Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 115

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 115)

е. |равномерную сходимосты этих интегралов, а что мы о б ы ч н о и делали, либо же убеждаться в равномерном (относительно А) приближении названной функции прн п к пределу ~ р(х) Ах, т. е. в равно- а мерной (относительно А) сходимости ряда А А Л ~ ип(х) с(х= ~В(х) Ах, а 1 а а чта оказалось более удобным длл пас в примсрах 13) и 14)1 520, Непрерывность н дифференпнруемосп интеграла по параметру.

Займемся и здесь сначала переносом теорем 2 и 3 ппо 506 и 507 на случай бесконечного промежутка. Теорема а, Пусть функция Дх, у) определена и непрерывна (как функция двух пере пенных) для значений х~а и значений у в 711 1 3, испОльзОВАние РАВнОмеРЬ!ОЙ схОдимости промежутке (с, д). Есаги интеграл г(у) = ~ 1'(х, у) г1х (1) а сходится равнолгерно относительно у в промежутке гс, д), пю он представляепг собою непрерывную функцию от параметра у в этом промежутке. Это следствие из теоремы 1.

Действительно, как мы видели в 506, при изменении х в любом конечном промежутке (а, А), функция у(х, у) при у уг,(где уо — любое частное значениеу) равномерно относительно х стремится к предельной функции у'(х,у,). А тогда, по теореме 1, в интеграле (1) можно перейти к пределу под знаком интеграла: йш г(у) = 1пп ~у'(х, у) г1х =- ~у'(х, уо) сгх = Р(у,), г-в т-в а а что и доказывает наше утвсрждсние. В и' 435, описывая методы, с помощью которых расходящимся интегралам приписываются аобобщеиныо значения!, мы оставили открытым вопрос о регулярности второго из этих методов. С помощью только что доказанной теоремы мы в состоянии теперь восполнить этот пробел.

Если интеграл ~у'(х) г(х сходится, о то интеграл ~ а ""'Г(х) ггх р а в н о м е р н о сходится относительно параметра lг, о для )гв.о (см. замечание в конце и' 515) и, следовательно — по крайней мере, в случае непрерывности 1(х) — представляет непрерывную г(гункциго от параметра )г, для lг~о. В частности, имеем: 1йи ! е "ху(х) г)х ~ Дх) ггх. а-+о л о Таим образом, величина сходящегося интеграла совпадает с его аобобщенным значеииеьп; в этом и состоит упомянутая р е г у л л р н о с т ь.

Замечание. В случае, если функция у(х,у) неотрицат е л ь н а: у'(х, у)ваО, имеет место в некотором смысле обратная теорема: иэ непрерывности интеграла (1), как функции от параметра, вытекает р а в н о м е р н а я его сходимость. В этом случае непрерывная функция от у г(А, у) = ) у'(х, у) Фх а при возрастании А возрастает и, следовательно (по обобщенной теореме Дини„504,4'),стреьппсяксвоемупределу(1) равномерно относительно у, ч. и тр. д. Гл. хсзр. интеГРАлы, зависяагие от ИАРАметРА 1ззе Теорелла 3. Пусть функция )'(х, у) определена и непрерывна по х для х~а и у в (с, д] и, сверх того, имеет для указанных значений непрерывную по обеим переменным производную гу(х,у).

Предположим, далее, ыто интеграл (1) сходится для всех у в (с, д], а интеграл ~ 1у(х,у)дх а сходится равномерно опгносительно у в том же промежутке. Тогда при любо,ч у из 1с, д] илгеет место формула" Т(у) = ]' Ях, у) агх. п Взяв частное значение у=у„рассмотрим отношение )Оь-ьЦ-Г(уа) (Дх,у,г-Ц-(х,уа) а (12) ~ ~уу(х,у) сгх в (А для всех у зараз ]514]. Покажем, что одновременно будет и А' ° сгх в Пх, уи-Рис) —,Г(х, уи) Ус (14) для всех возможных значений гс. а Вычисление производной по этой формуле н здесь называют гравилен Хвйбиива. и докажем, что здесь допустим предельный переход по параметру )с-О под знаком интеграла.

Мы уже видели в 507, что если х изменяется в любом конечном промежутке (а, А], подянтегральнал функция — * У' ')' стремится при гс О к предельной функции уу(х,ув) равномерно относительно х. Для того чтобы иметь право применить теорему 1, нам следовало бы еще убедиться в р а в но мери о й сходимости интеграла (12) относительно гс. Ввиду предположенной равномерной сходимостн интеграла (11), по любому в- О найдется такое Ае~а, что, лишь только А'>А ~Ар, будет 7)З а 3. использОВАние РАВнОмеРнОЙ схОдимОсти Для этой цели (фиксируя А и А') рассмотрим функцию Ф(у) = ~ Лх, у) лх. А По теореме 3 и' 507 ее производная вычисляется по правилу Л е й бница: Ф'(у) = ~ )у(х, у) Ых и, ввиду (13), по абсолютной величине всегда е.

Но тогда н отношение А' ФЬ~-~)г) — Ф(ум (Ях,у„+(г) — У(х,у,) Гг ) А которое по формуле Лагранжа равно Ф'(уе+0А), тоже по абсолютной величпне будет а, т. е. выполняется (14). Отсюда, по признаку и' 514, следует равномерная сходимость интеграла (12), чем и завершается доказательство. Легко получить и обобщение теорем 2* и 3* п' 510, относящихся к конечному промежутку (а, Ь): стоит лишь, ничего не меняя по существу в приведенных здесь формулировках н рассуждениях, заменить точку х= точкой х=Ь (как это сделано, например, при переходе от теоремы 1 к теореме 1').

Замечание. В излагаемой здесь теории мы не пользуемся связью интегралов с рядами, предпочитая вьщвнгать повсюду ту идею, которая в действительности является основой всех умозаключений, — идею равномерного стремления к предельной функции. Однако в иных случаях ссылка на уже развитую теорию рядов могла бы создать формальное упрощение в рассуждениях. Разъясним это, дав новое доказательство теоремы 3 (где упомянутое упрощение более значительно).

Заменим интеграл )(у) ридом [4771 Г(у) =-,~', ~ У(х, у) 4х (А, ). г А г)лены этого рада 7РТ ГЛ. Х!Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСИЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [521 в силу теорем 2 н 3 пп' 506 и 507 непрерывны и имеют непрерывные же произ- водные и„'(У) = ~ /у(х, У) ах. К тому же ряд, составленный из этих производных, сходится равномерно относительно у в промежутке [с, д], как это следУет из равномерной сходимости интеграла (11) [5141.

Тогда, по теореме о почленном дифференцировании ряда [4351, существует производная А Р(У)= ~~ «(У)= са )у(х, У)сгх= ~су(х, У) сгх, ! г,! что н доказывает требуемое. Тот же прием можно применить и к доказательству теорем 1 и 2 и' 510 и 520 (а также теоремы 4 нз следующего и'), со ссылкой на соответствующие теоремы из теории Функциональных рядов. Осуществление этого предоставляем читателю. 521. Интегрирование интеграла по параметру. Сначала докажем следующую теорему: Теорема 4, При лредлолоэ!гениях теоремы 2 имеет место формула: д а ~Му) ![у= ~ ссу[ях,у) йх= ~ссх~ у(х,у)сХу. а с с а ДЕйСтВИтЕЛЬНО, ПО тссрЕМЕ 4 и' 508 дпя ЛЮбОГО КОНЕЧНОГО Ав а справедливо равенство д А А а ~ с[у ~Ях, у) а!х= ([Йх~)(хс у) с[у.

а с с а Но, по предположению, функция (3), непрерывная по у, прн А стремится к своему пределу (1) равномерно относительно у. Следовательно, по теореме 1 и' 50б, в интеграле слева можно перейти к пределу по А - под знаком интеграла, т. е. д А 1[ш ~ с[у ~ Лх, у) с[х = ~ с(у ~ У'(х, у) а)х. с а с а В таком случае существует и предел при А интеграла справа, т. е. интеграл а ~сгх~Ях, у) с[у, а с и имеет то же значение, ч.

н тр. д. 715 1 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСГИ Если воспользоваться замечанием к теореме 2 [520), то легко вывести отсюда такое Следствие. В случае неотриз7ат ель ной функции,р(х,у) одна непрерывность интеграла (1) по у влечет за собой формулу (15). Таким образом, мы — при известных условиях — установили право п е р е с т ав л я т ь два интеграла, из которых лишь один распространен на бесконечный промежуток, а другой — на конечный. Между тем во многих случаях как раз приходится переставлять интегралы, взятые оба в бесконечных промежутках, по формуле ) иу ) Дх, у) а7х = ~ а7х) Ях, у) с~у.

с а а с (1 б) ~ Т(х, у) бх и ~Т(х, у) Ыу а с сходлтсл равномерно: первый — относительно у, а впюрой — отно- сительно х, в любом конечном промежутке. Тогда, если хоть один из двух повторных ттзегралов ~ Ыу ~ ~ Ях, у) ! Ых, ~ с(х („1Ях, у) ! с(у с а а с (18) существует, то существуют и равны повторные интегралы (16).

Допустим, что существует в т о р о й из интегралов (18). Ввиду раВНОМЕрНОй СХОднМОСтн ИНтЕГраЛа ~/сЗЗХ, ПО ПрЕдЫдущЕй тЕОрЕМЕ, а для любого конечного С с будем иметь ~)йу~~(х, у) Ых= ) сХх~Ях,у) Ыу. а с Оправдать такую перестановку часто представляется делом сложным и кропотливым, чему читатель ниже найдет много примеров. Лишь для узкого класса случаев удается обосновать формулу (1б) общими соображениями: Теорема 5.

Пусть Ях, у) определена и непрерывна длл х- а и уь с. Предположим, далее, что оба интеграла Гл. хгч. интеГРАлы, зквисящие от пАРАметРА 1521 т!б Остается доказать, что в интеграле справа при С допустим предельный переход под знаком интеграла, ибо тогда будет существовать ~ду)Дх,у) дх= 1пл ~с1у~Ях,у)г(х= 11ш ~г(хф'(х, у)с(у= с а с а а с с = ~ йх * 11ш ~ Дх, у) а(у = ~ йх ~ у (х у) лу Оправдать упомянутый предельный переход можно, опираясь на теорему 1 (5181.

Функция от х и С )Лх,у) сгу, с непрерывная по х (теорема 2, 506), при С стремится к предельыой функции ) Дх, у) йу с равномерно относительно х в любом конечном промежутке. Интеграл же с ~ сухарях,у) ау а с сходится равномерно отыосительыо С, потому что мажорнруется вто- рым из интегралов (18), поскольку ~Ях, у) йу 1 ~Ях, у) ~ ду.

Характеристики

Список файлов книги