Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Но развернутые выражения последовательных дифференциалов становятся все более и более сложными. В целях упрощения их записи прибегают к следующему приему. Прежде всего, в выражении первого дифференциала у с л о в н о «вынесем букву н за скобки»; тогда его символически можно будет записать следующим образом: а«п ~ — адах» 4- — а«ха+... 4 — Ых„) ° и. та э а (ат» ах, "' а „ Теперь замечаем, что если в выражении для второго дифференциала также «вынести н за скобки», то остающееся в скобках выражение формально представляет в раскрытом виде квадрат выражения — «(х + — -- (х ... - — «(х; э а а 2 ак в поэтому второй дифференциал спмв о л иче с к и можно записать так: срп ~ хт + «'хв ~' ~ г'хп) (ах, т ах, в ' ' ' ак„") Аналогично можно записать третий дифференциал и т.
д. Это правило — общее: при всяком 1« будем иметь символическое равенство гт«и = ~ — «1х, + — ««х -»... '; — «1х„) ° и, ~а а =(ах, ' ах, "' аяв ") ' ' (й) которое можно понимать так: сначала многочлен, стоящий в скобках, ф о р маль н о возводится по правилам алгебры в степень, затем все полученные члены «умножаются» на и (которое дописывается в числителях при д"), и только после этого всем символам возвращается их значение как производных и дифференциалов. Мы видел»г, что это правило верно при Й=-1, 2; поэтому достаточно показать, что если оио верно для «1«и, то оно будет также верно и для ди "и, Допустив, что этот закон для «1ви выполняется, будем иметь в развернутом виде: вв *) Легко установить понятие я о ч а с т н ы х днфференпяалах лк»бого порядка; ва этом останавлнваться не будем, 412 ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЬ«Х где суммирование распространяется ва всевозможные группы неотридательных целых чисел а„««з, ...,и„, удовлетворяющих условию к,+«ь Ь...
+««„=1«, а с«„.„,.- «„«.„..., суть «полиномиальные» коэффициенты. В предположении, что существуют непрерывные производные (к+ 1)-го порядка, продифференцируем предыдущую формулу; мы получим «1 и=~ С«„««.,„«„'«1ах«,+«а «а, «ух» «ух» ' ' «1х«+ аь»«„ «+ а «1х««1х~ ' ' Их ) « Очевидно, то же самое мы могли бы получить, формально перемножив символические выражения: Х ~ — «1х + — «Х~ +... + — «»х ) Ра д а ~дх« дх, " дх« и потом приписав и. Но это «произведение» есть не что иное, как ( ) — «1Х,-Ь вЂ” 0Х»-Ь... + — Ых„) Х ах, ' а, ' "' а. х~ — Ых„« — «»х»ь...
+ — «»х„)= ка а а ~ах, " ах, ' '' дх. !д д д М+« =-~ — «1х 4 — «1хз-ь... 4 — е«х„) =~ах, ' ах, ' ''' ах, ") так что «»х»'и=~ — «»х 4 — Ых Р... + « — Ых„° и, х, Рд д д ~дх««дх, » ''' дх„ ч. и тр. д. Из предыдущих рассуждений видим, что х-й дифференциал является одно р одным целым м ног о членом степени «г, или, как говорят, является формой к-й степени относительно дифферендиалов независимых переменных, коэффипдентами при которых служат частные производные к-го порядка, умноженные на целочисленные постоянные («полиномиальные» коэффициенты). 1941 з 4.
НРОизводныБ и диезе«'г««пиалы Высших поРЯдкоВ 413 Например, если и=Ях,у), то д'ц, д'ц д'ц ««зи=- — ««х'+2 — «(х«(у + — „з(уз, дх' дх ду дуз азц дз«« неи=; — б(хз Р 3 — -„— — «(хг «(у, дх' дхз ду азц ц дзц 3 - — — «)х «(уз «- — «(уз, дх ду' ' дуз ау «1'и= — «(х«44,— — «(х'«(у «б.,у ц«хз««уг~- дх' дх' ау д.хз ду' д'ц, д'ц + 4 а «дуз цх «'У " д)ц «(У ' и т. д.
Положив конкретно и=атс(д'-", будем иметь У у«(х-х«(у з 2ху(Иуз- «(хз)+2(х' — у) «зх ц«у «(и = „—, «г'Зи =— хз чу' (хз+ у')з з (бхзу — 2уз) «(хць(18ху'- бх') ц«хз «(у (буз — 18хзу) «(х цу'~Р(2хз — бху )«))ц (хз Еу')з (хз чу')' и т. д. Сложность выражения для дифференциала возрастает с увеличением числа переменных. Если и=Ях,у, г), то, скажем, третий дифференциал ««зи в развернутом виде таков: нни= — «(х+ — «(уч — «(г и= — «(хз+.— «)уз Р «д д д ы дзц „д'ц =(ах ду аг ! =ах ду д'ц дзц дзц е — «(гз -Р 3 —,— «(хз 4у е 3 «1х «(уз -Р дхз дхз ду дх ду' + 3 — — ««хз ц«г+ 3 — — ц«х йз-Р 3 — — «зуз «(г ( дх' дг дх дгз дуз дх + 3, «(у «(ге+ б — «(х «(у «(г.
дзц азц ду дг' дх ду дг 194. Дифференциалы сложных функций. Пусть мы теперь имеем сложную функцию: и=Ях„хг,..., х„), где, в свою очередь, х«=«Р«(г„(г, ..., 1„,) («'=1,2, ...„п). В зтом случае первый дифференциал может быть сохранен в прежнем виде: «)и= — «(х Р— «(х 4 ... е — «(х дц дц дц а., «ах, "з' ''' дх„ 414 гл. ч.
ечнкции ннскольких пкеемвнных 1195 1на основании инвариантности формы первого дифференциала, 185). Но здесь уже Их„...,«Ь„являются дифференциалами не независимых переменных, а функций и, следовательно, сами будут функциями, и могут не быть постоянными, как впредыдущемслучае, Вычислив теперь второй дифференциал нашей функции, будем иметь (если воспользоваться п р а в и л а м и дифференцирования по 185): Эн Эа а(ах аи ах, ' Эх,' " а.' (э э э =~ — Их„+ — «(хе+... 4 — Их„~ .и+ =(ах, эх, "' а. эа эи аи -ь — ° «Рх«+ — «Рхз-ь... + — ° «Рх„.
ах,' э», " ал„' Мы видим, что для дифференциала порядка выше первого инвариантиость формы вообще не имеет места. Рассмотрим теперь частный случай, когда х„хв,...,х, являются линейными функциями от «„г„..., г„, т. е. когда х«=наг,"аЯ1з+... +а)">г,„«-Р«(«=1,2,...,и), где а)««и Р« — постоянные. В этом случае будем иметь «1х; =а)п«(г, +... +а««">«(г„= сф> й,-ь...
+ сс) >Аг = Ах,. Мы вццим, что все первые дифференциалы функций х„х„..., х„ в этом случае постоянны, независят от г„г„..., «; следовательно, применимы без изменений выкладки и' 193. Отсюда вытекает, что в случае замены независимых переменных х„х, ..., х„л и и е йными ЯУн«а1иЯми от новых пеРеменных гг, г, ..., г~, могУт быть сохранены прежние выражения даже для диа115ереарилов высших порядков. В них дифференциалы ««х, «(х„..., Их, совпадают с приращениями Лхм Ах„...,Ах„, но эти приращения не произвольны, а обусловливаются приращениями Й„А«„..., Лг . Это простое и важное замечание (принадлежащее К о ш и) мы используем непосредственно в следующем и'. 195.
Формула Тейлора, Мы уже знаем 1126 (13)], что функция г(«), при условии существования ее и+ 1 первых производных, может быть следующим образом разложена по формуле Т е й л о р а: р(~) = оь) + ~ («ь) '(г «о) + + Р (У )'(г г )~ ь + Р«ю(го) ' (е гь)' + +,, Г<"+п(ге+0(г — 1,)) (г-г,)"+' (О 6 1) 1зя1 14. пгоизводныв и диееягенниллы высших поеялков 415 (дополннтельный член взят в форме Л а г р ан ж а).
Эту формулу, положив 1 зо = Л1= г11 Р(1) к(1в) = ЛР(зо) можно переписать так: р(зв) — лр(14) + у '~зр(зв) + 4 — 1 " Жв) 4 е а7п+1Ж 40.Л1) (О В 1), 1 („+1)1 О При этом важно подчеркнуть, что величина й, входящая в различных степенях в выражения дифференциалов справа, в точности равна тому приращенизо Лб которое фигурирует в приращении функции слева. Именно в последней форме формула Т е й л о р а распространяется и на случай функции от нескольких переменных. Для упрощения письма ограничимся функцией Ях, у) двух пере- менных.
Предположим, что в окрестности некоторой определенной точки (х„у ) эта функция имеет непрерывные производные всех порядков до (и+ 1)-го включительно. Приладим х и у, некоторые приращения Лх и Лу так, чтобы прямолинейный отрезок, соединяющий точки (хв,у,) и (хв+Лх,ув+Лу), не вьппел за пределы рассматриваемой окрестности точки (хе, у,). Требуется доказать, что при сделанных предположениях относи- тельно функции Ях,у) справедливо следующее равенство: 4Я ув) =ЖЪ4Лх,ув+Лу)-Лхв, ув) = = 1Яхе, уч) +уР1'(хв, ув) +... + -; Р~'(хв, ув) э + сР™,У(хе+ ОЛх, у + ОЛУ) (О 6 1), (9) причем фигурирующие справа в различных степенях дифференциалы дх и ду равны именно тем приращениям Лх и Лу независимых пере- менных, которые породили приращение функции слева.
Для доказательства [как и в и' 1831 введем в рассмотрение новую независимую переменную 1, положив х=хв+г лх, у=у ~-1 лу (0~1~1). (10) Подставив эти значения х и у в функцию Лх, у), получим с л о ж н у ю функцию от одной переменной и Р(1)=1(хвч.г лх, Увьг лУ). Мы уже знаем, что введенные нами в рассмотрение формулы (10) геометрически выражают прямолинейный отрезок, соединяющий точМо(хв, ув) и дз1(хч+Лхв ую+Лу).
Теперь мы видим, что вместо приращения ЛЛхо, уо) =-Лхо ч-Лх, уо ~ Лу) -у(хы уо), 4!6 ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ !!95 мы можем рассматривать приращение вспомогательной функции: Р(0) = Р(1) — Р(0), так как оба приращения равны. Но р(«) является функцией от одной переменной и имеет (192) и+1 непрерывных производных; следова- тельно, применив к пей уже выведенную ранее формулу Т е й л о р а, получим АР(0) = г(! ) — Р(0) = ««Р(0) + —, «РР(0)»... ... ~--', нор(0)-» ',, ~г"+~р(В) (0-0-1); (11) при этом дифференциал ««0 входящий в различных степенях справа, равен А«=1-0=1.
Теперь, пользуясь тем, что при линейной замене переменных свойство инвариантности формы имеет место и для высших диффе- ренциалов, можем написать, что аЮ) Ух(хо~уо)'«(х+.Уу(хо~ус) ~У=4(хо, У,), «Рр(0)=Яхо Уо) «1хо-»21'„'Яхо, Уо)'«ух4'-»уу(хо уо)'«(у'=-«Р1(хо,у), и т. д. Наконец, для (и+ 1)-го дифференциала будем иметь ЕР+«Р® = «Р™Яхо+ ОАх, уо+ 0АУ). Важно отметить, что здесь дифференциалы ««е и ««у ничем не от- личаются суп ранее взятых приращений Ах и Ау. Действительно, ««К=АХ «1«=Ах, ««У=АУ а««=АУ. Подставив все зто в разложение (11), мы и придем к требуемому разложению (9). Читатель должен дать себе отчет в том, что, хотя в дифферен- Пиальной форме формула Т е й л о р а для случая функции несколь- ких переменных имеет такой же простой вид, как и для случая функ- пии одной переменной, — но в развернутом виде она гораздо сложнее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
