Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Разделив обе части равенства на Аб будем иметь Аи, Ах г 2)у, Лт Лх Лу Лт — = и — -ь и — -,' и' . — ь п — ч Я вЂ” Ф у -— лг лг т лг ' ' лг 'лг '"'лг аг Устремим теперь приращение Аг к нулю; тогда Ах, Ау, Ая будут стремится к нулю, так как функции х, у н г от 1 непрерывны (мы пред- положили сУЩествование пРоизвоДньтх х,', У,' и 22), а потомУ и, Р, У также будут стремиться к нулю. В пределе получим: и,'=и„х,+и', у,'-ьи,' к,'.
(8) Видим, что при сделанных предположениях производная сложной функции действительно существует. Если воспользоваться дифференциальным обозначением, то формулу (8) можно записать так: гги ди 27х ди 27у5 ди г72 — — — + —.— +— дг=дх'дг ду'иг д 'и (9) Теперь рассмотрим тот случай, когда х, у и г зависят не от одной переменной г, а от нескольких переменных;например, х=у(О г), у=гр(г, о), к=Я, о), ') собственно говоря, достаточно предположить днфч5еренпнруемоеп фуняпнн и Пх, у, 2).
25 Кроме существования н непрерывности частных производных функции у(х, у, г) *), мы предполагаем здесь существование производных от функций х, у, зло г но. После подстановки функций гу, 5у и у в функцию 7'мы будем иметь некоторую функцию от д в у х переменных 7и о, и возникает вопрос о существовании и вычислении частных производных и,' и и,'.
Но этот случай не отличается существенно от уже изученного, нбо при вычислении частной производной функции от двух переменных мы одну нз переменных фиксируем, и у нас остается функция только от о д н о й 389 1821 1 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ в предположении, что элементы его авк (1, й = 1, 2, ..., и) суть функции от некотог(ащ рого параметра г, для которых существуют производные по г; —, де Вспоминая разложение определителя ~о элементам /с-го столбца А=А,н ан1 А,н а~9...
+АИ ан+...+Апн а,ы Гдс аЛГЕбраИЧЕСКИЕ дОПОЛНЕНИя АЗЫ ..., Аяг, ЭЛЕМЕИта аж НС СОдЕржат, ПрИХОдИМ к заключенюо, что дА — = Ань да В таком случае, по формуле (9)„ ,гА ч я дА дагн я даз — — — Ап, °вЂ” г(з з,=!;=! дам гуг г=! з=! г(г ч дазг Заметим, что сумма 2, Ан, — дает разложение определителя, отличаняцегося ,=! дз от данного лишь тем, что элементы его 1г-го столбца заменены их производнымии по з. Отсюда правило: производнач определителя Л равна сумме и определителей, получашигихся из А заменой, поочередзш, элементов его 1-го, 2-го, ..., и-го столбвм производными.
йюрмула (8) сходна с фоРмУлой из= и„'. х; дпя случая функции и от о д н о й переменной х. Подчеркнем, однако, снова разницу в условиях, при которых были выведены эти формулы. Если и зависит от о д н о й переменной, то достаточно было предположить существование производной и„'; в случае же нескольких переменных — мы вынуждены были предположить еще и непрерывность производных и„', иу, ... Следующие прнмеры показывают, что одного с у щ е с т в он а н ил этих производных для действительности формулы (8) вообще недостаточно. 6) Определим функцию и = 1'(х, у), полагая; хзу г(х,у)= — (при хвьуз 0), У(0, 0)=0. х'+у' Эта функция, как мы видели, имеет частные пронзводньзе во всех точках, не исклю- чая и начальной (О, 0), причем Ух(0, 0)=0, 1 (О, 0)=О; заметим, что именно в этой точке производные терпят разрыв.
Если ввести новую переменвую г, положив х= з и у= !, то получим сложную функпию от г, По формуле (8) производная этой функции при 1=0 была бы равна и = ич ° х) .~. изО у) .= О. Но, с другой стороны, сали на деле подставить значения х и у в данную функцию и =у(х, у), получим сваг 1 и= = — г. 2 1 Продифференцировав теперь непосредственно по г, будем иметь из=- прн 2 любом значении г„значит и при ! =О. зоо Гл. у. Функции нескОльких пеРеменных Оказьсвается, что формула (8) в даыыом случае неприменима.
7) Поведение функции и Ях, у) определяемой равенствами х'у Г(х, у) = — (при хо+у»во), у(0, О) =О, х'+у' в точке (О, 0) вполне аналогично. Взяв здесь х=у=-с, получим сложную функцию 2 и = — со, которая при с = 0 имеет б е с к о н е ч н ы е одыостороывие производные, 2 Если же положить: х= С, а в у=с'вьч — при СиО и у=О прн с=-О, С то сложная функция, определяемая равенствами: 1 с ° в)п— С при сиО, и=о при С=О, 1-~-св.в(пв- С при с 0 никакой производной иметь не будет. 183.
Формула конечных приращеынй. Пусть функция с'(х, у, я) определена и непрерывна в замкнутой области ор и имеет непрерывные частные производные С", У'у, С'с внутри этой области (т.е. во всякой внутренней сеточке). Рассмотримдветочкииз "„») Мо(хо, Уо»ко) и М(х +Ах, У ФАУ, гоФАЕ), которое можно соединить прямолинейным отрезком МоМ„целиком лежащим в области о)). Тогда имеет место формула: А1'(хо» Уо хо) =) (хо Ф Ах» Уо+ АУ* хо+ Ак) -Лхо» Уо» хо) = =Яхоч-ОАх, у +ОАУ, хо~-ОАЕ).Ахз-(,"(...) Ауз-у",'(...) Аг (10) (О«О Ц, вполне аналогичная известной формуле конечных приращ е н и й для функции одной переменной (112, (2)).
для доказательства ее положим в функции С(х, у, к) к=хо«.Ах у=уоФС Ау х» ко+с Ак (при О-с(~1), т. е. рассмотрим нашу функцию именно в точках прямолинейного отрезка М,МИ Сложная функция от с НЙ=Кхо'С.Ах,уоес АУ, е,-с Ае) 391 1841 1 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ непрерьвна во всем промежутке 10, Ц [170), а внутри него имеет производную, которая, по формуле (8), равна с'(1)=Яхо+1'бх Уо»1 с1У хо+1 Лз) ~бх+Я(. )'л)Уч-Х.( .)')з ибо из (11) йх йу и -.
= )х, — =д)у, — =бз. об ад од Применим к функции г(1) в промежутке (О, Ц формулу (2) п' 112: Р(Ц вЂ” Р(О) = Р'(О) (О О 1). Если заметить, что, по определению функции г(1), Р(1) — Р(0)=Лхо+дзх, уо+~бу, зо+~бз) Х(хо уо зо) и подставить вместо производной р'(О) только что найденное выражение (при з = О), то и придем к формуле (10). В качестве простого примера приложения доказанной формулы упомянем следующее предложение: Если функция Лх,у, з), непрерывнал в замкнутой и сея зной области Я, внутри области имеет частные производные равные 0: У'„'=~'=~'=О, то эта функ»дня во всей области олд своди»пел к постоянной: Пусть М,(хо, уо, г ) н М(х, у, г) будут любые две точки области л).
Ввиду предположенной связности Ф, зти точки можно соединить ломаной, не выходящей за пределы 9. Если М,(хд, у„гд) есть следующая за Мо вершина ломаной, то, положив в (11) хо-»л)х=хд, уо+ бу= = у„, зо+.бз = з„сразу получим Лхд, уд, зд) =Лх, у, зо)' переходя так последовательно от вершины к вершине, окончательно найдем: Х(х у з)=Лхо уо зо) ч. и тр. д. 184. Производная но задавному навравлешпо.
Частные производные функции ЛМ)=Лх„у, з) по х, по у, по х выражают аско- рость изменения» функции по направлению координатных осей. Например, Д есть »скорость изменения» функции по х: точка предполагается перемещающейся лишь по параллели оси х. Между тем, 392 1184 гл, т, вункцнн нескольких пнгнманных во многих физических вопросах может представить интерес также «скорость изменения» функции 1(М) и по другим направлениям. Так будет, например, в случае, если дано поле температуры, т.
е. если задана тем пер агу р а 1'(М) в каждой точке М рассматриваемого тела. Законы распределения и перемещения тепла существенно зависят от скорости па)в деиия (или роста) температуры по всем направлениям. Уточним понятие «скорости изменения» или »в,л' ' 1 производной функции по Ух любому заданному направлению, Здесь мы также будем иметь слу' у«Г х х« ~ чай применить формулу (9). «у Пусть функция 1'(М) определена в некоторой (открытой) обе" ласти. Рассмотрим любую точку «у М,(хс', у„вс) этой области и любую направленную прямую (ось) 1, проходящую через эту точку в' (рис.
102). Рнс. 1«»к. Пусть М(х, у, х) — какая-нибудь другая точка этой оси, М„М вЂ” длина отрезка между М и М, взятая с надлежащим знаком, именно со знаком плюс, если направление М„М совпадает с направлением оси 1, и со знаком минус — в противном случае. Пусть М неограниченно приближается к М,. Предел у(м)-Лм«) "~, — мм — ° назьсваен»сн ироизво дно й он» функции г"(М) но нанрав,«е н и ю 1 (или вдоль оси 1) и обозначается следуннцим образом: дЛМ«) дЛх«у«к«) д! д1 Эта производная характеризует «скорость изменения» функции в точке Мс по направлению 1.
В частности, как упоминалось, и обычные частные производные ду ду др — —, - — тоже можно рассматривать как производные «по направдх' ду' дк пению». Предположим теперь, что функция г(х, у, г) имеет в рассматриваемой области н е п р е р ы в н ы е частные производные *).
Пусть ось 1 образует с осями координат углы а, б, у. Докажем, что при сде- ») См. сноску на стр. 382 1041 1 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦНАЛЪ| ланнык предположениях производная по направлению 1 существует и выражается формулой ЭЛ»„у„»,) ду, ду ЭХ вЂ” "- —" — ' = — сов а Ф вЂ” соы3 Ф вЂ” сов у. »1 Эх' ' Эу' ' Э»' (12) Для доказательства заметим, что если положить М„М=- б то будем иметь х-хе=) сова, у-ув=| сов|з, г-г„=| соьу. х=хе+| сова, у=уе»-з.сов|3, еРЕВ-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
