Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Последовательность (М»), очевидно, и будет искомой. Теперь можно сформулировать такое условие, необходимое и достаточное для сущеаивования предельного равенства (6) (или (6*)]: если извлечь из оль последовательность (М») огпличных от Мь точек, сходящуюся к Мь, то числовая последовательность (ДМ,)), состоящая из соответствующих значений сйунк«1ии, всегда сходится к А. Необходимость. Пусть имеет место (6«), н по заданному е О найдено соответствующее ему г»О, в согласии с определением предыдущего и'. Если последовательность точек (М») сходится к М„ то — для достаточно больших к — будет МОМ»«г, а это влечет за собой неравенство (у'(М») -А ! е, которое и показывает, что ЯМ»)-А.
Д о с тат очи о ст ь. Предположим теперь, что выполняется высказанное выше условие. Для того чтобы доказать наличие равенства (6*) в соответствии с определением предыдущего и', допустим противное тому, что содержится в этом определении. Тогда для н ек о т о р о г о числа е О уже не существует соответствующего г, т.
е., какое бы число г»О ни взять, всегда в ОЖ найдется такая (отличная от Мь) точка М', что одновременно М,М'. г, но (ДМ') — А) е. Взяв положительную варианту г„О, станем за г поочередно брать числа «„; для каждого г» найдется, по сказанному, своя (отлнчная от М,) точка М», для которой М«М» г„, но ~У(М») — А ( е. Построенная таким образом последовательность точек (М») сходится к Мь, и в то же время числовая последовательность (у'( М„)) не может иметь поеделом А, вопреки условию. Это противоречие и доказывает наше утверждение, Читателю ясно, что высказанное условие дает д р у г у ю ф о р м у (на «языке последовательностейь) определения предела функции. Таким образом, и для функции нескольких переменных удается вопрос о пределе функции свести к вопросу о пределе варианты (ср.
53]. Этот результат легко распространить и на случай, когда числа А, а„..., а„, нли некоторые из них, бесконечны. 358 Гл, ч. Фуыкции нескольких пеРемеддных 11Е7 Указанное обстоятельство позволяет распространить на новый тип предела все основные понятия и предложения развитой в главе 1 теории пределов — наподобие того, как зто было сделано в 55 для предела функции от одной независимой переменной. 167. Примеры. 1) Пользуясь теоремой о пределе произведения, прежде всего, легко показать, что 1пп Сх",' ...
х"„" =Сад" ... а"„", х а» х а где С, а„..., а„— любые вещественные, а Р„..., Є— неотрицательные целые числа. Отсюда, если через Р(хд, ..., х„) обозначить целую рациональную функцию ]163]: Р(х„..., х„)= ~ Се „.хд ... х'„", » по теореме о сумме, получается также 1еп Р(хд, ..., хп) =Р(сд,..., а„). х, а, Аналогично для дробной рациональной функции [163] по теореме о пределе частного, 1пп Д(х„..., х„) = Яа„..., а4, х, а, х„а конечно, лишь при условии, что знаменатель в точке (а„..., а„) в О не обращается. 2) Рассмотрим степенно-показательную функцию хз при х О и произвольном у. Тогда, если а .О и Ь вЂ” любое вещественное число, будем иметь !Лп хт=а», х а Р-» Действительно, если взять любые варианты ха а и у„Ь, то ]ср. 78] ХУ» — ЕР» 1пх» Е» ° !па дд» и а это — иа »языке последовательностей» вЂ” и устанавливает требуемый результат.
559 $67! $1. основныи понятия 3) Пусть о вариантах х„ н у„ известно, что они имеют пределы, соответственно, а и Ь, и ставится вопрос о пределе составленного из них выражения х„-1-у„, х„у, — или ху". «' «~ « ' Для случая так называемых неопределйнных выражений, условно характеризуемых символами: как мы знаем [31, 781, предел может вовсе не существовать, а если 'существует, то может — при тех же а н Ь вЂ” иметь различные зна- чения, в зависимости от частного закона изменения вариант х„ и у„. Если вспомнить определение предела функции д в ух независи- мых переменных на «языке последовательностей», то станет ясно, что упомянутые типы «неопределенностей» связаны с фактом н е- сущес т вов ания следующих пределов: х . х 11щ (х — у), 1пп х у !пп —, !(гп х +« о ау -- ~У' +«у +ф у О ! + « !пп х', И!п хт, 1пп хт, х ! «а «+ю у-+ у о у-з 4) Поставим вопрос о пределе: Ещ з х'+У' у О (Функция здесь определена на всей плоскости за исключением именно точки х=О, у=О) Если взять две частичные последовательности точек 1 (-' -')) " 1 '% -'3 очевидно, сходящиеся к точке (О, О), та окажется, что при всех А /! !! ! /2 1! 2 г" (Мл) =у~ — —,) = —.
а 1(Л1л) =/г! —, — ) = —. '!а ' д) 5' Отсюда уже следует, что упомянутого предела ие существует. Предлагается аналогично убедиться в том, что ве существует предела т» у» !!щ, »> «ох'+у» у 5) Наоборот, существует предел х'у 1!щ —,;,=О. лх'+У' у О Это сразу вытекает из неравенства '+ '! 2( 360 ГЛ. Ч. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕРЯМВННЫХ в 1168 Точно так же доказывается, что и хв+ уз йпз — = О. х о ха+ух у-о 168.
Повторные пределы. Кроме рассмотренного выше предела функции Лх„х,..., х„) при о д н о в р е м е и н о м стремлении всех аргументов к их пределам, приходится иметь дело н с пределами другого рода, получаемыми в результате ряда и о след о в а те л ь н ых предельных переходов по кажцому аргументу в отдельности, в том или ином порядке.
Первый предел называется п-кр а т н ым (илн д в о й н ы м, т р о й н ы м и т. д. — при л = 2, 3, ...), а последний— и о в т о р н ы м. Ограничимся для простоты случаем функции двух переменных У(х, у). Допустим к тому же, что область аМ' изменения переменных х, у такова, что х (независимо от у) может принимать любое значение в некотором множестве Оь, для которого а служит точкой сгущения, но ему не принадлежит, и аналогично у (независимо от х) изменяется в множестве а)) с не принадлежащей ему точкой сгущения Ь.
Такую область оаа можно было бы символически обозначить, как ХХН). Например, (а, а+Н; б, ЬьК) =(а, а;Н)х(б, Ь+К). Если при любом фиксированном у из аз! существует для функции Дх,у) (которая оказывается функцией лишь от х) предел при х-а, то этот предел, вообще говоря, будет зависеть от наперед фиксированного у: !цпЛх у) = р(у) х а Затем можно поставить вопрос о пределе функции у(у) при у Ь 1пп р(у) = 1цп 1нп Лх, у) у-О у в к«а — это и будет один из двух повторных пределов.
Другой получится, если предельные переходы произвести в обратном порядке: 1пп 1ппг"(х, у). х а у В Не следует думать, что повторные пределы эти необходимо равны. Если, например, в области й4'(О, + ; О, 6 ) положить х — у+ха+ух 1) Дх. у)= х+у и взять а=-6=О, то получим: с(у) !!ОпУ(х, у)- у — 1, !ппр(у)=!Нп !нпДх, у)= — 1, к О у-О у-О х-О в то время как Ч(х) !лпДх, у)=х-(-1, !ппн(х)=1лп 1нпПх, у)=1, у-о х О х Оу О 1681 36! 1 Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Может случиться ганжа, что один из повторных прсдслоо сущссгаусг, а друГой — НСТ.
Так будет, например, для функций: 1 хя)п — -1-у х Лх, у) =— х'1 „о ! или 3) Лх, у).--х ып —; » 2) а обоих случаях злссь существует поагориый предел !пп 11щ»", ио нет повторного у о,-о предела 1ип 1нп»" (а и последнем примере — нег даже посс»ого предела 11л1»). х-О»-о »-о Эти простые примеры показывают, насколько осторожным нужно бытьпри перестановке двух предельных переходов по разным переменным: не раз ошибочные умозаключения проистекали именно от такой незаконной перестановки. В то же время многие важные вопросы анализа связаны именно с перестановкой предельных переходов, но, разумеется, всякий раз дозволительность перестановки должна быть особо обоснована.
Один из путей к такому обоснованию открывает следующая теорема, которая в то же время устанавливает связь между двойными и повторными пределами: Теорема. Если 1) существует(конечный или нет) два й но й пре- дел А=!нпЛх, у) а »-ь и 2) при любом у из н1 существует (нонечнолй) пр о ст о й предел по х у(у)=11 Л., ), гпо существует повторный предел 1пп 9(у) = 1нп 1нп Лх, у) у-ь у Ь х а и равен двойному.
Докажем это для случая конечных А, а и Ь. Согласно определению и" 163, по заданному е- О найдется такое Ь О, что |Лх,у)-А| -с, (9) |у(у) - А1-е. лишь только |х — а| Ь и |у-Ь|~Ь (причем х берется из А', а у нз -,"1)). Фиксируем теперь у так, чтобы выполнялось неравенство |у — Ь | ° Ь, н перейдем в (9) к пределу, устремив х к а. Так как, ввиду 2), Лх, у) при этом стремится к пределу ~р(у), то получим 362 Гл, ч. Функции нескОльких пеуеыенггьгх [169 Вспоминая, что у здесь есть любое число из ал, подчиненное лишь условию ~у-Ь| д, приходим к заключению, что А =1пп у(у) = 1пп )ЦЦЛх, у), у-а у Е х а ч. и тр. д. Если, наряду с условиями 1) и 2), при любом х из Ю существует (конечньгй) простой предел по у чг(х) = 1пп Лх, у), у-г то, как следует из уже доказанного, если х и у обменять ролями,— существует также и второй повторный предел 1цпчг(х) = 1пп 1ппДх, у) х а у а и равен тому же числу А: в этом случае о ба повторных предела равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
