Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 81
Текст из файла (страница 81)
По теореме В ей ерш трасс а (173], в этой области найдется точка (хдь,хз,...,хв), в которой функция получает наибольшее (наименьшее) из всех значений. Если точка (хь, хьз,..., хь) лежит внутри области е55, то в ней функция, очевидно, имеет максимум (минимум), так что в этом случае интересующая нас точка наверное содержится среди «подозрительных» по экстремуму точек. Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция и может достигать и на границе области.
Поэтому, для того чтобы найти наибольшее (иаимеиьшее) значение функции и=Ях», ... ...„х„) в области Я нужно найти все внутренние точки, «подозрительные» по экстремуму, вычислшнь значения функции в них и сравпшнь со значениями функции в пограничных точках области: иаиболыиее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значе5шем функции во всей области. Поясним сказанное и р н м е р а м н. ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 428 [200 1) Пусп требуется найти наибольшее значение Функции и = $!н х ! $!н у — яп(х+,г) в треугольнике, ограниченном осью х, осью у и прямою хфу=2л (рнс.
106). Имеем и„= соз х — соз (х-1-у), иу сову — со$ (х+у). В в у т р и области производные обращаются в нуль в единственной точке (2ч 2л] 3]! 3 У ~ †, †), в которой и= — . Так как на границе г [3 ' 3)' 2 области, т. е. на прямых х=О, у 0 н х+у= 2л, наша сх функция равна О, то, очевицно, найденная выше точка (2л 2л) Ф~ — — ) и доставляет функции наиболыпее значение. '[3 ' 33 2) Найти наибольшее и наименьшее значения функ- ции !у г!г и = и!ха+ Ьзуз+ сзхз — (их!+ Ьу'+ сг')* Рлс. 106. при условии, что переменные х, у, $ связаны зависи- мостью х'+у*+к' 1 (и и Ь с=.О). Определив отсюда хе и подставив его выражение в и, придем к функции и = (а' — сз)хз+ (Ь! — сз)уе+ сз — [(а — с)х'+ (Ь вЂ” с)уз+ с]' от двух независимых переменных х, у в круге ха+уз м! .
Производные их= 2х(а- с) [(а+ с) — 2[(а- с)х'+(Ь вЂ” с)у!1-с]] из(= 2у(Ь вЂ” с) [(Ь Р с) — 2[(а — с)х'+(Ь вЂ” с)у' Ф с]] одновременно обращаются в нуль в точках 1 / ! (1) х=у=О (и=О), (2 х=О, у= ф — [и=-(Ь вЂ” с)') у-~ 1 / 1 (3) х =. х —, у = 0 [ и =- — (а — с)!) .
Теперь надлежит обратиться к границе области, т. е. к окружности х'+уз 1. Определяя отсюда у' и подставляя его выражение в и, получим функцию одной переменной х и = (и! — Ьз)хе+ Ьз — [(а — Ь)х! Ф Ь]! в промежутке [-1, и. Внутри этого промежутка производная и,( = 2(а — Ы'х(1 — 2хх) обращается в нуль при 1 ( 1 (4) х= О (и =0) и (5) х = !-.-- ~и-.--(а — Ые) . ]!2 ~ 4 Наконец, вспомним о концах рассматриваемого промежутка (6) х= ~1 (и=О).
Итак, подлежат сравнению значения 1 1 1 и =- 0; — (Ь - с)'1 — (и - с)'; — (а - Ы'; 4 4 4 2001 4 5, экстРБмумы, ИАиБолыиие и нхименьшип знАчгния 429 1 из них наименьшим будет О, а наибольшим --(а — с)'. Это и будут искомые наи- 4 меньшее и наибольшее значения функции, которые достигаются, соответственно, в точках (О, О, х 1), (О, -' 1, 0), ( Я 1, О, 0) Вообще, в случае функции цвух переменных л = Дх, у), область обычно оказывается ограниченной к р и в о ю (илн несколькими кривыми). Вдоль этой кривой (или каждой из кривых, если их несколько) переменные х, у либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра, так что на границе наша функция и=Дх, у) оказывается зависящей от одной перемеяной, и ее наибольшее (наименьшее) значение находится уже методами и' 139.
Если, скажем, кривая задана параметрическими уравнениями: х = р(!)„у.— й(!), где ! изменяется в промежутке [,'м Т), то на этой кривой наша функция будет (слозкной) функцией от г; 1(9(!) БО)) лля которой наибольшее (иаимеиьшее) значение найти мы умеем. 3) Найти наибольшее значение для произведения к == хуг! неотрицательных чисел х, у,, г, при уаювии, что сумма их сохраняет постоянную величину: .т-! у+х-)-!=4с.
Покажем, что наиболыпсе для и значение получится, когда множители все равны: х=у=.х.--г=.с е). Определив ! из данного условия: ! =-4с —.т-у — х, подставим в к это выражение: и= туг(4с-х-у-х). Мы имеем здесь функцию от трек нс за в н симы х переменных х, у,:, в трех- мерной области, определяемой условкямн х=О, у==-О, т:-О, х !.уфхм4с.
Геометрически зта область представляется в виде т с т р а е д р а, ограниченного плоскостями х=О, у=О, к=О, х+у+х=4с. Вычисляем производные и приравниваем их нулю: ди аи — =-ух(4с-2х-у — т)=-0, — =гх(4с — х — 2у — г)=0, Ох йу г[л — = ху(4с — х — у — 2г) =- О.
с!х Внутри области уравнения эти удовлетворяются лишь в точке х=у=х=-с, в которой и= с!. Так как на границе области и=.О, то в найденной ~очке, действительно, достигается для функции наибольшее значение. *) Мы лишь для определенности взяли число сомножителей равным четырем; результат будет тот жс для любого числа сомножителей.
430 1200 ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Утверждение наше доказано (ибо при х у=я=о танжЕ и 2=с) '). Вообще, в случае фушщнп трех переменных и-г"(х, у, 2) Область ограничивается поверхностью (или рядом поверхностей). Вдоль такой поверхности переменные х, у, 2 зависят уже от д в у х параметров (нми могут служить и две из этих переменных, как, например, только что: 2=4с-х — у). Тогда и функция и будет зависеть только от д в у х параметров, так что определение наибольшего (наименьшего) значения ее иа границе является уже более простой задачей, о которой шла речь выше. И т.
д. Если функция и = ~(хь х„..., хл) задана лишь в о т к р ы т о й (нли в е о г р ан и ч е н н о й) области Й, то у."ке нельзя заранее утверждать, что она достигает в области своего наибольшего (наименьшего) значения. Тем не менее такое значение в отдельньж случаях мо:кет и существовать; мы поясним на примере, как в этом можно удостовериться. 4) Найти наименьшее значение для суммы и=х+у+242 положительных чисел х, у, 2, г, при условии, что произведение их сохраняет постоянную величину ХУ22 = С'.
Покажем, что наименьшее значение для и получится, когда слагаемые все равны: х-у=2=2=с *'). с' Определим г: з.—. —, подставим это выражение в и: ХУ2 с' и=хьу+2+ †. ХУ2 Нам нужно отыскать наименьшее значение для этой функции трех переменных х, у, 2, в области, определяемой неравенствами х»О, у О, 2РО, т. е.
в первом координатном октанте, открытом и безграничном. Попробуем првменнть прежний метод: если в области есть точка, где наша функция достигает наименьшего значения, то эта точка, как и прежде, должна быль в числе стационарных. Имеем с' и 1- — =О, х Х'Ух 24 и'„= 1- — =0; Хуг* отсюда х=у г=с, чему отвечает г-с; при этом и=4с. Как теперь проверить, что это значение, действительно, будет н а н м е н ьш иму Ясно, что при приблнжевви к пограничным плоскостям х=О, у О, 2=0, равно как и при удалении в бесконечность, наша функция и бесконечно возрастает.
Найденную точку можно окружить кубом ]г, Е; г, Е; 2, Е]„взяв Е 0 настолько большим, ае О настолько малым, чтобы вне этого куба и на его поверхности Х) Из сказанного следует, что произведение положительных чисел хугг, сумма которых равна 4с, не превосходит сх, так что хьу4242 УХУ22чяе=- 4 т. е. среднее геометрическое не превосходят среднего а р и ф м е т и ч е с к о г о. Зтот результат, справедливый для любого количества рассматриваемых чисел, нам уже известен (133 (4а)]. еь) И здесь число слагаемых может бытыпобым (ср.
сноску на предыдущей странице). 201! 1 5. ЭКСТРЕМУМЫ, НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ 431 было и» 4с. Но в кубе, как в замкнутой и ограниченной области, функция и должна иметь наименьшее значение; теперь уже ясно, что это значение достигается именно в найденной выше точке и что оно будет наименьшим и лля всей первоначальной области, ч. и тр. д.
3 а м е ч а н н е. В примерах 1), 3), 4) внутри рассматриваемой области существовала о д н а лишь «подозрительная» точка. Можно было бы удостовериться, что в ней налицо максимум (нли минимум). Однако — в отличие от того, что было отмечено для случая функции одной переменной [см. замечание в 139)— здесь из этого одного нельзя было бы сделать заключение, что л>ы имеем дело с ни об альтом (н а им ел он> им) значе>тем б)унклни е области. Следуняций простой пример показывает, что подобное заключение в действительности может привести к неверному результату.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
