Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Тогда при 9».=е» и р =ц = — цд упомянутый трехчлен будет иметь противоположные знаки, и рассуждение завершается, как и выше. Итак, если ад>ам-а(а О, то в иснытУемой стаЦионаРной точке (ха, уе) Функция Лх, у) имеет экстремум, именно, собственный максимум лри аи О и собственный минимум при аи -О. Если Зкв а,»а. — а,'а -О, то экстремума нет. В случае же аиа, -а,',=О для решения вопроса приходится привлекать высшие производные; этот «сомнительный» случай мы оставим в стороне. П р н меры.
1) Исследуем на максам>м н минимум функцию х» у» а- — « — 1р о, ч о). 2р 24 Вьншслнм частные пронзводныс: х, у ху = в гл. ч. оункции нескольких певеменных (ряв Отсюда сразу видим, что единственной стационарной точкой является начало координат (О, 0). Вычислив ап, а„и ам, получим 1 оп= Р 1 ам-О. а««= — ' 9 отсюда апао-а«„0. Следовательно, в точке (О, 0) функции я имеет минимум; впрочем, это ясно и непосредсгвеяно. Геометрическим образом нашей функции будет э л л и и т и ч е с к и Я и ар а б о л о ид с вершиной в начальной точке (ср, рис. 93).
х" у« 2) г= — — — (р О. а 0); 2.е Ъ) х Р И здесь видим, что стационарной точкой является (О, 0). Вычисляем 1 1 а,- —, а =О, а, Р 9 3 а м е ч а н и е. Результаты настоящего и' впоследствии 123б) окажутся тесно связанными с геометрическим вопросом о поведении кривой вблизи ее «особой«точки, 198, Достаточные условия (общий случай). Обратимся теперь к рассмотрению общего случая. Пусть функция Яхт, х„..., х„) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой стационарной точки (хте„хея, ..., ха). Разлагая разность Л =Лх„х„..., х„) — Лх»е, хе„..., хе) по формуле Тейлора, получим, как и выше, 2 «~"' т ~*' » 2У«,« ' Лх»Лхя.~-2Х«,к,' Лх«Лхзч ... +21»„,х,, ' Лхл «Лх») = « =2 '~'у'„'«,» Лх,Лх», ь»=т где Лх,=х,-х,".; производные все вычислены в некоторой точке (хо»,' ОЛх„х, '+ ОЛхю ..., х,", ь ОЛхл) (О О 1).
отсюда анап — а1«0. Следовательно, экстремума нет. Геометрически мы здесь имеем дело с гиперболическим парабол о и д о м, вершина которого — в начале координат. 3) г=у«.Ьх« или х=у'+х«1 в обоих случаях стационарной является точка (О, 0) и в ней апао- ам= О. Наш критерий не дает ответа; при этом, в первом случае, как непосредственно видно, налицо минимум, а во втором — экстремума вовсе иет. 1981 3 5. Экствемумы, нАББОльшие и нАименьшие знАчения 42З Введем и здесь значения у",1 м(хза, ха„..., хо) = ав, (О й = 1, 2, ..., и), (6) так что Хх1„,(хта+ 0Лх„..., ха+ ОЛх ) = аз + ив, *), аи О при Лхт- О, ...,Лх„О. Теперь интересующее нас выражение Л можно написать в виде (7) а ч Л=-~,л ~1АЛ151Л.ха~ ~ ~1~Л~ЗЛ~„.
1,1=1 1,1-1 (8) Напервомместевскобкахздесьстоит второй дифференциал функции у' в рассматриваемой точке; он представляет собой однородный многочлен второй степени или, как говорят, квадрагпичную форму от переменных Лх„..., Лх, **). О т с в о й с т в з т о й к в адр атич н ой формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса. В высшей алгебре квадратичную форму ~; ав,узуа (асз = аа1) 1,1=1 бУЗЗ+ 5У3+ 14Узз+ 4УЗУЗ 8УЗУз 2УЗУз будет определенной положительной. Это становится ясным, если пред- ставить ее в виде (2ут — Зуз) + 2(ут-ь уз+ уз)з+ 3(уз — уз)з.
Мы не имеем возможности вдаваться здесь по этому поводу в подробности. Ограничимся упоминанием о принадлежащем С и л ьв е с т р у (7. з. Ву1чезгег) необходимом и достаточном условии для ') Ясно, что аа,=аи (и аш=а1а), **) Вторак сумма имеет сходный внд, но в ней и козффвцисвты сами суть функции от тех жс переменных. от переменных у„..., у„называют определенной положительной (отрицательной), если она имеет положительные (отрицат е л ь н ы е) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю. Так, например, форма ГЛ. Ч.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛ! КИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1198 того, чтобы форма (9) была определенной и положительной. Оио вы- ражается цепью неравенств: ап а,я... агл ап аж ... азл а,т а!я а,з стз аи ав! азв акв а„»о а а -О, згят агя О *). =-О,..., азл ала... аля Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех ее членов переходит в определенную положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отрицательной формы: она дается цепью неравенств, которая получается из написанной вьппе изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).
Пользуясь этими понятиями, сформулируем достаточные для существования экстремума условия: Если второй дифференциал, т. е. квадратичная форма л ~ а!зарх,Лхз 1,1=! (10) со значениями (б) коэффициентов оказывается определенной положительной (отрицательной) формой, то в исльзтуемой точке (хть, ..., хв) будет собственный минимум (максимум). Для доказательства, введем расстояние !=~за .: 34 между точками (х!в, ..., 4) и (х, ..., х„). Вынося в (8) за скобку рт и полагая — (! = 1, 2, ..., и), перепишем выражение для А в виде Е'1 А= — Ла!!~А) 2'а,з."Фз 1,1=2 ьз=! ап = б, азз 5 ап =-14 ам=ли — — 2, азз=аи= — 4 азз=-а„= — 1.
з) Обрашясм внимание иа то, что член с у!уя 1)я)!) встречается в сумме (9) дважды, тяк что ли= ам есть половина коэффипиентя при у!у1,. Для нашего примере условие легко проверяется, если учесть, что 1991 г 5 экстРемумы, нАиБОльшие и нАименьшие энАчения 4З5 Числа «1 зараз не обращаются в нуль, поэтому, если форма (10)— положительная, первая сумма в скобках в формуле (11) имеет всегда положительный знак. Больше того, так как ~Ц =-1, 1=1 (12) то найдется такое постоянное положительное число т, что при всех возможных значениях ь«1 будет 199.
Условии отсутствия экстремума. Квадратичная форма (9) называется неопределенной, если она способна принимать значения п р от ив ополо жных знаков. Такова, например, форма буг.ьуг ьуг " йугуг 8угуг 2угуз ° Действительно, например, ее значение равно 4.6 прн у, = 1, у,=Уз=О и — 1 ИРи У« =1, Уг= — 1, Уг=О. Теперь мы можем дополнить доказанное в предыдущем и' предложение следующим образом: Если квадратичная форма (10) будет неопределенной, то в испытуемой точке (хвг, ..., хв) заведомо нет экстрелгума. Пусть при «1х1=й; (1=1, 2, ..., И) форма (10) принимает положительное значение: ~ а,111,61.
О, 1,/,=1 (13) Действителыю, зта сумма представляет непрерывную функцию от аргументов «1 во всем пространстве, в частности же — и в множестве олк тех точек (,"„ ...,«„), которые удовлетворяют соотнопгению (12) («сферическая поверхность~). Но множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е.
содержит все свои точки сгущения; а тогда, по теореме Вейерштр асса 1173, см. замечание после ее доказательства],названная сумма будет иметь в олби н а им е н ь ш е е значение т, необходимо положительное (как н все ее значения в ЕМ). С другой стороны, ввиду (7) вторал сумма в (11) для достаточно малых о, очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше т, так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой сфере, с центром в точке (хв, ..., хв), разность Л будет положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция Лх,, ..., х„) имеет собственный минимум. Аналогично исчерпътвается и случай, когда форма (10) будет определенной, но отрицательной. ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМБННМХ 426 1199 а при Лх,=л1 (1=1, 2, ..., Л) — отрицательное: ~ а11Ь1лз О.
1,1=1 Положим сначала АК1 — — Ы при 1~0 (1=1, 2,..., И), что отвечает передвижению вдоль и о п р я м о й, соединяющей точки (хм..., Хз) и (х~~-~ лз, ..., 4-~ 6„). Тогда, вынося в (8) за скобки зз, получаем для этого случая ззг П п А= — ~,~ аиДЬ„-~- ~ адБД, . 2~, Первая сумма в скобках есть определенное положит ел ьн о е число, ввиду (13). Что же касается второй суммы, то ее коэффициенты стремятся к 0 при 1-0, ибо при этом, очевилзю, и все Ах; О. Значит, при достаточно малом б выражение в фигурных скобках (а с ним и вся разность А) становится положительным, т. е.
в точках упомянутой выше прямой„достаточно близких к (хз, ..., хл)„ будет ЛХ1, ..., х.)-У"(4, ..., х.'). С другой же стороны, если взять (Е=1, 2, ..., Л), Ах, =Ь,з при 1МО т. е. передвигаться вдоль другой прямой, соединяющей точку (хм ...,хз) с точкой (л~~+Ь„..., зз„'+Л„), то в ее точках, достаточно близких к (хм ...,;ф (т. е. отвечающих достаточно малому 1), окажется Лх, ..., х„) з"(4, ..., хо).
Этим доказано, что в испытуемой точке не может быть ни максимума, ни минимума. Может случиться, что форма (9), не будучи способна принимать значения р а з н ы х знаков, все же не является определенной, ибо обращается в 0 не только при нулевых значениях аргументов: в этом случае форму называют лалуолределенной. Это относится, например, к форме: У1 + Уз + Уз 1 2У1Уз ~ 2У1 Уз + 2Уз Уз = (У1 + Уз+ Уз) ' отрицательных значений она не принимает, но в 0 обращается всякий раз, когда У1+Уз+Уз=О 1 скажем, НРИ У1:=Уз= — и Уз= — 1. 2001 ь а экстРЕМумЬЕ нАИБОЛЪШие и НАИмеНЬШИЕ ЗнАЧЕния 427 Случай, когда форма (10) оказывается и олуоп ределе нно й, есть «сомнительный» случай.
В зависимости от поведения высших производных, в этом случае может быть экстремум, может его и не быть. В частности„высшие производные должны быть привлечены и тогда, когда все производные второго пор«щка в испьгтуемой точке обращаются в О. Исследованием «сомнительного» случая мы заниматься не будем. Замечание. Для функции Дх) одной переменной форма (10) сводится к одному члену 7 "(х,) г(хл, где х, — испытуемая точка.
Эта «форма», очевидно, является определенной — положительной при Г(хь) 0 и отрицательной при у"(х ) . О. Таким образом, признак п' 137 есть частный случай изложенного в 198. Переходя к случаю функции Лх,у) двух переменных, заметим, что и результат и' 197 также содержится в том, что было установлено в 198 и 199.
Легко усмотреть, что попутно в 197 было доказано, что форма а,„с)х' ь 2а»зг«х г)у «а»,л(уз в случае, если аиа — аззз =-О, будет о п р е д е л е н н о й (положительной прн аи .0 н отрицательной при аи. О), в случае же, если а„ив - азз ~ О, — неопределенной. 200. На»«большее и наименьшее значения функции. Примеры. Пусть функция и=лх„х,, х,) определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области се и, за исключением, быль может, отдельных точек, имеет в этой области конечные частные производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
