Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Это может оказаться полезным разве лишь при очень быстром убыванны подинтегральной функпии с возрастанием х, так что — даже при небольшом А— написанное выше приближенное равенство имеет уже достаточвую точность. 1) Так, например, будет обстоять дело в случае интеграла 1= ~ е- ' Ых. Из неравенства хьт2Ах-Аь следует, что о Е-М ЕА'.Е-ЗАк 1 е-ьь дизель ~ е-злх дх= — е-А'. 2А А А При А=3: е- ьь дх м 0,00002, з з г(то же касается интеграла ~е — к сГх, то его вычислим по формуле Сампопс с о н а, при н - ЗО, на пять знаков; это дает нам 0,88621. Нетрудно получить оценку: !(е-к')~у~ю512, )Я~ 2 10 '. Общая погрешность содержится межну -0,00004 и 0,00006. Таким образом, 0,88617 1 .0,88627, 1ье0,8862аожлл. ГЛ.
ХН1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ННТЯГРАЛЫ ~(ж Точное значение 1, как мы знаем (492, 2'), есть — = 0,886226... 2 Чаще бьиает выгодно либо преобразовать интеграл ~ к конечным пределам, А а либо разбить его на два: ~ -Р ~, и второй преобразовать к коиечВЫм пределам. о А 2) Возьмем снова тот же интеграл 1= ~ е-и йх и представим его в виде суммы: о 1 ~=~+~='+' о о 1, вычислим по формуле Симпсона, 2л=10, иа пять знаков, (Л( 0,00001; 1 11-074683коооип. 1, подстановкой х=- преобразуем к виду: г 1 г! 1,= ~ — е Рй.
о Обычным путем получим 11 ='0,13945„так что 1 — ь0,88678. Оленкой погрещности заинматься ие будем. Если интеграл с бесконечным пределом имеет особую точку и на конечном расстоянии, то надлежит разбить интеграл иа два, содержащик каждый лищь одну особенность. 3) Рассмотрим (при 0 "а 1) интеграл 1 гхс 1 гхс 1= 11 — (т = ~ — й*+ ~ — - й -1,+11. 19х 1+х 1 1+х о о 1 Интеграл 1, находится путем выделения особенности: 1 1 г хо+1 1- "(ха-1-хо+хо+1-хо+ +хо+ )(х- 1" — йх=-|и — 1 1 --+ =п м.
о о 1 1 1 1 1 1п — — — + — — — + —, а 1„вычислЯетса по фоРмУле Симпсона. а а+1 а42 а+3 а44 Пусть, например, а= — =0 7071068...; тогда 1п =1,14052... Для 11 (2я-10 ~/й 2 на пять знаков) получаем значение 0,09518. Итак, 1, ='=1,04534. 1 Интеграл 1, подстановкой х = — приводим к виду г го- 1,- ~ — Нг, 1 -~-1 о 50Ц 5 5.ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ где 6=1 — П=0,2928931... Аналогично прежнему получим: 15 'Б2,90289. Окончательно„1='3,94823. Впоследствви (522, 1 ) мы узнаем, что истинное значение 7 есть — - 3,948246... 5!П ЛП иногда в случае чмедпенно сходящегося ннтегралаз ~ 7(х) 4(х все же удается а вьщелить нз него (например, путем повторного интегрирования по частям) легко вычисляемые члены с тем, чтобы остающийся интеграл был уже мал.
4) Пусть предложен интеграл е А Предстанем его в виде суммы интегралов1 ~ -Ь ~, не стремясь, однако, к тому, О А чтобы второй из ник был мал. Интегрируя затем по частям, будем иметь: зщ Х ( СО5Х 5Ш Х СО5Х ЯПХ вЂ” 4(х - ' — — — — — + 2 — — + 6 — —— х ( х ха ха ха А сокх 5!п х!! 1'5!и х -24 — — 120 — ~ ~ +720 ) — 42Х. ха ха Взяв, например, л = 2л, получим: 5ЩХ 1 2 24 Гз!ПХ вЂ” Нх = — — — + — + 720 ~ — 425. х 2л (2л)4 (2л)5 ха за 2. Сумма проинтегрированнык членов равна 0,15354...
Далее 251П Х 24(х 120 0 720 ~ — 4(х 720 ~ — 0,002. х' ха (2 )4 24 2 2а Вычнсляя янтеграл ~ по формула Симпсона (2л=40 на четыре знака), а найдем: 1,4182. Оценка погреппюсти: ( — 1)54хам (- 1)мхел е (2т+1)! е 2лй(2т+ 5) 1 ~У15(х)~ — с(42л 54, (Я(«00012. 5 650 гл. хпг, нисовствннныи интпггялы Отсюда, учитывая общую погрешность, 1,5702 ! 1,5752, 1=1,57ееш. Как мы знаем, 492, 3', на деле у= — -1,5707... 2 502. Ипгользоааине асвмитотвческик разложений.
При приближенном вычислении интегралов вида ~Дг) гг Х часто оказывается выгодным использовать их асшептотические разложения. Поясним это на примерах. 1'. 1(ллмгральный легари!йм. Если 0 а 1, интегральный логарифм !!а определяется так; а г Фи йа= ] —; !ли о (12) в случае же а 1 этот интеграл расходится, и его понимают в смысле главного значения: а 1-е ч 1]а-У. р. ~ — 1вп ~ ~+ ~ )— (12е) (см. 484] ге г 1! (е-х) = — — ~(г, х Полагая г-х+е, мы придем к интегралу (13) ге — гА~ х) е-х х+е е (14) 1! (е Так как 1 1 е ет еа-г е" — — --- —.!. — ....!.( 1)л-г ! ( 1)л хо е х х' х' хл(х+ е) то отсюда [489, 4)] 2! 3! (" 1)' ! й (е-х) — е-х . — .! — — — ~- ... + ( — 1)" ~ — + гл(х) ], П 5) (х хя х' хг хп где дополнительный член выражается интегралом Г Вл .
е- е 4е г„(х) (- 1)" ] х"(х+е) е (15а) Пусть сначала а 1. Положим а=е х при х~.О и сделаем в интеграле (12) подстановку и-е-й 529! 1 5. эйлнновы интн1'1 Алы 751 Рассматриваемый интеграл, как мы знаем !483, 3) (а)), для положительных значений а и Ь (хотя бы и меньших единицы) сходится а !г, следовательно, действительно может быть положен в основу определения функции В. Установим некоторые ее свойства. 1'. Прежде всего, почти непосредственно (подстановкой х= 1 — 1) получаем: В(а, Ь) =В(Ь, а), так что функция В является симметричной относительно а и Ь. 2". С помощью интегрирования по частям из формулы (1), при Ь 1, находим ** а хаН )ь г|г В(а Ь) ! (1 х)ь — г аг ! ь ~ хг(1 х)ь-г гтх == = — ) х' (1 — х)ь г7х — — -! ха (! — х)ь г1х =- Ь-1 Р, Ь-1 Р а 3 и = — В(а, Ь вЂ” 1) — — В(а, Ь), откуда (2) В(а, Ь)= — — -В(а, Ь вЂ” 1).
Эту формулу можно прнмснять с целью уменьшения Ь„пока Ь остается больше 1; таким образом всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал 1. Впрочем, того же можно добиться и в отношении первого аргумента, так как — ввиду симметричности  — имеет место и другая формула приведения (а. 1) (2') В(а, Ь) = — „- - - В(а — 1, Ь). Если Ь равно натуральному числу л, то, последовательно применяя формулу (2), найдем: " Наоборот, если значение хоть одного из параметров а, Ь будет жс, то интеграл расходится. *" Мы используем ниже тождество х" — х' -' — х"-Ц1. Н !502 652 ГЛ. ХН!. НЕООБОТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Сумма первых двух интегралов есть не зависящая от х постоянная С».
Остается лишь последний интеграл разложить по степеням х, чтобы получить требуемый результат: хх хх х» хП !! (е ") Сч!л ]х] — х — — — — — — — ... — — ... (17) 2! 2 3! 3 4! 4 п! и Однако этим разложением невыгодно пользоваться при больших значениях ]х], и расходящееся разложение (16) имеет перед ням в указанном случае существенное преимущество. Так, С т и л т ь е с, взяв 23 члена ряда (16), нашел !! 10'» = 455055614,586; в ряде же (17) понадобилась бы больше 10ы членов, чтобы осуществить ту же точность! 2'.
»С!ппегральпый кпсппус и сппус! Для упрощения выкладок введем в рассмотрение интеграл от к о м п л е к с н о й функции по вещественно й переменной: геп г!Спп Р+01=- — ~ — »СС=! ] —. С х х Последовательным ни те г рир о в ани ем по час т ям получается формула и!х 51х е!к е!х еСХ Р+01=- — и- — 42! — 63! — — +... +(п-1)! — Ч-гп(х), Сх (!х)' (Сх)» (1х)' (!х) и где г еп г (х)-( 1)п — 1!п.п!. ) Се+1 х Если выведенную формулу разделить почленно на — е'х и отдельно приравнять вещественные и мнимые члены в обеих частях равенства, то получим более удобные для вычислений формулы: СО5 (! — Х) »й = — Р соз х — Я 51п х = С х 1!1 3! (2!и — 1)! ! = — ' — — — +... -Г(- 1)п»-1 4 г,~,(х) (18) х]х х' х' '] ' Как увидим ниже, она на деле тождественна с эйлеровой постоянной ]538, 3)].
ГСОБ! Р=с! х= — С! — !й, ! х Г 5!Л ! Я=5! Х= — ~ —.!и. х 5021 З 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 653 аал (г — х) Г)а=-Ратх-Д соах —— 1 ) 21 (2т-2)1 ) — 1 — — -~-....~-( — 1)ха ' +Г~-~(х)а, (19) — ) где, соответственно, Г51л (à — х) гав а(~) (-1)аа(2ал+1)! ~ ву азха+ а х Г5)л (Г-х) Гаа-а(х)=(-1) (2в01 ~ 5(а. х Легко установить (например, с помощью формулы Б о н н е, 306, (3)), что х ~~ми(г-х) ( 2 х Переходя к пределу при Х, получим, что дополнительные члены в формулах (18) и (19) по абсолютной веничине не превосходят каждый у д в о е н н о г о члена (соответствующего разложения), следующего за выписанными членами. Отсюда явствует, что, продолжив разножения (18) и (19) до бесконечности, мы првдем к асимптотическим представлениям интегралов в левых частях.
В частности, например, из (19), полагая там х4 йл да-1, 2, 3, ...), найдем ~ ялг Г 1 2! 4! 6! 05 51 (Вл) =- — ~ — - айххх( — 1)" +' ' — - - — +— (йл дал)а (ьл)а дал)а ш Прн /Г 2 отсюда легко найти приближенные значения раа ра" 0,1040, 05= 0 0786 05=0 0631 05= 0 0528 Например, для вычисления Ра достаточно трех членов в скобках: 0,07958 — 0,00101 +0,00008 0,07865; так как погрешность абсолютно меньше 2 0 000015 =000003, то )05! содержится между 0,07862 н 0,07868, и окончательно 85 — 0,0786...
а Любопытно отметить, что члены в (...) Оказьшаются как раз обратнмми величинами по отношению к членам известных степенных рядов для синуса и косинуса (404, (12) и (1 3)). ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В 1. Злемеитариаи теория 503. Постановка задачи. Рассмотрим функцию Лх,у) двух переменных, определенную для всех значений х в некотором промежутке (а, Ь) и всех значений у в множестве з) = (у). Пусть, при каждом постоянном значении у из 9, 1(х,у) будет интегрируема в промежутке [а,б), в собственном нлн в несобственном смысле. Тогда интеграл 1(у) = ~ Ях, у) пх й будет, очевидно, функцией от вспомогательной переменной нлн параметра у. Говоря в 436 о последовательности функций (1'(х)), мы рассматривали интегралы 1в= ) Хп(х) «х, а которые представляют собой частный случай интегралов (1): в роли параметра здесь фигурирует натуральный указатель л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
