Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Сохраняя выбранное значение у, найдем такое Ь' О, что при ,'х-х ~ 6'. Тогда из всех этих неравенств следует, что при тех же значениях х выполняется н неравенство (р(х) — А( .Зе, 1ип у(х) =А. х х, так что и бйб. Предельный переход нод знаком интеграла. Обращаемся теперь к рассмотрению интеграла (1), зависящего от параметра у, ограничиваясь вначале случаем к о н е ч н о г о промежутка (о, Ь1 и функции, интегрируемой в собственном смысле. Предполагая, что область ай изменения параметра имеет точку сгущения уе, поставим вопрос о пределе функпии (1) при у у . Теорема 1. Если функция у(х,у) при постоянном у интегрируема по х в (о, Ь) и при у уе стремится к предельной функции (2) р а в н ом е р н о оупносительно х„то имеет место равенство 1ип 1(у) 11ш 1Ях, у) с(х= ~ ~р(х) дх.
У У У"У. " а а Доказательство*. Интегрируемость предельной функции ц(х) уже известна [504, 3). Задавшись произвольным числом е О, а для определенаостп мы предполагаем, что у, конечно. 42 Теорема доказана. Замечание. Можно показать, что число А, о котором только что шла речь„в то же время будет и двойным пределом функции Ях, у) при совместном предельном переходе х хе, у у, Это обстоятельство сближает доказанную теорему с теоремой и' 148. ГЛ. ХСЧ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 1%6 найдем такое число д О, чтобы имело место (3). Тогда при (у-уа! д будем иметь ( ~Ях, у) сбс — ~ су(х) с(х! = ! [ [Ях, у) — е(х)) Нх ! ~ ь *а ~ /у(х, у) — у(х)! сЬс.«е(Ь вЂ” а), что и доказывает формулу (9).
Формула (9) может быть переписана в виде: !Ип [Ях, у) с(х = [ 1пп Ях, у) с1х. т"и ' " з"и а а При наличии ее говорят, что предельный переход по параметру допустим п о д з и а к о м и и т е г р а л а. Предполагая, что все у. уь, имеем: Следствие. Если фуикцияу(х, у) при постоянном у и е п р е р ы в и а по х в [а, Ь1 и при возрастани~ у стремится к и е п р е р ы в н о й же предельной функции, монотонно возрастал, то справедлива формула (9). Ссылка на обобщенную теорему Ди ни [504, 4']. В предположении, что область 5 сама представляет собой конечный промежуток [с, д), рассмотрим в заключение вопрос о н е п р ерывности функции (1).
Теорема 2. Если функция Ях, у) определесса и непрерывна, как функция опг двух переменных, в прямоугольнике [а, Ь; с, д1, то интеграл (1) будет непрерывной функцией от параметра у в промежутке [с, д). Доказательство. Ввиду равномерной непрерывности функции Ях, у) [174), по произвольному е О найдется такое 6 -О, что из неравенств )х"-х'[. д, [у"-у'[ д следует неравенство фх", у") — 1(х', у') /. в. Положим, в частности, х'=х"=х, у'=уь, у" =у; тогда прн ~у — уь~ «д, каково бы ни было х, будем иметь [Ях, у) -Ях, у )( в. Таким образом, функция Ях, у), при стремлении у к любому частному значению у„стремится к Ях, у ) р а в н о м е р н о 661 5071 $ К ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ относительно х.
В таком случае, по теореме 1, 1пп 1у(х, у) агх = ~ Г(х, уа) г(х у-у. э а а или 11ш 1(у)=1(ув), У У что и доказывает наше утверждение. Так, например, нв вычисляя интегралов х агсгя — дх, ~ 1и (ха-~-уа) пх, у сразу внцим, что они представляют собой непрермвныв функции от параметра у для любых положительных его значений.
507. Дифференцирование под знаком интеграла. При изучении свойств функции (1), которая задана интегралом, содержащим параметр у, важное значенненмеет вопрос о производной этой функции по параметру. В предположении существования частной производной Гу(х,у) Л е й б н и ц дал для вычисления производной Г(у) правило, которое в обозначениях Лагранжа записывается так: Г(у) ~Ях, у) дх, (10) нлн — если воспользоваться более выразительными обозначениями Коши ь ь З ~ Ях, у) агх = ) Гг Г(х, у) т(х. а а Б с л и такая перестановка знаков производной (по у) и интеграла (по х) допустима, то говорят, что функцию (1) можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Самое вычисление производной по указанной формуле н получило название тиранила Лейбницаь.
Следующая теорема устанавливает простые достаточные условия для применимости этого правила. Теорема 3. Пусть функция Ях,у), определенная в прямоугольнике [а, Ь; с, д], будет непрерывна по х в [а, Ь) при любом постоянном у в [с, д1. Предположим, далее, что,во всей области существует ГЛ. Хьч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПА РАМЕ ГРА 1507 частная производнаяуу'(х, у), непрерывная как функция двух переменных а.
Тогда при любом у из (с, д) имеет место формула (10). Непрерывность функции 1'(х, у) по х обеспечивает существование интеграла (1). Фиксируя любое значение у =у, придаднм ему приращение г)у=к. Тогда 1(у,) = ) 1"(х, уа) с(х, т(уа Р )с) = ) Ях, уа+ )с) асх, а а так что ь 1Ь~+1с) — 1ОЬ) ~ У(х. У„+1с)-Дх, УО) а (11) Интеграл справа зависит от параметра 1с. Нам предстоит доказать, что при 1с 0 здесь допустим предельный переход под знаком интеграла. Этим будет установлено и существование производной Т( ) 11ш1(уь+к)-1(уа) Ь-О и наличие требуемого равенства Г 1(х, у,+1с) — Ях, у,) а ь ь = 11ш-" — ""-)Ср(" Уд дх=~'У'(х )дх = ~1ш- — ' — ' х= у х,уа а а С этой целью, сначала по формуле Лагранжа напишем 1' "+",:~'" Уд=у,'(х,у,+И) (0-0-1). (12) ПользУЯсь же Р а в н о м е Р н о й непРеРывностью фУнкции уу(х, У), по произвольному е 0 найдем такое 6 О, что при )х"-х') д и )у" — у'! й будет выполняться неравенство (Д(х", у") - 1'у(х', у') ) - в.
Полагая здесь х'=х"=х, у'=у, у"=у +01с и считая ~)с~ д, получим, с учетом (12), что сразу для всех х будет — — — - — 1,',(х, ув) ~ «е. ! Лх, уа-Рк)-у"(х, уа) О Из зтвк условий, собственно, уже вытекает и непрерывность функции 1(х, у) по обоим арсумвнтам, но мы ею пользоватьса не будем. 1 ь элиминтлвнля теория Отсюда ясно, что подинтегральная функция (12) при Ес О равномерно (относительно х) стРемитсЯ к пРеДельной фУнкЦии Ез(х, У ). Этим, по теореме 1, н оправдывается предельный переход под знаком интеграла (11).
В виде п р и м е р о в снова рассмотрим интегралы, о которых была речь в предыдущем л'. Очевидно, для у О г 1 1 х г х г хг)х 1 уз Езу ~агг!и — Нх= 1! Езуагсгк — ох= — 1! = — !и -- -., У у хо+уз 2 1-1-уз о о о г 2у 1 Ру~!п(хгчуг)гех= ~ езу)п(хз>уз) их= 1! лх=2агсгк —. хг->у' у Легко проверить полученные результаты, непосредственно вычислив эти инте- гралы в конечном вгще: 1 х 1 1 уз Цу)= ~агсчк — г(х=агсга — + — у1п у у 2 1Ьуз о 1 1 Ео(Г) = ~ !и (хо~у) г(г= !и (!-~у9 — 2 !2у агсгк— У о и затем продифферевцировав по у. При У=О условия теоремы 3 нарушены; посмотрим, как обстоит дело с производными функций 1,(у) и Ег(у) при у= О.
Если в первом интеграле подинтегральному выражению при У=О и х О, чтобы сохранить его непрерывностгч пряписать значение —, то получим 1,(0) = —, так что Функция Е,(у) будет непрерывна 2 2 поуиприу О. Но 1,(У) — Е,(0) 1 у' апии у -- !л у г 1'+уз при У-О, так что конечной производной при у= 0 не существует. Для функции же 1,(у) имеем: ЕЯу) — Е,(0) 1и (1+у') 1 1,(0) — 2, +2 агсГК вЂ” -л У У У при у О. Здесь 1,(0)-л, между тем как производная по у от подинтегральиой Функции при у-0 равна нулю, так что и интеграл от нее тоже нуль: правило Лейбница не приложимо. 508.
Интегрирование иод знаком интеграла. Поставим, наконец, вопрос об интеграле по у от функции (1), скажем, в промежутке [с, г)!. гл. х!ч, иьтгегРАлы. 3АВисящие от пАРАмвтРА 1508 Нас особо будет интересовать случай, когда этот интеграл выразится формулой: а а ь ь а )ь(у) с(у= ) (~ах,у)с(х) !ту= ~(~Дх,у)с(у!а!к, которую — без скобок — шппут обычно так: ~ с(у ~ Ях, у) Йс = ~ с1х ~У'(х, у) с(у. (13) При наличии ее говорят, что функцию (1) можно инпьегрировать по параметру у под знаком интеграла (взятого по переменной х).
Простейшие условия, достаточные для равенства двух повторных интегралов (13), лает теорема 4. Если функь1ия ь"(х, у) непрерывна (по обеим переменным) в прямоугольнике (а, Ь; с, д), то имеет место формула (13). Докажем более общее равенство ь а ь ~ а!у ~ ях, у) асх = ) с(т / у'(х, у) асу, (13") ЯЯ аа ~ у'(х, ь)) ах. а В правой части (13') стоит интеграл ь ~ !у(х, ь1) ах, где !р(х, т1) = ~Ях, у) Иу.
Функция !р(х, т1) удовлетворяет условиям теоремы 3. Действительно, !у(х, ь1) непрерывна по х*, в силу теоремы 2, Затем производная !Уа(х, т1) =Лх, й) а который втрает здесь роль параметра, где с мт)мд. В левой и в правой его частях мы имеем две функции от параметра ей вычислим их производные по т1. Внешний интеграл в левой части имеет подинтегральную функцию (1), непрерывную по у в силу теоремы 2. Поэтому его производная по переменному верхнему пределу будет равна подинтегральной функции, вычисленной при у=!1, т.
е. интегралу 665 Ф 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ непрерывна как функция двух переменных. Поэтому к упомянутому интегралу применимо правило Лей б ни ца: ь ь ь Ва ~ р(х, т]) ьгх= ] оь',(х, ь]) ььх= ~Ях, т]) г[х=1Я. а а а Таким образом, левая и правая части равенства (13*), как функции от т], имеют равные производные, следовательно, могут разниться разве лишь на постоянную. Но при т] = с оба упомянутых выражения обращаются, очевидно, в нуль; следовательно, они тождественны при всех значениях гб и равенство (13*) доказано. При т]=д из него, в частности, и получается равенство (13).
Рассмотрим п римеры. 1) Пусть у(х, у)-ху в прямоугольнике [О, 1; а, Ь], где 0«а«Ь. Условия теоремы соблюдены. Имеем ь ь [ ь(у[хуь(х= [ ь(х~ хуь(у. О а Слева легко получается окончательный результат ь г(у 1+ Ь вЂ” -=1п — —, 1+у 1+а а 1 гхь-ха справа же мы приходим к интегралу [ дх. Такам образом, благодаря 1и х о перестановке шпегрироввниа, мы находим его значение [ср. 497, 16) (в)]. у'- х' 2) В случае функцян Дх, у)= в прямоугольнике [О, 1; О, 1] условия (х'ч-уа)1 теоремы не выполнены: налицо разрыв в точке (О, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
