Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(случай 1). Легко подсчитать, что т 10, М 12,6, так что М вЂ” «0,63. 2рл 0,061 Начинаем с Ь=2,1. По формуле (б): Ь-б - — =0,0061. Тенер!» пользуясь 10 неравенством (!1), мы заранее подсчитаем, какой точности можно ждать от х,'. х,' — 5 0,63 0,0061' 0,000024. Поэтому число 7(2,!) 0,061 х! = 2,1 — — = 2,1 — — 2,1 — 0,00543...
7"'(2,1) 11,23 округляем кв сторону корня» ва пятом знаке: х(=2,1 — 0,00544=2,09456. Так как ~(х,')=Л2,09456)=0,000095078690816, то теперь, по формуле (6), можно точнее оценить погреглностгс 0,000095. х, '-6 ' 0,00001. 10 1 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 157) ЗЗ5 Переходя к хз и снова прибегнув к (11), подсчитаем наперед: тз -Ь 0 63 0,00001з 0,000000000063. Поэтому число 0,00009%786908! 6 хз = 2,09456 — ' 2,09456 — 0,00000851841 6...
11,16! 5447808 округленное на одиыыалцатом знаке: хз =-2 09456-0 00000851841 = 2 09455148159, все же отличасгся от искомого корня меньше, чем на 0,00000000007. Итак, 2,09455148152 б 2,09455148159, 1 т. е. с=2,09455!4815+ — . 10" (Ь-а) !'(а), ДЫ х,-а- х;-Ь-— у'(Ы -У'(а) з"(Ь) тогда, по доказанному, а х, 6 -х,'нЬ.
При сведующем же шаге мы попросту заменяем в этих формулах а и Ь через х, и х;: (х; — хг) .у(х,),, л'(х() Хз = Хз хе=н,' — — — —, . у(х()-у(х,) ' ' у'(хг)' Этот процесс может бмть продолжен неопределенно; имея два приближенных значевия хн и х„', между которыми содержится корень (, мы переходим к следую- щей паре приближенных значений по (юрмулам: (хй †) У(хн) +г Г(хй) †)(хн) у<лп> хеез = Хе Пхй) ' Вторая из ыих тождественна с (10); первая же существенно отличается от (Я тем, что тонка Ь зоменлетсл здесь тонкой х', осе более и более близкой к б. Если неравенство (4) — для рассматриваемого случая — переписать в виде х-а Ь-а У(х) -Яа) л'(Ы -л'(а) и положить в нем а=х„я х х', то легко усмотреть, что упомяыутая замеыа Ь на хй снособстеует лишь более быстролгу нриблихеению хн т искомому корню (геомсгрически зто очеввдно!).
Таким образом, при комбинированном методе мы получаем одновременно недостаточные и избыточные приблнжчивые значеыия корня, которые стремятся к нему с разных сторон. В случаях 1 и 1У хн стремится к 8 слева, а х; — справа; в случаях же П и П1, очевидно, будет наоборот. Величина )хй-хн| не и о с р е дст вевн о позволяет судвть о качестве достигнутого приближения — в этом удобство комбинированного метода. Применение его советам промерами. 157.
Комбввироваввый метод. Этот метод состоит в одыовременыом использовании как метода касательных, так и метода хорд. Для определенности предположим, что мы имеем дело со случаем 1. Приближенные значения х, и хг вычислим, как и выше, пользуясь формулами (2) и (8): 336 гл. 1Ч. ИССЛЕДОВАНИВ ФунКциИ С пОМОщьиэ ПРОИЗВОднЫХ ]158 158.
Примеры и упражнения. Здесь предполагается пользование лишь к о мби ниро в анн ым методом. 1) Найти три вещественнык корня уравнения Лх) = 2ха — ха — 7х+ 5 = 0 с точностью до 0,001. Грубый график функцви у-у'(х) помогает найти промежутки, в которых содержатся зти корня: — 2 бг 1~ Ояба 1 1~(а<2; проверить это легко по изменению знака функции. (а) В промежутке (-2, — 1] 3'(х) бха-2х-7~.0, ~"(х)=12х-2 0 случай (П1). Так как 7(-2)- -1 О, )(-1) = 9 О, то правило Н ь ю т о н а надлежит применять к л е в ы м концам промежутков. Имеем: 7'( — 2) 21 н — 1 х,'- -2- — -- — 1,952...„ 2! 9 х,= — 1— = — 1,9.
9 — ( — 1) Округляя значение х,' в сторону уменьшения, получим число — 1,96 5,. Если же округлять его в сторону увеличения, т. е. в сторону корня, то получим число -1,95; но У(-1,95)=0,01775 О, т. е. в этом случае ыы перескочили через корень.
Это обстоятельство выгодно для нас, ибо дает возмоваюсть сузить промежуток, содержащий корень, н, отбросяв прежнее значение х, положить х] = — 1,96, х, — 1,95. Далее, имеем: ~( — 1,96) = -0,180672,,Г'(- 1,96) = 19,9696, 0,180672 хт = — 1,96+ = — 1,96+0,00904...
= — 1,95095..., 19,9696 0,01 . 0,01 775 х, = — 1,95- = -1,95-0,00089... — 1,95089... 0,01775+ 0,180672 Поскольку(, должна быть засвечено между этвми границами, то ясно, что 8г = — 1,9509ас,сот (так что требуемая точность превзойцена!). (б) В промежутке (О, 1] первая цронзводная т"(х) сохраняет знак минус, но 1 вторая производная у"(х) меняет знак, обращаясь в нуль в точке х= —. Это об- 6 стоятельстао заставляет предварительно еще сузвть промежуток. Испытывая значения х=0,5, получаем; у'(Оэ)=1,5»0; так как Д1)- — 1 О, то 6э содержится внутри промежутка (0,5, !], где у'"(х) сохраняет знак плюс (случай П).
И здесь правило Н ью тон а применяем к левым концам. Имеем: 1,5 0,5 х(=05+ — 0,7307 0,74, хг 1- — '=0„80. Округлеяие х, 'в сторону корня не привело к перескшцшанню через корень, ибо у(0,74) 0,082848 О. Наконец, 0,082848 ха = 0,74+ = 0,755..., 5,1944 0,01296 х,=080- ' =0756..., 0,298848 ! 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 337 !58! так, что 0,755... -,'»н0,756..,, и можно положить 5»=0,756 ас,ел. (в) В промежутке [1, 2) вторая производная сохраняет знак плюс, но первая производная меняет знак, обрашаясь в 0 при 1ч- [)43 х ' 1,26.
б Испыть»ввел» 1,5: Д1,5) = — 1, в то время как )"(2) = 3, так что 1,5 .', 2; г"(х) в этол» промежутке имеет знак плюс (случай 1). Имеем: 1 3 х,=1,5"; — нв1,6, х[=2 — — нз1,7; 8 13 чсрсэ корень н з,,ось не перескочили, ибо г(17) =-0 036. Наконец, 0,0568 х,=1,6+ ' =1,6Ч-0094...=1,694..., 0,604 0,036 х» = 1,7- — =-1,7- 0 005... 1,694..., 6,94 так что и.»» 1,694+а,ее». 3 а м е ч а н и е.
Так как сумма корней, по известной теореме алгебры, должна равняться 0,5, та этим можно воспользоваться для проверки. 2) Уравнение у(х) = х'-Зх'+75х-10 000= 0 имеет два вещественных корня: один между — 11 и — 10, а другой — межлу 9 и 1О. Нычислить их с точностью до 0,00001. (а) В промежутке [ — 11, — 10[ ('(л):- 4Х»- бх+ 75 - О, у'"(х) =! 2хз- б 0 (случай П). Получаем; 453 х[- — !1 ). — !0,33...
г. — 10,3, 5!83 1050 х, = — 10 — - — 10,23... =' — ! 0,2; 4503 н псовом случае мы окру»лили в сторону корня, но через него не перескочили. Лалес, 164,3181 = — 10,3-ь — = — 10,262... †'- — 10,262, 4234,108 25 27»984 ха=-)а,г- ' --!0,2ЬО... н -!О,гб»О 4!7,1165 (то же замечание). Наконец, 4,334569118736 х,' = — 10,262 Ч- = — !0,262+0,0010354... — — 10,2609645., 4186,137218912 0,00807038048 х» — 10 260— = — 10,260 — 0,0009642...
— 10,2609642 .. 8,369759358736 так что »» = — 10,260964-о,оосое» (даже с большей точностью, чем требовалось). ЗЗ Г. М. он»»с»»сень»с, с. » 338 гл. Уж исслвдовянив Функции с помошью пвоизводных [158 (б) В промежутке (9, 10] У"'(х) 0 и Г(х)» 0 (случай 1). Здесь: 3007 х, = 9+ — = 9ч-О 869... ='987 (в сторону корня!). 3457 450 х;=10--.- - 10-0,112... "9,89; 4015 1,2389658878 х„9,87+ = 9,87+ 0,01 599... 9,88599..., 77,4689008 15,52060641 х! = 9,89— = 9,89- 0,003993... = 9,886006...
3885,106676 так что, очевидно 6, = 9,88600 за,ею!. 3) Рассмотрим уравнение .Г(х)=х яш х — 0,5=0. 0,5 Построив графики функций у=я!ох и у- — (рис. 88), видим, что оии пере- х секыотся в бесчисленном множестве точек, так что наше уравнелие имеет бесчисленное множество корней. По графику видно также, что наименьший положительный корела 6 близок к 0,7; поставим себе задачей вычислить его с точностью Рис.
88. до 0,000001. (Здесь следует иметь в виду заме чаи и е об округлении в долях грщуса, которое было сделано по поводу задачи 4) в 166.] Подставляя в функцию 3'(х) зиачевия а=0698!317... (40') и Ь=07853982... (45'), получаем в первом случае стрвпательвый результат, а во втором — подожитеш имй, значит, а Ю Ь.
Обе производвые У'(х),,Г"(х) и этом промежутке имеют знак плюс (случай 1). Схема вычислений: хг 0,6981317. +0,0419512... х( 0,7853982... - 0,0438510... первую поправку юкругляемв до 0,0418879... (2'24'), а вторую — до 0 0439231 .. (2'31'), так что околчательио х, =. 0,7400196...
(42'24'), х( = 0,7414741... (42'29'). 1 5, пРиБлиженнОБ Решение уРАВнений 339 Далее, х, О 7400196. ° +О 0008211... =-О 7408407.. х', 0,7414741... -0,0006329... =0,7408412.. откуда и получаем с требуемой точностью: 6 = 0,740841+с,еееепз. 4) В заключение вернемся к уравнению г"(х) = хе — х — 1 О. Мы видели в 81, что оно имеет корень б мемду а=1,22 и 6=1,23. Установить, какую точность в определении этого корня дает всего лишь двукратное применение комбинировавного метода. Схема вычислений (случай )): 0,0000466544 х, = 1,22+ = 1,22073... = 1,2207.
0,06353115 0,05886641 х;=1,23- ' =1,22086... =1,2209; 6,443468 0,00000005533760598398 х, =- 1,2207+ = 1,22074407... 0,001255538012096 0,0009788499821761 х; = 1,2209- =1,2207441". 6,279478581316 Таким образом, б = 1,2207441 5.е,вхио51.
ГЛАВА ПЯТАЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В 1. Основные понятия 159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры. До сих пор мы изучали совместное изменение д в у х переменных, из которых одна зависела от другой: значением независим о й переменной уже вполне определялось значение з а в и с и м о й переменной или функции. В науке и в жизни нередки, однако, случаи, когда независимых переменных оказывается несколько, и для определения значения функции необходимо предварительно установить значения, совместно принимаемые всеми этими независимыми переменными. 1) Так, например, объем Е кругового цилиндра есть функция от радиуса Я его основания и от высоты Н; зависимость между этими переменными выражается формулой которая дает возможность, зная значения независимых пером е н н ы х Я и Н, установить соответствующее значение $'.
Объем Е усеченного конуса, очевидно, является функцией от т р е х независимых переменных — радиусов А и г обоих его оснований и высоты Н, по формуле 1'= — (й' г йг о г'). оН 3 2) По закону О ма, напряжение 1' в цепи электрического тока связано с сопротивлением Е цели и с силой тока 1 зависимостью г'=Ш. Если Е и Я считать данными, то отсюда определится 1 как функция от Еи Рп 3) Пусть температура массы газа, находящегося под поршнем цилиндра, не постоянна; тогда объем Е и давление р одного моля газа связаны с ее (абсолютной) температурой Т, так называемой, формулой Клапейрона: рЕ=ЕГ (я =сопзг). 160] 1 ь основнын понятия 341 Отсюда, считая, например, 1' и Т независимыми перемени ы м и, функцию р можно выразить через них так: кт р= — ° 4) Изучая физическое состояние какого-нибудь тела, часто приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
