Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 118
Текст из файла (страница 118)
а Введем новую переменную и в е, полагая х = вг; получим 1 ('е-ыс* с(х 1(л о Продифферелцировав е по л (по правилу Л ей б и и ц а), представим производс(е вую — в виде: с(е — — — ~ а-"Ис(х — ~ — с(г . да ~я~ хс, ! а о откуда для определения е получается линейное дифференциальное уравнение Умножив обе части его на (вгвтегрирующийа) множитель а-", придем к равенству с( (Е.
а — а') = — а — а', с(а если проинтегрировать его по а от 0 до а, то получим: е.а-а' — е, ~ а — с'с(Г о где под еа Разумеется предельное значение 1Г(с У еа 1пп е -о о Так как зто же число есть значение интеграла ~ е-с'с(с, то для е окончательно получается о е=ес' ~ а-с'осс„ а т. е. то же выражение, что и для и. 12) Доказать тождество (при й 0) а А" гз!В(х — А) — — с(х= З! с(х. 1+х' " х о 5241 в з, использовании павномнгнои сходимости Оба интеграла, как функшви от й, удовлегворшот дифференциальному уравненшо 1 у +у=— а По отвошелню к первому в этом убеждаемся, дважды дифференцируя его по правилу Лейбница. По отношению ко второму проще исходить из его представления в виде: гыпв, гсоз в сов й ~ — — в(г — или ~ — — в(г.
г Так как разность обоих предложенных интегралов з-в(Ь) удовлетворяет однородному уравнению: в" +в= О, то она вмеет форму в=с, ип(/гьс,), где с, и с, — постоянные. Но оба интеграла, а с ними и нх разность в, стремятся в 0 при й -, Отсюда с, = О, в(/г) ыО и требуемое тождество доказано. 524. Примеры ва интегрирование под знаком интеграла. 1) Найти значения внтегралов ге — ах е — вх г соз ах — сов Ьх (а) ~ — 4х, (б) ~ — в(х (а, Ь 0) х хв е е вутем интегрирования под знаком интеграла. Решение. (а) Интеграл 1 е-ух й= — (у О) у е ходится равномерно относительно у для у~ув О.
Интегрируя это равенство ю у от а до Ь, причем слева интегрирование можно произвести под знаком нн'еграла, получим е-ах е-вх,(у ~ 4х~ е У" в(у= ~~ в(х= ~ — 1п —. е в в Ср. 495, 1).) б) Аналогично, исходя из интеграла ыпух л — ах = — (у 0), х 2 е оторый также сходится равномерно относительно у для у~ус О, найдем: 4х г гсова.г-совЬх л — ~1 в(пухову= ) в(х= — (Ь-а).
к хв 2 ч е :р. 497, 10) (а).) 734 [524 Гл. х1у. интегралы, 3АВисящие От пАРАметРА 2) Рассмотрим полный зллиптический интеграл 1-го рода К[/с) = 49 ]Г) - ссз опт р с как функцию от м о ду ля сс, и найдем интеграл от зтой функции в промежутке [0, 1]. Имеем ! 1 2 ! 2 что подстановкой х=-гй — приводят к удвоенному интегралу р 2 — — ссх =- С = 0,915945 ..
агс!й х Х [С вЂ” !постоянная К ата лапам см. 328, б) и 440, ба)]. Перестановка интегралов производится на основании [модифицированного) еле де т в и я из теоремы 5. Подинтеграаьная функцня повсюду в прямоуголь- 11 нике ~0, —; О, 1~ положительна и непрерывна, заискшочением точки) —, 1), где 2 [2 она обращается в . Интеграл 2 ссе! )г1 — )сз япт р а есть непрерывная фуякция от я для зяачений )с 1, а интеграл 1 с[!с ]!1-й" 2)пзс! с л — непрерывная функция от р для значений 9! « —. Наконец, второй из повторных 2 интегралов, очевидно, существует.
Таким образом, все условия названного с л е детв и я выполнены. В ближайших нескольких примерах будем вновь иметь дело с уже знакомой нам функцией Бесселя с нулевым значком [440, 12); 441, 4)) 2г У,[х)= — ~ соз[хащ О) сЮ, а 1 3. использОВАнин РАВИОмвРИОЙ сходимости но в основу наших умозаключений положим «асимптотическую» 4юрмулу для Хз(х), которую примем без доказательства. Вот эта формула." те(х) уо(х) соз ~х ) 1 ~ лх ~ 4) лзн (21) где (з„(х) при безграничном возрастании х остается о г р а н и ч е и н о й: ! оз(х) ~ т.. 3) Вычислить интеграл А= ) е ах'уо(х) г(х (а О). з 2 г А=- — ) е о лх ) соз (х з!и О) лО = е з 2г =- ~ АО ) е ех соз 2" а ! (х зш О) Ах = — ~ г(О = — . л.1 аз+Ялз О )Г(+из е а е Перестановка интегралов дозволительна ввиду равномерной (относительно О сходимости ил геграла з ""соз(хз(пО) Нх о (мажоранта: е ех).
Так как из (21) явствует, что иятеграл уо(х) ~х У„(х) Ах=-1. е ' Это сразу станет ясным, если первое слагаемое в (21) справа написать в виде: ж 2 ( и л) 1 (созх япх) — 1соз х соз — + яп х яп — ) = — ~ — -- + — -) . жх( 4 4) )'~~ )г~ )Г~) сходится ч, то интеграл А будет непрерывной функшгсй от а и при а=-О [теор. 2; 515, 4'). Поэтому значение этого интеграла может быть получено из выражения для А предельным переходом при а-О. Таким образом, 736 ГЛ. ХГЧ.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 4) Вычислить интеграл г$1п ах В= ( — .Уз(х) г(х (а О). х е Имеем 2гз!пах г . 2г сашах В- — ( — г(х ( соз(хз1п 0)г(0= — ( 00 ( — сох(хып О) г(х. л х л " х е е Но внутренний интеграл есть гразрывный множитель! Дирихле (497, 11)) з!и ах ( —, если ыпд а, — со5 (х5!и О) Ах= ! 2 х а ~ О, если ып0 а. Нозтому л гз!и ах ( — при а 1, В= ( — 15(х) г!х= 2 х е агсзш а при а«1.
Установим дозволительность перестановки интегралов. Имеем А з З А 2 сынах г 2 г сашах — Ах ~ соз (х ып О) г(0 = — ( Ад ( — соз (х ып О) г!х. л х л х е е Но можно написать внутренний интеграл в виде: мп ах 1 г$!и (а-!.Яп 0)х гз!л (а — 5!и 0) х — со5 (х 5!и 0) 6(х = — ~ — г(х+ ( ах~ = х г() Х о о е А!с г!$5) А($ — Иаз) — ~ — '-*а).
Сз е с Если а 1, так что а-ил 0»а-1 О, то зто выражение лри А стремится к своему пределу равномерно относительно О, иными словами, интеграл згп ах — соз(хзвз 0) дд сходится равномерно, и перестановка интегралов оправа дана. При а~1 равномерносп нарушается вблизи О = агсзш а. Но так как выражение (22) остается равномерно ограниченным при всех А и д (мажорируется постоянной!), то наружный интеграл при 0-агсыпа сходится равномерно относительно А, так что предельный переход при А под знаком интеграла все же допустим, чем снова оправдана перестановка ннтегралов.
524] 737 1 3. испОльзОВАния РАВЛОмеРВОЙ Сходимости 5) Из интеграла В, дифференцированием по параметру а, получаем другой интересный интеграл: О при а 1, С ~ оо(х) сов ах 7(х= о 1 — при а 1. ]([:яи' 1 Р[( ) зо(х) — (сов х ч в!и х) + — —— )7лхх х'А умножим обе части на совах: уа(х) сов ах = 1 сов(1+а)х+сов(1-а)хо яп(1+а)х+яп(1-а)х О7о(х).совах I б Второе слагаемое мажорируется функцией —. Что же касается интеграла от ху* первого слагаемого, то при ]1-а]м б О и он сходится равномерно. Та же формула показывает, что при а = 1 интеграл С расходится. 6) Вычислить интеграл г 1 — совах )З= 1! о'о(Х) С7Х (а 0). х о Имеем 2 г! — совах В=- ~" 77Х~ сов (х вгн О) 7(О л х 2 г г1 — совах = — ~ЫО ~' сов (х ял О) Ы» = л " х о о в' 2г — ~ [1п ]Г]пв-в!по О] — 1п яп О] 7(О о [см.
497, 16) (б)]. Таким образом [497, 7) и 511, 7)]: г1-совах ])= ~ Уо(х) Ох= х 1и [а-Ь]7ав- !) О при ам.1, при а 1. * См. сноску на стр. 735, 47 Г. М. Фчитооголло, 7. 77 Для обоснования права на дифференцирование под знаком интеграла заметим, что интеграл С сходится равномерно относительно а в любом замкнутом промежутке значений а, не содержащем единицы. Это следует из асимптотической формулы (21). Переписав ее в виде" ГЛ. Х1У.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА [524 738 Для обоснования перестановки интегралов напишем сначала для конечного А) А з з л 2 г1-совах г, 2 г г1-сохах 5(х ) соз(хз!и В) 5(В= — ~ 5(В)1 соз (х яп О) 5(х. л х х О О О О Весь вопрос теперь в том, можно ли справа здесь перейти к делу при А - и о д знаком интеграла.
Чтобы исследовать характер стремления внутреннего интеграла к своему пределу, рассмотрим интеграл 1 — соз ах сох(хз!и 0) 5(х= х А л' ! гпх = — ~ — [2 соз (х з!и О) — соз (а-! О!п 25' х А Л'!и-51п П) В)х — соз )а — яп 0[к[ = А'51П О А( 5-ПП О) =-~г ) ~ - — 5(Г= А!и-япп! Л(П)ЯПО) А(О1ПП1) Л15 — 5151! Л !П вЂ” 5155( Л 5|п О Л(п 1 Яп 1) 5(Г. Аяпп АЫНО Лапо Апшп Е = ~ )п(х) яп ах 5(х = О ирна 1, ")(ап — ! 0 прн а 1. Обоснование проводится сходно с 5), опираясь на формулу (21). При а= ! интеграл расходится. 8) (а) Проверить непосредственно допустимость перестановки интегралп в случае и= [ 5(у ) п(х. 1 1 г созг Ввиду существования интеграла [ - — 5(г (г, О) ясно, что, взяв А и А' достаточно 5, большими, можно сделать эту сумму сколь угодно малой сразу для всех значений О в любом замкнутом промежутке, не содержащем ни О, нн агсяп а (если ачя!).
Таким образом, р а в н о м е р н о с т ь стремления внутреннего интеграза к своему пределу при А - нарушается лишь вблизи одного или двух указанных значений О. Но, с другой стороны, этот внутренний интеграл мажорируется функцией [!и [([а'-з(пп О[ — !из!и В), которая интегрируема в промежутке [О, л)2); значит, н а рунный интеграл равномерно сходится как при 0=0, так ипри О=агсяпа (ОСЛИ ам51). ТОГда, ПО тЕОрЕМЕ 1' П' 518, уПОМяНутий ВЫШЕ ПрсдЕЛЬНЫй ПЕРЕХОД допустим.
7) Отсюда дифференцированием по параметру найдется интеграл: 524] 739 а 3 иснольтовАние РАВнОмнРнОи схОдимОсти Имеем: уг (хз+ус) хе-гу']я=! 14уе 1 так что лу л т л у= — ~ — „= — агс!ау[ = — е-=— 2 4 4 1 В то же время для другого повторного интеграла У= — ~ 1х~,, ![У 1 1 аналогично получается значение у- —: перестановка недопустима. 4 Любопьпно отметить, что [как мы убед~лнсь в 517, 1)] 1опсграл у'-х" г(л 1х" -~- уе)'-' 1 сходится равномерно относительно у для всех у- 1: аналогично устанавливается и равномерная относительно х (для х 1) сходнмость интеграла уе — хе ф'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
