Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 73
Текст из файла (страница 73)
382 ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (179 Как и в 103, легко показать, что если имеет место разложение (4), то в точке (х„у„г,) существуют частные производные по каждой из переменных, причем Л(хо Уо го) =А .Уу(хо Уа1 го) =В Ихо Уо го) =С Действительно, например, полагая в (4) Ау = Ах = О и Ах ~ О, получим Лх+Ях„у„гд-Лх„уа, х,) о(!дую!) х)х ох откуда и следует, что существует Л~о+ Ах уа хо) Лха уа хо) А Таким образом, соотношение (4) всегда осуществляется только в виде Аус(ха Уо, га) =.Ух(хо Уо го) Ах < +Л(хо Уа го) АУФЛ(хо Уо го) Аг) о(Р) (5) илн — в более короткой записи— Аи=и„'Ах+и' Ау;и, 'Аг;-о(о). (5о) Однако, в то время как в случае функции одной переменной существования производной у„'=у"'(ха) в рассматриваемой точке было уже и достаточно для наличия соотношения (3), в нашем случае существование частных производных и' =Яка, уа, го), иу ~у (х„у„га), й = Ях„уо, г,) еще не обеспечивает разложения (4).
Для случая функции двух переменных мы это видели на примере в предыдущем и'. Там же, в теореме, были указаны достаточные условия для выполнения соотношения (4): это — существование частных производных в о к р естности точки (х, у, г) и их непрерывность в этой точке. Впрочем, легко показать, что этн условия отнюдь не необходимы для формулы (5) или (5о).
Это, собственно говоря, следует уже из того, что для функции одной переменной (которую, если угодно, можно рассматривать и как функшпо от любого числа переменных) подобные условия не необходимы. При наличии формулы (зу функция у'(х, у, г) называется д и ф ф ер е и ц и р у в м о й в точке (хо, уа, г,) и (только в этом случае!) вырахсвние и'„Ах+и„' Ауьй.Аг= =Л(хо Уо~ го) Ах+Уу(хо Уо~ го) Ау ~ Л(хо Уа~ га) Аг т. е. линейная часть приращения функции называется ев (полнылО дифференциалом и обозначается символом Ыи или а(у'(хо, уа, га).
$3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 383 В случае функции нескольких переменных утверждение: «функция дифференпируема» в данной точке, как видим, уже не равнозначаще с утверждением «функция имеет частные производные по всем переменным» в этой точке, но означает нечто б о л ь ш е е. Впрочем, мы обычно будем предполагать существование и непрерывность частных производных, а это уже и е р е к р ы в а е т дифференцнруемость.
Под дифференциалами независимых переменных Лх, Лу, «к уславливаются разуметь и р о н з в о л ь н ы е приращения Ах, Лу, Лк е); поэтому можно написать: «[«'[хо Уо го) =«'х["'го Уо го) «гх»./г(хо Уо го) '«~У+.«'«[хо Уо го) «Кк или Йи = и' . ««х -» ит «1У «- и,' Лт. Полн ы й диффервн«)иал оказывается равным сумме ч а в тн ых дифференциалов [177). К» Ряс. 99 *) Е с ля отождествить дяфференцяал не за в нснм о й пер сменной х с дяфференцяалом х, как функция от незавясямык переменных х, у, х, то, по общей формуле, можно написать Лх=хх Лх.«-ху Лу+х, 'Лх-).Ля+О Лу+О Ля=дх, тогда равенство дх Лх оказывается д о к а з а н н ы м. «') А зто значит, что стремится к нулю я«п О«, а с ням я утоп р между секущей М»М н прямой М,Т (см. ряс.). 180. Геометрическая интерпретации для случая функции двух переменных.
Желая дать геометрическое истолкование сказанному выше, аналогичное геометрическому истолкованию производной и дифференциала функпди одной переменной [91, 104), вернемся к понятию касательной к кривой Я в данной на ней точке Мо. Мы определили касательную М Т(рис. ««г 99) как предельное положение секущей М,М при стремлении М,М к нулю [91). Очевидно, можно дать и такое, равносильное этому, определение: Прямая МоТназывавтся к а с а т ел он о й к кривой Я в точке Мо на нв««, если расстояние МР переменной точки М кривой Я от прямой МоТ, при стремлении расстояния МоМ к нулю, является бесконечно малой выс«него порядка, чем МоМ [т. е.
если отношение МР)МоМ пРи этом стРемитсЯ к нУлю е*). Зкл ГЛ. Ч. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Рассмотрим теперь некоторую поверхность оу и на ней точку М, (рис. 100). Аналогично определению касательной прямой, дадим определение касательной плоскости: Плоскость МьК называется касательной плоскостью к поверхности оз в точке Мь на ней если расстояние МР переменной точки М поверхности дз от этой плоскости, при стрел~лении расстояния МьМ к нулю, является бесконечно малой высшего порядка, чем МьМ (т. е. если отношение МР/М М при этом стремится к нулю). Рис.
!00. Пусть [1591 поверхность задана уравнением г=/'(х, у) в прямоугольных координатах. Возьмем на ней точку Мь(хь, уь, гь) (где гь=Дхь, уь)) и исследуем, при каких условиях плоскость ьз, проходящая через точку М и имеющая уравнение (6) Л вЂ” г =А(Х-хь)+В(Г-уь), удовлетворяет этому определению. Проведем МТ параллельно оси г (см. рис. 100) и из Мь опустим на МТ, перпендикуляр МьМ.
Так как отрезок МК отличается от МР постоянным множителем (не равным нулю), то вместо отношения МР/ММ, можно рассматривать отношение МК/ММ . Покажем теперь, что„не меняя по существу определения касательной плоскости, можно, наконеп, заменить здесь расстояние г = ММв отрезком о = М~Ф. 385 п)0! | 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ЛИФФЕРЕНЦИЛЛЪ| Если при М-М стремится к нулю отношение МК/Е, то это тем более верно для Отношения МК/г, ибо г»Е. Предположим теперь, что МХ/г стремится к нулю, и установим, что тогда стремится к нулю и МК/Е.
Для этого достаг точно Доказать, что пРн М Мо отношение — остаетсЯ огРаниченным. е Отрезок МК, с точностью до знака, равен выражению г — У=г-го — А(х-хо)-В(у-уо) илн, если ввести обозначения го = Аг = А.г (хо уо) ~ х — хо=Ах, у -уо= Ау, — выражению Аг-(А Ах+ВАу). Ввиду сделанного предположения, по крайней мере для точек М, достаточно близких к М„ будем иметь ~ Аг — (А Ах+ В Ау) ~ -- г --- -)гАхо;:!уз;- 4г"-, 2 2 так что — — - (А~ —; )В(.— +ф Ф/ !Д» 1г|т! !Ау! 11/ 1!ля~12 Е Е Е 2! (Е1 нли (усиливая неравенство) е — !А!-ь!311- — !1+ — ) . Отсюда — '.
2(!А ~ 5 ! В !) о 1, а следовательно„ г / О АЗВЗ 1 — — 1 2< -), =-1' что и требовалось доказать. Таким образом, плоскость (6) будет касательной к поверхности в том и только в том случае, если Отношение Ая — (А ах+ н Лу) е стремится к нулю вместе с Е, т. е. если имеет место разложение Аг=А/(хо, у)=А Ах+В Ауьо(Е) (ср. (4)). Мы приходим к окончательному заключению: для того, чтобы поверхность г=-Лх, у) в точке Мо(х„у„го), где го=Дхо, уо), имела касательную плоскость о), необходимо и достаточно, чтобы при х= хо, у.= уо функция /(х, у) была д и ф ф е р е н и и р у е м а. *) Имеется,в виду плоскость, не параллельная оси л. 25 Г. М. Фяя*ян лляо, т.
| 386 [181 ГЛ. Ч. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Так как при выполнении этого условия коэффициенты А и В необходимо равны частным производным 1'(х„уе) и уз(х„уе), то касательная плоскость выразится уравнением ко=Ихе Уе)'Р хе)+Уу(хс Уе)'(У Уа). Обычно значков при х, у, к не пишут; тогда уравнение касательной плоскости принимает вид Е=.Яхю у) (К вЂ” х)+ту(х~ )') (г — Р). (7) Нетрудно видеть, что если пересечь поверхность и касательную к ней плоскость любой плоскостью, параллельной оси к и проходящей через точку М, то в сечении с первой получается некоторая кривая, а в сечении со второй — касательная к ней прямая *).
н частности, в сечении поверхности плоскостями 1'=ус и К=хе получатся кривые, угловые коэффициенты которых **) соответственно равны: Яхе уе) " Д(хе ус). На рнс. 10[ отрезки К,М„, КЕМ и КМ представляют частные и полное приращения функции, а отрезки К,ЖГ, К,зчв и Кззг — частные и полный ее дифференциалы (ср.
и' 104 и рис. 44). 181. Производные от еложнык функции. Пусть имеем функцию У" и = 1(х, у, г), определенную в (открытой) области ®, причем каждая из переменных х, у, к в свою очередь, является функцией от переменной т в некотором промежутке: х =ш(1), у =чз(т), к = [[(1). Пусть, кроме того, при изменении 1 точки (х, у, к) не выходят за пределы области р3). Подставив значения х, у и е в функцию у, получим сложную функцию: и = ['(сз(т), и(1), у(т)). ') Ниже [234[, будет рассмотрен более общая вопрос о касательиык к любым кривым, проведенным по поверкности через данную точку. чч) Легко сообразить, по отношению к каким координатным системам вы- числяются зги угловые козффипиенты.
387 78ц 8 з. пуоизводнь5н гл днеентпнциялы Предположим, что и имеет по х, у и г непрерывные частные производные и„, и'„, и,'*) и что х,', у,' и г,' существуют. Тогда можно доказать существовнлйе производной сложной функции и вместе с тем вычислить ее. Действительно, придаднм переменной 7 некоторое приращение Аб тогда х, у и г получат соответственные приращения Ах, Ау и Ах, функщтя же и получит приращение Аи. Представив приращение и в форме (1) (это мы можем сделать„ так как предположили существование н е п р е р ы в н ы х частных производных и„', и'„, и,'), получим Аи=и'.Ахьиу.Ау5-и Ах ьп.Ах+р Ау-ьу Ан, где и, б, у О при Ах, Ау, Аг О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
