Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 119
Текст из файла (страница 119)
(х1+ у')' ! Теорема 5 здесь неприменима потому, что (как легко проверить непосредственно) интегралы 1 ! 1 1 расходятся! (б) Легко установить недопустимость перестановки интегрирований и в следуюшем случае: ~ г(х ), 1)у= — 1, ] Фу~, ::'сх (хеу)а . (хеу)1 2 Е 1 с Здесь интеграл у-х г[х (х+у)ч 1 ГЛ. ХГЧ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [524 — как это ясно уже из теоремы 4 — н е м о ж е т быть равномерно сходвцимся относительно у в промежутке [О, Ц (в чем легко убедиться и непосродственно). (в) Еше изящный пример того же типа (Х а р д и) ': !(х ~ (ре рху де чху) г(у — ~ г/у~ (ле рху де-дху) 0(х .! 0 ! что не равно нулю, есливзятьр О,д О,рлд.
9) Приведем два новых приема для вычисления интеграла Л а п л а с а: то,подставляя, представим о' в виде У =- ! соз 1)х г1х ~ е хр з!п у г(у. о 0 Переставляя интегрирования, получим Г у мп у Г х а!и р)х У = ~ агп у !гу ~ е "у соз ()х г(х =- ~ ![у = ~ — г(х.
~бе+у ~ 1. О о 0 о !ду Но последний интеграл, с точностью до знака, представляет собой —, так что 41 2 удовлетворяет простому дифференциальному уравнению откуда У=Се-л. Так как х=С= — при)1=0, то, окончательно, 2 -л у= †2 " И!Псграл Ф р у л л а н и [495, 1)й [ср. 522, 4'). Так как соа /3х 7=1 йх о 1 — = ~ е куя!и ус!ч ! Ч-хя е-лх-е — д" д г[Х=1п —, Х Р о Я4! 74! 2 3. испОльзОВАние РАВЯОмеРИОЙ сходимости Остается еще обосновать перестановку интегралов.
Если О«а А ', то легко убедиться в справедливости равенств: А А А соя !)х — «Гх ~ оськах г>х~ а Хуяпу«!у=- ) ь!и> «!у~ е "У сазак«гх.=- 1+ хй о а Г!) з!и РА — у соз РА ф з!и ба — у соь ра '! З!Пу«)у~ Е АУ вЂ” Е аУ 1= у'Ч-«уй уй+)уй о г ыпу г уз!ну =бь!П))А >! а '«У«!у — СОЗ!)А >! Е АУАУ- ) у«а !)2 '1у )) о о г з!лу ~ уяпу — фз!Пда >! — е "ау Ыуо соь р«а >! — е ау «!у.
' ) уй, фй '1, Рй о О Равномерная сходимость всех интегралов, соответственно, относительно а и А позволяет перейти под знаком интеграла к пределу при а-О и при А- . Отсюда ясно, что рассматриваемое выражение при указанном двойном предельном туз!пу переходе действительно стремится к пределу~ ау. .,З о 10) Используя другое тождество х — --. = ~ е У яп ху «)у, 14хй О можно написать: гсозфх >= >! — «>х~ е-У яп ху «Гу.
х 0 о Перестанляя здесь интегралы Рыл ху >= ~ е У «!у~ сох ух«йх, х о о мы в качестве внутреннего интеграла получаем «разрывный множитель« Д н р и х- ле !497, 11)] О при О у ф, яп ху — соз !)х «)х= о — при О «2 у. 2 1524 742 ГЛ.
Х1Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯ1НИЬ ОТ ПАРАМЕТРА Таким образом, /= — ! е-У Г)у- — е-Р. 21 2 Р Дзя обоснования перестановки интегралов заметим, что интеграл яп ху О У вЂ” соярхАУ х О сходится равномерно относительно х (мажоранта уг У). Поэтому А 'со5(Гх Г соя дх 1' Г ГЯЛ ху г)х= ~ — Их~ е у51пхуАУ= ~ е УФУ ~ соярх1(х.
1-';х' х х моясно ли в последнем интеграле (по у) перейти к пределу при А — - под знаком интеграла? Подинтегральное выражение есть произведение е У на А А '51П ХУ 1 ГяП (у-'ф) Х-1.51П (у-))) Х вЂ” со5 Рх Ах — ' — ~ Ах= х 2 Х ~(у РМ (У вЂ” Р) 1 1 Г япг Г 5Ш5 — — — 5)з-ь ~ — — Аг Р О Т= ~ г)х. х О Так как 1 -=~О хуг)у, х О то Г АУ хг)х= 51 — = —. Р 1+у* 2 О 1 ~ 51пхпх ~ е ху пу= ~5(у~О "Уяп О О О О и стремится при А- к своему пределу равномерно относительно у, исключая окрестность точки у = 5).
Так как второй множитель равномерно ограничен при всех А и у, то подинтегральное Оыражение имеет мажоранту вида Се у, так что прн у=)) и у= (наружный) интеграл сходится раиюмерно относительно А. Этим оправдывается предельный переход под знаком интеграла, а с ним и перестановка интегралов. П) В заключение укажем еще один изящный вывод значения интеграла 5251 743 1 4.
ДОПОЛНЕНИЯ Займемся вопросом о законности перестановки интегралов. Взяв О а«А 4-, легко оправдать равенства л з(п х — †. Ах = ~ ыл «Ых ~ е "У с(у = ~ Ыу ~ е «У ып х сгх = х ч е в и (ув(лаьсоза уяпА+созА лу (— е оУ е — АУ 1+у' 1-|-) ' о г 1 =в(п а. ! — е су с(у.~-соз а ~ — — е 'су ду— г 14У* (еу' е е Г у 1 — ылА- ~ — е ту Ау — созА ° 11 -. е АУ41у. 1 .~. Уь 1+у« о о Так как последние два интеграла сходятся равномерно относительно А (для А А, О), то, переходя к пределу при А» под знаком интеграла, видим, что оба они стремятся к О. Второй интеграл, равномерно сходящийся относительно а (для ажо), очевидно, стремится к — при а О. Остается убедиться в том, что 2 первый интеграл, умноженный на з(п а, при этом предельном переходе стремится к О.
Имеем: ~ — — - Е вуду=) — — Е 1Й= ~~+~, и г гдг 1 г гс(г ~ — = — (п(1+аз) — 1па, ~ ~ — =С. 3.« 4=2 3 31, = 1 1 е о Отсюда и вытекает требуемое заключение. й 4. Дополнения 525. Лемма Арпепа. Хотя для вычислительных целей чаше всего достаточно того материала, который изложен в первых трех параграфах, но в теоретических построениях иной раз бывают нужны некоторые более тощие теоремы, дающие, кстати сказать, более простые условия применимости рассмотренных процессов. Начнем с доказательства одного вспомогательного утверждения, относящегося ь системам промежутков; оно принадлежит А р ц е л а (С. Але1Й). Лнлвэмн, пусть в конечном промежутке [а, Ы содержатся систем ы )3,, )3«, ° ..
..., )7», °, промежутков, каждая из которых состоит из к о п е ч н о г о числа не налеганпвих друг на друга замкнутых промежутков. Если сумма длин промезкутков каждой системы Р» (й = 1, 2, 3, ...) больиге некоторого постоянного положительного числа д, то найдется, по крайней мере, одна точка х = с, принадлежаи)ап бе с ко н еч ному множеству систем 21». Доказательство. Если промежуток какой-нибудь системы .О» ()с 1) налегает на промежутки предшествующих систем )7„..„2)» „и их ГЛ.
Х(Ч. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 1525 концами делится на части, то эти части мы впредь будем рассматривать как отдельные промежутки системы Ры Таким образом, если ср есть промежуток системы Р», а б" — промежуток сиатемы Р»-, и»' »", то либо ср и г(" не налегают друг на друга, либо же ат содержится в б'. Однако целиком система Р»., может в предшеатвуюшей системе Р» и не содержаться. Так как это обстоятельство неудобно, то мы заменим системы Р» другими системами промежутков,4, по следующему правилу. Для получения Л» мы кладем в основу Р», присоединяем к ней не содержащиеся в Р» промежутки системы Р»+„затем не содержащиеся в Р» ив Р»+, промежутки системы Р»+„ и т.
д. до бесконечности, Построенная таким образом сиатема Л» может состоять уже из бесконечного множества промежутков. Но зато 1) кпждвщ из промежутков системы Л»ьз неверно содержится в одном из промежутков системы Л». К тому же 2) сумма длин (или точнее — сумма р я д а длин) промежутков, состявляющих Лы и подавно больше б, как это имело место для Р».
Следующий шаг будет состоять в том, что мы и эти системы Л» заменим их калечными частями ЛШ), сохраняя, однако, при этом первое нз только что указанных свойств систем Л». Сделаем мы зто так. Если число промежутков системы Л, конечно, го просто положим Л'=Л,. В противном случае мы яз Л, выделим коне ч н у ю систему Л' промежутков 4, бз, ..., б, так, чтобы сумма длин остальных промежутков г(ь„б,ь„... системы Л, была меньше д'. Некоторые из промежутков сястемы Ле содержатся в промежутках Л', нбо, если бы все они содержались в промежутках беь„бт„..., то сумма их длин была бы меньше д, вопреки второму свойству систем Л».
Если промежутков системы Л„аодержашихся в Л', конечное число, то из них и составим систему Л". В противном случае мы выделим из них ко печную систему Л" так, чтобы сумма длин всех прочих промежутков Л, (вместе с теми из них, которые не содержатая в Л') была меньше б *. Продолжаем этот процесс до бесконечности, поаледовательно выделяя из Л* к о н е ч н у ю систему Л"', ..., из ˻— конечную систему Л(»), ...
При этом киждый из промежутнов системы ЛШ+') содержится в одном из промежутков системы ЛШ>. (Второе свойство системы Л», вообще говоря, утершю, но ценой этого мы восстановили к о нечнос т ь систем, наподобие Р».) Наконец, последний этап заключается в выделении из систем ЛГ») по оди о му промежутку г((»> так, чтобы каждый из иих содержался в предыдущем. Именно среди промежутков системы Л' найдется хоть один (обозначим его через г('), в котором содержатся промежутки б е с к в н е ч н о г о множестве последующих систем. Действительно, пусть это не так, и в к а ж д о м промежутке Л' содержатся промежутки лишь конечного числа последующих сястем; тогда это же было бы справедливо и относительно всей системы Л' в целом (именно потому, что она состоит из к о н е ч н о г о чнсла промежутков).
Иными словами, можно было бы найти столь большой номер»„чтобы ни один нз промежутков аистемы Л(».> ие содержался в Л', а это противоречило бы свойству 1) систем Л(»). В ск содержатся некоторые промежутки системы Л" (ибо, в противном случае, в нем вовае не было бы промежутков Л"' н т.
д.). Больше того, хоть один из содержащихся в су промежутков системы Л" (обозначим его через б') должен обладать подчеркнутым выше свойством промежутка б', т. е. содержать првмежугпки бесии вечного множестве последующих систем, ибо иначе этим свойством не мог бы обладать и б' (здесь снова играет роль конечность системы Л"). Продолжая этот процесс до бесконечности, мы последовательно из каждой системы Т») выделим промежуток б(»>, содержащийся в ранее выделенном промежутке иц» ').
Получив последовательноать вложенных один в другой промежутков б(»>= =(и», Ь») (й- 1, 2, 3, ...), Мы — как л при доказательстве известной элементар- " Это можно сделать пп свойству остатка сходшцегося ряда. 526] 745 Ф Ь. ДОПОЛНЕНИЯ ной леммы [Зй] — установим, что для ьюнотонных переменных а» н Ь» существуют пределы 1(гл а» = и !5 = ]лп Ь». Так как о длинах промежутков й(») мы ничего не знаем, то равенства пределов мы здесь утверждать не можем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
