Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Отсюда [и из (25*)] заключаем, что и в новой форме ряд Э иь лера — Маклорена обвертывает сумму л;у(х), стоящую справа. ь 3 а м е ч а н и е. Сденаем, в заключение, пояснение относительно возможности опрелелить саму постоянную С, фигурирующ ло в написанном вьппе разложении. Выбрав некое Ььа, для которого и сумма и интеграл вычислшотся без труда, можно для числа С получить о нерты ваю шин его ряд: ь ь 1 1 В, В. с= 2 у'(х)- — ] у'(х) й 4 — (ь) - †' Ы (ь)-ь †' ььу- (ь) - ..
Ь) 2 2! 4! а который во многих случаях и позволяет найти приблнженное значение С. 469, Формула и ряд Стярливга. В качестве примера использования полученных в предыдущем и' разложений применим их к вычислению л-т 1п (и!) =! л и Ч-,~~ ]п ь( Взяв а=1, Ь=1 и (заменнв и иа л-1) Ь=и, мы положим (иь — 1)! у(х)= !л т, так что у(м)(г) =( — 1)иь х/л и условия (а) и (б) выполнены. Мы приходим, таким образом, к асимитотическииу разлижеььим для 1п(л!) *: 1! в,(в)в„ 1л(л!) ФС 1- ~и+ — ~ 1п я-л+ — — — — — 4(-1)" 2~ 1 2 и 3 4 ль (2/с-1)2й им (26) Это — так называемый рлд Сш ар л и и г а; он явно расходится, ибо абсолютная л,и (2й - 2)! величина его общего члена [449], равная — '-, стремится к 2ьл (2.
)М ь ь К сумме логарифмов прибавляется отдельно написанный !л л. Число 1, получающееся в виде слагаемого при интегрировании, включено в С. 1 а ОьвеитывАющие и Асимптотические Ряды 551 Из асимптотического разложения 1п(и!), как указывалось в 464, 3', можно получить разложение н для самого факториала. Именно, подставляя вместо коэффициентов Ва их численные значеюи, получим: - — ~л1 "~ 1 1 139 571 л)ю )62лл — 1-Р— + — — -— '(е) 1 12л 288лт 51840лз 2488320л' 1 если оборвать ряд (26), удовольствовавшись выписанными членами, но прибавив дополнительный член, то получим изормулу Се| яр ли и г а: 1) В| 1 Вз 1 1п(и!)=СЧ-~л-Ь вЂ” 1)ля-и+ — — — —.— Ь ...
2) 1.2 л 34лз Вь 1 Ва+| 1 | ( 1)й — | . +9.( 1)а — (27) (2(г — 1)276 лы — | (2|6+И(276+2) ла+ъ которая, как увидим, уже вполне пригодна для приближенных вычислений. Положив й == 1, получим простой и важный частный случай формулы С т и рлинга: 1) 6 1п(л!)=Се(ль-! 1п л — и+ —; 2! 12л потенцируя, ее обычно пишут в виде: л!-ес) л Н .е"' е Эта формула в п' 406 уже была выведена другим вутем; там же мы нашли, что ес = а = )62лл, так что неизвестная нам до сих пор постоянная С оказывается равной 1 — 1п 2л. 2 Вычислим для примера 1л (1 00!) с десятью знаками после запятой — по формуле (27), взяв 8 = 2, Сложив всего пять чисел 1 — 1л 2л 0,91893 85332 04 2 1-) = 1) л-|- — ~ 1пл=100,5 1и 100 462,819603691803 2~ -и= — 100= — 100 В, 0,00083 33333 33 2л 1200 В, — — — 0,00000 00027 77, 12лз 36.
1О' 1 получим для 1п(100!) значение 363,73937 55556, точное до — (с учетом до- 2 10'6 полннтельного члена и поправок на округление). Точность приближения можно еще в е с ь м а значительно увеличить, взяв больше членов и выписав в каждом из них больше верных знаков. Эта точность будет возрастать — дла данного случая — примерно, до 300-го члена (покуда члены по абсолютной величине про- должают убывать). 3 а м е ч а н и е. Читатель на ряде примеров видел, что отрезки заведомо расходшцихся рядов аной раз позволяют находить значения нужных величин н даже с большой точностью.
Подобные ряды и в старину, и в наше время неко- торые авторы называли гполусходящиыисяс Мы, однако, предпочли отказаться от применения этого термина, поскольку затрудняемся дать ему достаточно общее и в то же время точное определение. ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $ 1. Несобственные интегралы с бескоиечнымн пределами 470, Определение интегралов с беекоиечнымн пределами. В главе 1Х ь было изучено понятие определенного интеграла ~~Ях) пх для случая а конечного промежутка(а, Ъ) и ограниченной фунхцииг(х).
Настоящая глава посвящена обобщению этого понятия в различных направлениях. Начнем с рассмотрения интеграла, распространенного на б е с к о н е ч н ы й промежуток. Пусть функция Лх) определена в промежутке [а, о ), т. е. для х-а, и ннтегрируема в любой конечной его части (а, А], так что интеграл ~ 7(х) бх имеет смысл прн любом А =-а. а Предел этого интеграла (конечный или бесконечный) при А + наэыва>от интегралом функиии Дх) от а до и и обозначают символом А ) у(х) г(х = 1пп ) у'(х) бх.
В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл (1) ох одится, а функцию Лх) называют интегрируемой в бесконечном промежутке (а, + -1. Если же предел (1) бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится. В отличие от изученного ранее интеграла в собственном смысле или с о б ст вен но г о интеграла, только что определенный интеграл (1) называется несо 6 от вен ним ". а Мы уне сталкивались с понятием несобственного интеграла в и' 373. 4701 553 1 е интегРАлы с Бесконечными пРеделАми 1 Рассмотрим п р и м е р ы. 1) Функция интегрируема в любом конеч- 1->х' ном промежутке [О, А) (А»О), прячем имеем дх !А ----.=ага!ах~ =агс1ЕА.
14х' ~е а Так как для этого интеграла при А -> существует конечный предел —, то нн- 2' теграл от О до +- сходится и имеет значение 2) Изучим вопрос, при каких значениях показателя Л О существует несобственный интеграл + " лх — (а 0). ха а (2) Пусть Ла!, тогда а!х 1 ~А 1 —.-- — х' 1 = — (А' " — а' т).
а а1х ~А — =!пх~ =1пА-1па х а а и прн А в пределе получается 1 такэпг образом, интеграл (2) при л 1 сходится (и имеет значение — и' 1), Л-1 а прн Л~! расходится. Аналогично (1), определяется и ингпеграл функции Ях) от до а; а а ~~Дх) дх= 11ш ~лх) а1х (А' а), равно как и интеграл функции Лх) от — до 4 ~ Лх) дх = 11ш ~Ях) дх. ! Это выражение при А - имеет пределом нли конечное число — а' — 1 в завнси- Л-1 мости от того, будет ли Л 1 илн Л-1. Если Л=1, имеем 1471 ГЛ.
Хп!. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ При этом сохраняется и терминология, введенная по поводу инте- грала (1). В последнем случае, взяв любое а, можно положить А е А ) Ях) ах = ) 7(х) а!х+ ) Лх) Ах, А' А' а и существование предела при А'- — -, А- е- для интеграла слева, очевидно, равносильно существованию порознь пределов (1) и (3) для интегралов справа*. Таким образом, интеграл от — - до +- можно определить и равенством + 4 + ~ях)!ух= ~ ях)о!хч- ~ях) л!х в предположении существования порознь интегралов справа. Опреде- ление это не зависит на деле от выбора точки а. Примеры: о о г Фх, г ат л 3) ~ — = Иш ~ — = !йл (-агстКА') 1 ! х" А' — 1+хт А' 2 А +- е 4) ~ -- = ~ -1- ~=л.
471. Првмененве основной формулы интегрального нсчнслевнн. В приведенных выше примерах интеграл по конечному промежутку вычислялся с помощью первообразной функции, а затем осуществлялся переход к пределу. Можно объединить оба момента в одной формуле, Пусть, например, функция Ях) определена в промежутке 1а, ч--) и интегрируема в каждой конечной его части 1а, А). Если для Г(х) при этом существует первообразная функция Х(х) во всем промежутке (а, ч- ), то по основной формуле интегрального исчисления 1308) А ) Дх) !Тх = Г(А) — Г(а) = Х(х) ) Отсюда ясно, что несобственный интеграл (1) существует в том и только в том случае, если существует конечный предел !Нп Г(А) = Г( ), А * Исключается лишь случай, когда оба этих интеграла равны бесконечности, ло разных знаков.
4721 1 !. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ и тогда ) г(х) г(х = Г( ) - Г(а) = Г(х)! а Аналогично а ~ г(х) о(х= Г(х) ) Г(х) г(х= Г(х)! если под Г(- -) разуметь предел!Нп Г(А'). Самая возможность вы- А'--- числения двойной подстановки, связанная с сугцествованнем и конечностью фигурирующего в ней предела, свидетельствует уже о сходимости интеграла. Обратимся к дальнейшим примерам. 472. Промеры. 1) ~ е — а" зш Ьх ах (а 0). о тзк кзк пврвообрззяпя фугипяя а зпг Ьх+ Ь соз Ьх Г(х) =— .е — а а",'-Ьз Ь тзк что Г(0)- — — я Г( )=О, то азч-Ьз Ь е а* з1п Ьх г(к= —.
а'+ Ьз о Аяплогпчво ЬйпЬх — асозЬх 1" а е ах сов Ьх «х= .е-ах аз-~-Ьз ~~ аг+Ь*' о ~-=[ Ых ~ 1 х'+х)Г2Ч-1 2) — - =) — Рп 1+ха 14)Г2 х' — х)Г2+1 1 1 т - х + — — згс(я (х)Г2 Р!)+ — агсзя (х)(2 — 1)] 2 )(2 2)Г2 ,о 2~2 г1 1 1 3) ) — ип — г(к=сов — =1. х х х~2 и [472 556 ГЛ. Хп!.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4) ~ жпх!(х. Первообразной Функцией здесь будет — созх, но двойная поде становка — соз х [ не имеет смысла, так как созх при х не стремитсн ни ~е к какому пределу: интеграл не существует. х1пх 5) (1,хз)з . е С помощью интегрирования по частям и разложения на простые дроби находим первообразвую функцию гх1пх 1 !пх 1 1 1 1 г"(х) [ — !(х — — — 4 — 1п х- — 1п(1-ьхз)-ь — — —, 3 (1-Ьхз)з 4 (1-Ьхз)* 4 8 8 14х' 1 При х О имеем 1йп г(х)= —, этот предел и принимаем за значение функции при 8 х О. с другой стороны, г(-ь )=О. таким образом, значение интеграла есть 1 8 б) Для тела„полученного вращением гиперболы ху =- 1 вокруг оси х, вычислить объем и боковую поверкносп части, определяемой неравенством х 1.
Конечная часть тела, отвечающая изменению х от 1 до А (А 1), имеет объем и боковую поверхность А А г с!х 1'А=л ) —, оА 2л ~ — ~( 1+ — г(х. хз "х х' Естественно за объем (г и боковую поверхность б всего (простирающегося в беско- нечность) тела принять пределы этик величин, т. е. положить б=2л~ — ~[ 1-1- — !(г. х х' 1 ~' сЫ 1 Однако, в то время, как первый интеграл сходится [470, 2)), и для объема получается конечное значение л, второй интеграл расходится, что указывает на бесконечное значение боковой поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
