из соображений и' 450, ио оказывается обычно очень заниженной. сслн, з Нужно помнить, что здесь — по сравнению с предыдущим и' — х н у обменялясь ролями, 504 гл. хп. еь нкционяльныв послнловятвльности и вялы 1451 сказкам, в первом нз приведенных примеров переписать уравнение, связывающее х и у в форме (18): хг х' х=уе — — — +... б 120 и ограничиться х и у, удовлетворяющими неравенствам ]х] †, ]у] «1, т. е.
л 2 взять д —, г=1, то получим М=1 и — по формуле(24)— 2 л 2 г 1 Л вЂ” + 2 в то время как истинная область применимости полученного результата есть промелгуток 1-1, 1]! 3 а м е ч а н и е. Полезно дать себе отчет в значении условия а, м О, при котором только и справедливо сформулированное выше утверждение. Пусть аз=О, но агмО, скажем, а, 0; итак, вблизи х=О (лля простоты мы полагаем ха =уе = 0) имеем У =авХ'~-алка 4 а,Х'4 так что у О. Обозначая через у' арифметическое значение корня, видим, что )Гу«'уга,хг+ с~ха+акал+...
= ~х]гаа]] 1-ь — *х+ — 'х' ь..., аг аг причем поставленный двойной знак совпадает со знаком х. В силу теоремы и' 50, последний радикал вблизи х=О сам представляется степенным рядом с свободным членом 1. Таким образом, окончательно (если двойной знак перенести налево): х уу«а;х+азха-ь..., где уже а, «)г~ О. Используя теорему настоящего и' (роль у играет величина х]/у!), мы получим два различных разложения для х, в зависимости от выбранного знака: 1 з 1 хг=Ь уг+ЬгуеЬ у'ьЬгуа+ 0 ~Ьг« ~0) аг 1 з хг — ЬгУаеЬгУ вЂ” ЬгУз+Ь Уг 0 Обращаем внимание читателя как на двузначно сть обратной функции, так и на то, что каждая из ее ветвей разлагается уже не по целым, а по др о бныь1 степеням переменной у.
452] 1 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЪ|Е СВЕДЕНИЯ О СТЕПЕННЫХ РЯДАХ 505 452. Ряд Лагранжа. Применим теорему пч 450 к частному уравнению вида у = яЧ-ху(у), (25) ду ду [1 х'д (у)] — 50(у). П вЂ” х сг(у)] — -'1, дх да откуда, очевидно, дУ дУ вЂ” (т(у) '— дх дя' (26) а также и вообще, при я ДУ), дл дя — 60(У) †. д» д' (26а) С другой стороны, какова бы ни была функция У(У), для которой существует производная по у, имеем: (27) В этом легко убедиться непосредственно дифференцированием, с ссылкой на тождества (26) и (26а). Всеми этими замечаниями мы воспользуемся для доказательства важной в дальнейшем формулы: дея дч — 1 дя 44 дх" да" '1™ да1 (28) При я = 1 она приводится к (26а). Допустим теперь, что она верна для некоторого значения л~1, и установим справедливость ее длл производной (Я61)-го порядка.
Дифференцируя (28) по х к пользуясь правом переставлять дифференцирования [190], получаем д" т|и д" ' д ди Но, в силу (27) и (26а) имеем последовательно д ~ „~, д.~ а ~ „® д.~ д ~ „ д.~ * Это утверждение предполагает, что теорема и" 450 распространена на случай, когда в уравнении фигурируют т р и переменные, и одна из иих определяется как функция от остальных д в у х. *4 здесь йл(У) означает степе н ы [р(У)]ч.
где функция(4(У) предполагается аналитической в точке у а. Тогда, как мы знаем, для достаточно малых значений х, отсюда у определяется, как функция от х, аналитическая в точке х = О н обращающаяся в этой точке в а. Пусть, далее, я у(у) будет какая-либо функция от у, аналитическая при у= а. Если в',место у подставить сюда упомянутую функцию от х, то и окажется функцией от х, которая также является аналитической при х=О. Поставим себе задачей найти разложение и по степеням х, точнее — найти удобные выражения для коэффициентов этого разложения. Заметим предварительно, что — при переменном а — из уравнении (25), у определяется как функция д в у х переменных х и а, аналитическая в точке (О, а)4.
Тогда и переменная я будет функцией от тек же двух переменных. Дифференцируя (25) по х и по а, получим: 586 гл. хп. иункционлльнып посладовлтнльности и гяды [452 Подставляя это в предыдущее равенство, получим: Он+за Ол дм — = — ~елчл(у).— ]. Таким образом, формула (28) индуктивно оправдана. Обратимся, наконец, к интересующему нас разложению функции и по степеням ж При постоянном а оно необходимо имеет вид разложения Т е й л о р а [438, 9'). а'=но+я''[ ~ т "~ ) т + '~ ~ + где указатель О означает, что функция и ее производные взяты при х = О. Но тогда у обращается в а, так что ир = Г(а), н затем, по формуле (28), ( ),= лла~,(л-г — ) = — [рл(а) у'(а)[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
