Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 62
Текст из файла (страница 62)
При этом мы снова будем иметь случай использовать основные понятия и методы дифференциаль- ного исчисления. Мы будем всегда предполагать выполыеиие следующих условий: 1)»бункдия з"(х) в промежутке [а, Ь] непрерывна вместе со своими производ- ными у'(х) и з "(х); 2) значения У'(а) и У(Ы»У»уикдии на кондак ирол»ежутка имеют разные знаки: )(а) у"(Ы О; 3) обе производные Г'(х) и з'"(х) созранлют каждая определенный знак во всем промежутке [а, Ы. Из непрерывыости функции у"(х) и условия 2) следует, что между а и Ь содср- жится корень д уравнения (1) [йй].
Так как производная у'(х) сохраняет знак [3)], то у'(х) в промежутке [а, Ь) возрастает или убывает н, следовательно, обращается в О лишь однажды: корень д изолирован. Условие 3) геометрически означает, что кривая у= б(х) не только идет в одном направлении, — все время вверх или все время вниз, смотря по знаку Дх) [132], ио к тому же (строго) выпукла вниз или вверх, смотря по знаку У"'(х) [143]. На рнс. 82 изображены четыре возможных случая, отвечающих различным комбина- циям знаков у"(х) и Г"(х).
В алгебре устанавливается, что при вычислении (вещественных) корней а л- гебраических уравнений всегда может быть создано такое положение вещей, при котором выполняются условия 1), 2), 3), так что эти условия принци- пиально не ограничивают приложимости излагаемых ниже приемов. Этого нельзя сказать по отношению к трансцендентным (т. е. неалгебраическнм) уравнениям. Однако на практике поставленные ограничения ма:ю стеснительны, так как в большинстве случаев высказанные условия выполняются.
151. Правило пртюрцнональных частеи (метод хорд). Если промежуток [а, Ь] достаточно мал, то с известным приближением можно считать, что — при изме- нении х в его пределах — приращение функции у'(х) проц арционально приращению аргумента. Обозначая через д корень функции, имеем, в частности, Дд) — у'(а) с — а з(Ы-з(а) Ь вЂ” а ' откуда, с учетом того, что у(д») = О, (Ь-а) У(а) с — -' ив у(Ы-Ла) 3»»ким образом, зв ириближсныос значение корни здесь прннимасзся число (Ь вЂ” а) у"(а) 1'(Ь) -у'(а) Это выражение, очевидно, можно представить и в такой форме (Ь-а) ЯЫ х,=-Ь— у'(Ь) — у"(а) Изложенное правило получения приближенного значения корня и называется правилом пропордионольности частейв).
Оыо допускает простое геометрическое 326 гл гч исследование Функции с помоигьи) пвоизводных [154 истолкование. Заменим лугу ММ' кривой (рис. 82) — х о р д о й ММ'. Уравнение последней может быть написано, например, в виде У(Ь)-У(.) «-у(в)= (х-а). (3) Ь-а Наше правило, по существу, сводится к тому, что вместо точки А пересечения крив ой с осью х определяется точка 1) пересечения с осью х втой хорды, ,г Рис.
82. 2[ействительно, полагая в (3) у=б, длл абсциссы хг точки 2) получаем именно выражение (2). В связи с згим правило пропорциональиык частей называют также нелюдем хорд. Обратвмся теперь к исследованию вопроса о положении точки хг по отношешпо к корню 4. Непосредственно ясно, что точка х, лежит между а и Ь, ло с какой стороны от 47 Так как в случаяк 1 и П (1П и 1У) мы имеем дело с выпуклой вниз (вверх) функцией, то кривая ММ'лежит под(над) хордой ММ; т.
е. у'(х) у'(а)+ (х- а) (а х Ь). у(Ь) -у'(е) (4) ( ) Ь-а Полагая здесь х= х„непосредственно получаем Дхг) < О, ( ) так что у'(хг) всегда имеет знак, противоположный знаку у "(х). Отсюда, наконец, заключаем, что в случаях 1 я [7 зялчеяяе х, явжят мелсду а и 8, в случаях же П и Н[ - между Ь я Ь, 154] 1 5. цгинлижинноп Рнпшнин уРАВнений 327 Ограничиваясь случаями 1 и 1Ч,применим снова наше правило, иа этот раз к промежутку [х„6]; заменяя в (2) а на х„получим новое приближенное значение корня [: (Ь х5) 'У (х~) г'(6) -г"(х,) содержащееся, по доказанному, между х, и 8, Этот процесс можно продолжать неопределенно н построить последовательность асе в о з р а с т а ю щ и х приближенных значений амх, хз ...
Хл хя [г При этом любые два последовательных значения ха и х„ч, связаны формулой, аналогичной (2). (Ь -ха).У(х„) у'(Ь) — г"(х„) Покажем, что, с возрастанием я, х„-Е В самом деле, монотонно возрастающая, но ограниченная (например, числом 1) переменная х„должна стремиться к некоторому конечному пределу а м8. Если перейти к пределу в 3 равенстве (5), используя при этом непрерывность функции Г(х), то полу'шм, что (Ь-и) 7'(и) =О, у(6)-Л ) откуда у(а) = О. Так как дрУгих р корней уравнения (1), кроме 8, в промежутке [а, 6] нет, то а=сь). Рис. 83 иллюстрирует постепенное приближение точек 25„)ум ... ° пересечения последоаательнык хорд с осью х к искомой точке А. Легко понять, что в случаях Рис. 83.
П или П1 повторное применение правила приведет к последовательности у б ы в а ю щ и х приближеннык значений Ь х,»хе х„х„м стремяшихся к корню 4 справа. Таким образом, во всея случаяк, применив достаточное число раз указанное выше правило, можно вычнслитькорень8 с л ю бой степенью точности. При этом, впрочем, остается открытым вопрос, как о ценить то ч ность Уже вычисленного приближенного значения х„.
Для решения его применим к разности у'(х„) — у(8) формулу конечных лрираше. иий [112]: У(хл) =г"(хл) -у'(с) =. (хл — 1) Х'(с) (8 й с ха). Отсюда .Г(х,) хя-(= —; / '(с) ч) Сходямость процесса можно установить и без предположения, относящегося ко второй производной, но тогда не исключена возможность того, что точки хя переходят с одной стороны от корня на другую, 328 гл. гч. исслндоиянип я<уикцин о помощью пвоизводиык [155 если обозначить через т наименьшее значение [7'(х) ! в рассматриваемом проме- жутке (которое можно раз навсегда вычислить наперед), то получим оценку: [у"(х„) [ [х„-6[*а —. т (6) Так по самой величине)(хл) оказывается возможным судить о близости х„к корню! Рассмотрим п р и м е р. Уравнение х<-2х'-4х-7=0 имеет корева между 3 и 4, ибо, если через Г(х) обозначить левую его часть ,У(3) = — 10 О, У(4) = 9 ь О.
Поставим себе задачей вычислить этот корень с точностью до 0,01. В промежутке [3, 4[ обе производные У'(х)=Зх<-4х-4 и у"(х)=бх-4 сохраняют знак ил<ос (случай 1); наименьшее значение первой из пих будет <я = ! !. Имеем: 7'(3) 1О х,-3- =34 — =ЗЧ-0,52... ! .7(4)-У'(3) !9 округляя, положим х,= 3,52. Так как 7'(3,52).= — 2,246592, то, по неравенству (6), требуемой точности еще иет. Продолжаем: 0,48,Г(3,52) 1,07836416 хе=3,52 — =3,526 =3,52+0,09... 7'(4) —,Г(3,52) ! 1,246592 или, округляя, хз 3,61.
Вычислив 7'(3,61)= — 0,458319 и пользуясь неравенством (6), снова видим, что цель еще не достигнута. Наконец, 0,39 У'(3,61) 0,17874441 х< 3.61 — 3.61 -1- = 3,61-~-0 0188" У(4) -Д3,61) 9,458319 0,041... [х, — Ц =1 — х< ' 0,004. !! Таким образом, 3,630 .с «3,634 т. е. 6=3,63ь<,ьи Этим примером мы ограничимся, так как метод хорд все же мало эффективен; ему следует предпочесть метод к а с атель вы к, к которому мы и переходим. 155. Правило Ньютона (метод касательных). Вернемся к прежним предположениям относительно функции Дх) [!53); искомый корень | этой функции изолирован в промежутке [а, Ь): а. 6 Ь. Отправляясь от какого-нибудь из концов этого промежутка, например, от Ь, напишем формулу Т е й л о р а с дополнительным членом в форме Лагранжа: 1 0=1(с)=!(Ь)+7'(ь) (с — ь)+ — 7 "(с) ° (с- ь) (с с ь). 2 (7) ОкРугляя, положим х<= 3,63.
Так как мы округлили <в сторону корня<, то могли и перескочить через него; что этого не произошло, видно по знаку числа г"(3,63)- = — 0,041653. На этот раз, по неравенству (6), 1 Е ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Огбрасывая дополнительный член, приближенно можно положить У(Ы+Г(Ы (с-Ь)='О, откуда 7(Ы (=ь- —, У'И) Таким путем мы приходим к приближенному значению корня ",; У(Ы хг=Ь вЂ”вЂ” .Г(Ы (8) Получение этого значения можно наглядно истолковать и геометрически.
Рассмотрим к а с атель н у ю к кривой у=Г(х) в точке М', с абсциссой Ь. Ее уравнение имеет вид у -з (Ь) = з"(Ы (х — Ы. ЯЫ ! У"'(с) Р х',=Р-Ь+-т —.- — —.—,(Е-Ь)-. у" (Ы 2 у"(Ь) (й) Но у«(х) в рассматриваемых случаях имеет одинаковый знак с Г(х), следовательно, (мх,. Окончательно: 4пх, Ь.
Аналогично, если исходить из точки а, и касательную к кривой провести в конце М (с абсциссой а), то, взамен (8), получим приближенное значение у(а) х,=а- (8") .Г'(а) Относительно вычисленного по этой формуле значения можно установить, как н выше: если значение г(а) — одного знака с з'п(х) (т. е. в случаях П и 1Щ х, 'лежит между а и Е Таким образом, для каждого из четырех возможных случаев указано, с какого конца гарантирована успешность приближения к корню по правилу Н ь ю т о н а. Повторное применение его дает в случаях 1 и 1У последовательность у б ы в а юш и х значений: « Ь«хг хз ...«хп хпчч .
)8 а в случаях П и ПП вЂ” последовательность возрастающих значений: « « а хг хз .. хп хпм причем вычисление последующего значения по предыдущему всегда производится по формуле Дх ) хпы —. Хп— (10) 7' '(л„) Полагая здесь у= О, найдем абсциссу точки Т' пересечения касательной с осью х; она в точности совпадает с (8). Значит, суть дела в приближенной замене дуги криной ММ' — каса т ель и ой к ней в одном из ее концов (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
