Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Окончательно, для а 1 [ср. 497, 7)[1 1(г) [ 1п (1 — 2г соек+ гг) От ([г[ 1). о а+ [1аз:! 1(а) =я 1и 2 Весьма замечательно, что днфферевцврнзвавие по правилу Л е й б н и ц а позволило найти конечное выражение предложенного внтеграла. Этот метод нередко приводит к цели. 8) Еще проще вычисляется уже известный нам [307, 4); 314, 14); 440, 11)) ин- теграл 674 ГЛ. Х1Ч.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА По правилу Лейбница р(г) — 2 соз х-г 2г д». 1 — 2г соз х-Г г* о Но 1(0)=0, значит, С=О. Итак, при )г) 1 интеграл 1(г)=0. 1 г агсгй » 9) Вычислить интеграл 1= ~ дх. х )г1 — х' о Вводя иарамвтр, рассмотрим более общий интеграл Ду)=~" д* (1 о), г агсгй ху х )11-хз о из которого предложенный интеграл получается при у=1.
Условия теоремы 3*, если положить агс1й ху 1 у(х, у)= н я(х) = х )г! -х' выполнены. Дифференцируя по у (под знаком интеграла), нагщем 1'(у) = ах (! + »зуз) )(1 — хз о этот интеграл легко нычисляется, например, с помощью подстановки х= соя О: 2 ОО 1 1ЕО л 1 1'(у) - агс1й 2 =— '+у соз О )Г1-Г)а )г(-Гуг,'о 2 )1!+у* о Отсюда, интегрируя, находим Ду) = '- йз (у+ )1! Ч-у() Ч-С. 2 Так как 1(0)=0, то С=О; приу=1 получаем, наконец, искомый интеграл 1=1(1) = — 1п(1+ )2). 2 10) Доказать, что выражения (а) н хв. ~соз(хсозО)21пзЯОв(О о и (б) и = ~ соз (вО - х з(п О) в(О о х С ПОМОЩЬЮ ПОДСтаНОВКИ 1=1й — ЛЕГКО Уетаианнтгч Чта ПОЛУЧЕННЫИ ИНтЕГРаЛ 2 равен 0; в таком случае 1(г) С- сопз1, 675 1 Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ (при целом со~О) удовлетворяют так называемому дифференциальному уравнению Бесселя: хоии-| хи'-Ь(хо — л')и=О. Здесь роль параметра играет х. Дифференцируя под знаком интеграла дважды (теорема 3), найдем, что сумма и левой части уравнения (при подстановке вместо и указанных выражений) будет равна: (а) хи+' ~ (х сов(х сов О) яп' +'Π— (2ит1) з|п(х сов б) — сов 0 в|пои О) сс(1=.
с |и = — вшси+'О яп(хсовВ) =О, о и (б) — ~ [(х' яп' О-ьл' — х) сов (л — х в!и О) — х яп О в|п (лΠ— х ял О)) с!О = о = -(л+х сов О) яп(лО-хяп О) =О. о 11) Доказать, что уравнению кли 1 с(и — -|- — — — иои =О с)гв г с(г (при целом л) удовлетворяет функция Аи,+Вил (А,  — произвольные постоян- ные), где ис= ~ еигсосв с(0, о и„= ~ е сосз 1и (гв|пв В) с)0. е Очевидно, достаточно проверить, что уравнению удовлетворяют фушсции и„и порознь. Это выполняется, как и выше, с помощью дифференцирования под знаком интеграла, причем к функции и, применяется теорема 3, а к функции и п из=|и г ~ ешсооз с(В+2~ел сосо 1пз|л В Ю о в еше и теорема 3". 12) Найти производвые от полных эллиптических интегралов и Е()с) ~ 3~1 — )сл в|пи р с(ср, е К(/с) = а ')с ) - (сс зш' р по модулю /с (О й 1).
676 1511 ГЛ. Х1Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 3 ИЕ г — = — ~! !с аш" р (!- (го 5!Ло О) 5 йр = ~(рс о = — ! 1 (1-А55!Лов)' !Рр — (1 — ковше(о) ' йр Аналогично сос !с (о — = — ' ~! (1- оо ашо (р) ' с(о — ~! (1- !со 5!по е) ' с(о ! Но 1 г (1 — (со 5|по И) 5 с(р = ~ (1 — ко 5!Ло р)5 ср о 1 — !с'~ так что о(К Е К Ж )г(! — /55) lс Полученные формулы имеют интересные применения. Например, если авеста с о л р я ж е н н ы й м о д у л ь !с'- ~/1 — !со и функции Е'(Рс) = Е(Ус') и К'(Е) = К()с'), с( то легко получить — (ЕК'~-ЕК вЂ” КК)=.О, откуда следует, что ЕК'ч-ЕК-КК'= сус =.
с = вопч!. Для определения величины этой постоянной с установим и р е д е л левой части при /с-О (й'-1): этот предел, очевидно, и будет с. Прежде всего, легко получить, что Ф(о ~ л !Пп К = )вп !Г = ~ Фр = —; 5 о о оз )г) Рсоа!Лор 5 2' о о 1йпЕ' Йп~ 1 1~~ — Кайгррс(9>= ~ СОЗЕ Л(5 1 Г-О Г-гл о о ' Это вьпекает из легко проверяемого тождества: — 1, 5. /с Ы 1, (1-Рсоа!Ло(о) = — (1 — Рс~аш~е) — — (ашесоае(1-(с~о!и р) *).
1 — /се 1-!со Л(о 677 ос. элементАРнАя теория [теорема 2, бйб]. Затем имеем: г К'= «(а л 1 л )1 ь „„„2 )г[--~ 2Ь о г ссхгсл Е ч ~Š— К~ =К-Е= ~ «р —.)сг " ')с) — )сагслагс о так что ! К'(Š— К) ) — lс и 1лп К'(Š— К) О, 4 а-о л Искомый предел оказывается равным —, и мы приходим окончательно к извест- 2' ному соотношению Лежандра: ЕК'-О Е'К вЂ” КК' 2 13) Доказать тождество х с„ х ~«с„с ~ «сл а... ~Т(с) «с= [ (х-г)л '[(с)«с, 1 а а а где Дс) ессь произвольная функция, непрерывная в промежутке [а, Ь) и лаахакЬ.
Р е ш е н и е. Прибегнем к методу математической индукции. При в = 1 тожцество очевидно. Допустим теперь, что оио справедливо при каком-нибудь л~1 и докажем его справедлявость и при замене и на лч-1. Для краткости положим 1 (л(Х)= — ~(Х-С)л 'ДС) «А (л — 1)! а а Продифферешшруем по х выражение х 1 г сл+с(х) — ~ (х — ЕУ'Дс) сй л! с применением теоремы б. Так как вюкний предел здесь постоянен, а на верхнем пределе, т. е. при с=х, подинтегральиая функция обращается в нуль, то вненнтегральные члены формулы (1б) исчезают, и мы получим «ул +с(х) " = ул(х). «х Ввиду того, что (л(а) =О, отсюда х улол(х) = ~~ ул(гл) «Сл. а б78 [511 ГЛ.
ХГЧ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЛШИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Подставляя вместо 1„его выражение в виде повторного интеграла, придем к такому же выражению и для )л+,. Совершенно так же доказывается и более общий результат: х ! Л Х 1 (я'(т„,) й„, ~ (с'(г„,) Ф„,... ~~Дг) г(г= 1 Ь(х)- р(г)[л — '~(г) г)г, (л-1)1 э где/ и и — непрерывные функции в промежутке [а, [г[, причем (с имеет н непрерывную производную. 14) Найти производную по параметру а интеграла где р(х) непрерывна вместе со своей производной Чг'(х) в промежутке [О, а) и 0 аька. Применить формулу (15) непосредственно мы не можем, ибо подинтегральное выражение при х= и, вообще говоря, обращается в бесконечность. Мы прибегнем к обхолному пути, именно, подстановкой х=щ преобразуем интеграл к виду: ,— г д(щ) 1(а) = )и~ ~ — — г)г; е здесь применима уже теорема 3*.
Найдем, дифференцируя интеграл по правилу Лейбница: 1 г р(иг) ггй (аг) 1'(а) = — ~ — йгч- [!и ~ Й 2[/и.~ [/1 — г ~~ [Т-г или, если вернуться к прежней переменной, 1 г Ч(х) 1 г х(г'(х) Г(а) = — 1 г[х+ — 1 Фх. Преобразовав первый из этих интегралов путем интегрирования по частям, можно придать формуле более простой вид: й(0) г е'(х) р(и) = — — + ~ — лх. [)и )ги — х о 15) Пусть у ху 7(х, у)=агс15 —— при 0 .х~!, О~у~к!, х х'ч-уз ((о, у)= —. 2 511] б79 1 !.ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ при у=О неприложимо. То же для функции ( х' )(х,у)=х е у(х,О)=0 при 0«х -1, 0 у«1, 16) Представим вычисление интеграла 1 7= !(х, асс!5 х х)г1-х' о которнй мы нашли в 9) дифференцированием по параметрУ, в другом виде.
ага!И х Заменяя в подинтегральном выражении равным ему интегралом х 1 ага!5 х ! г(у 3 1~ХУ' о перепишем 7 в форме повторного интеграла 1 1 г(х с(у 7= о а Применяя теорему 4в, переставим интегрирования! 1 1 1 с(у = — " = — 1и (1-1- )г2). г(х л ( г(у л ! 7) Вычислить путем интегрирования под знаком интеграла интеграл а г а-1-Ьо!и х !(х К= ~" !п, .—, ( -Ь-О). а-Ьз!их 5!и х о Представим подинтегральную функцию в виде интеграла 1 1 а ! Ьз!Пх ~ а!у !и, --2аЬ ! 5!ох а-Ьжпх г' а' — Ь!угз!и!х а так что К=-2аЬ !Хх с(у .( а' — Ь'у'5!пв х а о 1 Установить непосредственно, что к интегралу ( у(х, у) г(х правило Л е й б н и ц а о ГЛ. Х1Ч. ИНТЕГРАЛЫ.
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА (512 Переставляя интегрирования (по теореме 4), получим: 1 Э ах К=2Ь йу~ э аз — Ьзуз з!пз х о о аэ Ьзуз зшз х 2а)ГР— Ьзуз о то, окончательно йу, Ь К= Ь 1,- .ш-. л' раз (ззуз а о 18) Приведем еше првмеры случаев, когда перестановка двух интегрирований оказывается недопустимой: 1 1 1 1 о о о о о о о о Само собою разумеется, что в этих случаях условия соответствующей теоремы нарушаются: подинтегральная функция терпит раэрьш в точке (О, 0) в. 512.
Гауссово доказатеяьспю основной теоремы алгебрм. Опираясь на теорему 4, Г а у с с дал весьма своеобразное доказательство основной теоремы алгебры, Эта теорема гласит, что всякая целая функция у(х) =хи+агля '+... +а„ (е вещественными им камнлекеними коз(О(йициентами) имеет вещественный или калимекеный корень. Положим х= г(соз О+(ил О); тогда х" г" (созйО-Ь1 з!пйО), Г(х) =Р+Пб Р= г" соз нО+ .. „Д = г" ып нО+... где * В случае (б), при у О, но хи0, подинтегральеую фушшию можно считать непрерывной, если положить ее здесь равной нулю. 1 1 г Гэо 2хз) — 1 (б) ~ау~ ~ — — — ~ е " Ох= — —, ~уз уз~ — е ~йх~~ — — — )е гйу=- — + —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
