Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 75
Текст из файла (страница 75)
'|сову, (13) а функцию 1(М) =Дх, у, г) — как сложную функцию |у(1) от а При этом точке МВ соответствует значение б равное нулю. Таким образом, имеем: ЭПМо) 1 ИМ) - Е(МЗ) 1 'Я) -'Р(о) .(1) »1 м-м, М М |-В если только существует производная |р'(О). Но производная |у'(1) при сделанных предположениях существует и выражается по формуле (9) следующим образом: ЭХ ах ЭУ»у, ЭХ»х |у'(1) = — — |.— — +-- Эха| Эуй Эх а| Используя формулы (13), получаем |у'(1) = — сов а -'; — соь |9 Ф вЂ” соь у, ЭХ ЭУ ЭХ дх Эу Э» откуда и следует наше утверждение. Зададимся теперь вопросом: по какому яаяраеленаю ебуякз)ия в даянай точке будет всего быстрее возрастать? Конечно, этот вопрос имеет смысл лишь в том случае, если производные Эз~(„у„~.) ЭЛ.,Р,З») Эз(»,уя х) »х»у ' ' Э- не равны одновременно нулю (ибо иначе — производная по любому направлению была бы нулем), В этом предположении, прибегнем к преобразованию выражения (12): и соьаФЬ сов|9+ с сову= Ь с =- ')| аз -: Ьв -| с' ~ =.
соь а — —, †. сов 1) Ф = соь у) Таким образом, вдоль оси 1 координаты х, у, г можно рассматривать, как функции |: 394 гл. ч, очнкцин нескольких пеРеменных (пе Дроби в скобках можно рассматривать, как направляющие косинусы некоторого направления е: ь с — =Соал, =СОЗ Р, и — =соз1, Г и тогда мы получим )'а' + Ьз + с' (соз 1 соз а + соз д. соз ф+ соз Р соз у). Если, наконец, через (е, 1) обозначить угол между направлениями я и 1, то по известной формуле аналитической геометрии получим: — = )Газ+ Ь' Р с' соз (г, 1).
д! (15) Теперь ясно, что, если 1 отождествляется с г, зта производная достигнет наибольшего значения: Вектор г, имеющий проекции (14) на оси координат, указывает направление наиболее быстрого возрастания функции, а его длина (8( дает величину соответствующей производной. Этот вектор называют г р а д и е и и о м функции у'(М) = у (х, у, г). Переписав формулу (15) в виде — =(я( соз(е,!), 185. Иивариавтиость формы (первого) дифференциала. Пусть функция и=1(х, у, г) имеет непрерывные частные производные и„, и„, и,', причем х, у, г, в свою очередь, являются функциями от новых йереы менных 1 и 6: х=9Ф,6), у=у(86), г=Х(86), также имеющими непрерывные же частные производные х„х,', у,', у,', г;, г,'. Тогда (181) не только существуют производные от сложной функции и по Г и 6, но зги производные также непрерывны по 1 и 6, как это легко усмотреть из (8).
Если бы х, у и г были независимыми переменными, то, как мы знаем, (полный) дифференциал функции и был бы равен Фи=и' ~1хч-и' ° Ну-~ и, 'с(г. легко усмотреть, что вектор, который получится если на направлении 1 отложить отрезок —, представляет собой попросту проекцию грайр диеита на зто направление. 395 1851 1 3.
пРОизВОдные и диеееРенциллы В данном же случае и зависит — через посредство х, у, х — от переменных 1 и п. Следовательно, по отношению к этим переменным, дифференциал напишется так: йи=й, Й1+ и„' ° йп. и1 = и„. х, '+. и„у, 'Ф и',. х,' и,'=й х,'ч-и' у„'+й я,'. Но, в силу (8), н, аналогично, Подставив эти значения в выражение для йи, будем иметь: йи = (их ' ХЗ ' иу ' у«Ь иа КЗ) ' Й1 + (ик ' Х«~ иуу«+ и« ' я«) ' ЙП' Перегруппируем члены следующим образом: йи=и,. (х',.Йгч х„'.Йп)ьну. (У, Й1";У«.йп)+ и, (хз йг+е, йп). Нетрудно видеть, что выражения, стоящие в скобках, суть не что иное, как дифференциалы ф у н к ц и й х, у, х (от и и е), так что мы можем написать: Йп = и Йх Ф и,' Йу+ и,' йж х =~у(1) у=Ц>(1, зе), Е=Х(6, зе).
В таком случае мы всегда можем считать, что х=Уз(1, и, зк), У=«ез(1~ п«зе)«я=ХЗ(1 " зе) н все предыдущие рассуждения будут применимы и к этому случаю. С л е д с т в и я . Для случая, когда х и у были функциями одной переменной, мы имели следующие формулы: й(сх)=с йх, й(хху)=йх+йу, йху)=у.йх;-х йу, (х) у Йх-х.йу «) Отметим, что то же заюпочение справедливо и при одном предположении дифференцируемости всех рассматриваемых функция. Чтобм убедиться в этом, достаточно показать, что результатом суперпозицпи дифференпируеммх функций будет также дпфферевппруемая функция. Мы пришли к той же самой ф о р м е дифференциала, что и в случае, когда х, у, я были независимыми переменными (но смысл символов йх, йу, йя здесь, конечно, уже другой). Итак, для функций нескольких пере,пенных имеет место и н в ар и а н т н о с т ь 95 о р м и (первого) дифференциала, как и для функций одной переменной *). Может случиться, что х, у и е будут зависеть от различных переменных, например, [!Зб 396 ГЛ.
Ч. ФУНКПИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Докажем, например, последнюю формулу. Для этого примем сначала х и у за независимые переменные; тогда (х~ 1 х у дх-х г)у [и=- [х--, [у= — '— Ц У Видим, что при этом предположении дифференциал имеет тот же вид, что и для функций х и у о д н о й переменной.
На основании же инвариантности формы дифференциала можно утверждать, что эта формула справедлива и в том случае, когда х и у являются функциями любого числа переменных. доказанное свойство полного дифференциала и следствия нз него позволяют упрошать вычисление дифференциалов, например: х 1 /х) у гух-х йу 1) г)ШСГВ = ° г(( — ~ = (.)' И х (хе+уз+х') е(х-х д(хзвуеЧ-77) 2) й (Хз Ч уа;. 77) 7 ля+ух+77 Ь~ч.хз — хх) Их — 2ху Иу-277 а(7 (хх-ьузэсх')7 Так как коэффициентами при дифференциалах независимых переменных являются соответсгауюшие частные производные, то отсюда сразу ясе х получаются и значения этих последних.
Например, для и=агс1в- имеем непо- у средственно ди х ду Хе+уз ди дх хг-ьу' х а для и.-- получим сразу хе-Ьуз 1-7' ди 2ху ду (х'+У'Ч-79' 2ХХ ди уи+ х-' — х' дХ (хе-г,г'+ 7+ (хе+ у'+ х')' [ср. 2) и 3) 1ут[, 166. Применение полного дифференциала в врвблюкеивых вычислениях. Аналогично дифференциалу функции от одной переменной [108) и полный дифференциал функции от нескольких неремеиных с успехом применяется в приближенных вычислениях при оценке погрешностей.
Пусть, например, мы имеем фующшо и=у(х, у), причем, определяя значения х и у, мы допускаем погрешности, скажем, Дх и х)у. Тогда и значение и, вычисленное по неточным значениям аргументов, Эти формулы верны и в том случае, когда х иу являются функциями любого числа переменных, т. е. когда х--гр(г, о,...), у=чг(1, е, ...).
186] 1 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 897 также получится с погрешностью Аи Ях+Ах, у+Ау) — т"(х, у). Речь идет об о ц е н к е этой погрешности, если известны оценки погрешностей Ах и Ау. Заменяя (приближенно) приращение функция ее дифференциалом (что оправдано люль прн достаточно малых значениях Ах и Ау), получим ди ди Аи=.—.Ах-> — Ау. (16) дх ду Здесь и погрешности Ах, Лу, и коэффициенты прн ннк могут быть как иоложлтельными, так н отрнцательвымн; заменяя те и другие их абсолзотнытвн величинами, придем к неравенству [ Аи [ шг ~ — ~.
] Ах [ -1- ~ — ! [ Ау]. Если через ди, дх, ду обозначить максимальные абсолютные погрешности (или г р а н и ц ы для абсолютных погрешностей)„то, моюю, очевидно, принять ди=- ! — !.дхй ( — ~ ду. (17) Приведем примеры. 1) Прежле всего, с помощью выведенных формул легко установить обычные в практике приближеннык вычислений п р а в и л а. Пусть и = ху (где х О, у«0), так что йг=-у«(х+х ау! Заменяя дифференциалы приращениями, получим Ам=у ° Ах-1-х Ау [см. (16)] или, переходя к границам погрешностей [см. (17)]: ди=у дх-~-х. ду. Деля обе части этого равенства иа и = ху, придем к окончательной формуле ди дх ду — = — +— (18) и х у выражанвпей такое и р а в и л о: (максимальиая! относительная погрешность произведения равна сумме (максимальных) етивситвл«ных пвгрешиагтей сомножителей.
Можно бы*о бы поступить проще — сначала прологарифмировать формулу и = х у, а затем продифференцнроваттк а'и Ах х(у «) !л и=-1л х-1-!ну„— = — -!- — и т. д. и х х Если и=-, то по этому методу найдем у г(и г(х йу 1и и = 1п х — ! и у, и х у «) Обращаем внимание читателя на то, что дифференциал !п и мы вычисляем так, как е с л и б ы и была независимой переменной, хотя иа деле она является функцией от х н > [175]. Это замечание следует иметь в виду н ниже. переходя к абсолютным неличинам и к максимальным погрешностям, мы получим снова формулу (18). Таким образом (максималыгая) атпесшпвл«ная погрешность чаетпогв равна сумме (максималыивх) относительных погрешностей делимого и делителя.
2) Частое применение находит исчисление погрешностей в топографии, главным образом при вычислении не измеренных непосредственно элементов треугольника — по измеренным его элементам. Приведем примеры нз этой области. 398 ГЛ. Ч. ФУНКПИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕРЕМЕННЬЗХ (186 Пусть в прямоугольном треугольнике АВС (рис. 103) катет АВ=Ь и прилежащий угол с)ВАС=а измерены; второй же катет а вычисляется по формуле: а = Ь ° 18 а. Как отражаются на значении а погрешности при измерении Ь и ау Рис. 103.
Дифференцируя, получим Ь йг гй а ° 46 4 — 4м, соз' а так что и Ь Ьа=гйа ЬЬ+ — да. соз' и Пусть, например, измерении привели к результатам: Ь=121,56 мк0,05 м, с)а=25'21'40"а12", а 57,62 м. Ь вЂ” да = 0,0087, соз' а Гйа ЬЬ=0,0237, так что, округлая, можно считать да 0,04. Итак, а 57,62 м х 0,04 м. 3) Найдем погрешность при определении стороны а косоугольного треугольника АВС (рис. 104) по формуле .-1о~ -~ °, Пользуясь результатами примера 5) и' 177, можно по формуле (17) сразу написать". Ь-с сова с — Ь.созе Ьг з1ла да = ЬЬ+ де+ ° Ь«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
