Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 61
Текст из файла (страница 61)
д. Замечание. Иногда при раскрытии неопределенностей рассматриваемого вида можно обойтись ф о р м а л ь н о без применения указанных выше теорем, используя разложения функций по формуле Тейлора [124 — 125). Пусть х О (к этому случаю всегда можно свести дело). Если с помощью известных разложений удается выделить из числителя и знаменателя главные члены: 1'(х) = ах" + о(х"), я(х) = !«хм + о(хм), то становится сразу ясен предел дроби: он равен нулю, „-или у(х) . а к(х) ' -(, смотря по тому, будет ли л больше, равно или меныпе л«о*). [Ср. 62, 63.! Так, в примере 1) имеем, заменяя функции е", е " и 1п (е -х) — ! = =!п [1 — -1 несколькими первыми членами их разложений; е) (1+х-«-...) — (1 — х-1-...) .
2х+... 2е !пп -= йгл " (--'+ "~'-')"- ' ч) Функции у"[ — ) и я~ — ) мм дифференпируем по «как сложные функции. « **) В последнем случае з н а к бесконечности нетрудно сообразить по знакам а и (ь а также (в случае нечет но от и разност~ «л — и) по знаку х. 320 гл. гч. исслндовкние пункции с помощью производных [131 Аналогично в примере 4): ха х' х+ — + ...) — х 1пп -) 3 ) . 3 — — = 1пп х — '[х — — -г- ...) —.г. ° ° Предлагается, в виде упражнения, тем же методом решить примеры 3) и 5).
151. Неопределенность вида ~~. Обратимся к рассмотрению не- определенных выражений вида —, т. е. исследуем вопрос о пределе отношения двух функций у(х) и д(х), стремящихся к + - (при х а). Покажем, что в этом случае применимо то же правило Ло и ит а л л: следующая теорема есть простая перефразировка теоремы 3.
Теорема 4. Пусть: 1) функции Ях) и(((х) определены в промежутке (а, Ь1, 2) 1пп Т(х) = ч -, 1пп д(х) = ч, 3) существуют в промежутке х а х-а (а, Ь) конечньге производные ~'(х) и я'(х), причем я'(х)мО, и, наконец, 4) сущеопвует (конечпый и ггг нет) предел [пп —, =- К. К(х) ,, в'(х) Тогда и Ыш =К х а К(х) Дока з атель ство. Рассмотрим сначала случай конечного К. Так как производная К'(х) не обращается в нуль, то по теореме Д арбу [110) она сохраняет знак, и функция «(х) изменяется монотонно [132). Из 2) тогда ясно, что «'(х).
О и я(х) с убыванием х монотонно возрастая стремится к 4-. Можно считать, что всегда д(х) О. Задавшись произвольным числом (е О, в силу условия 4), найдем такое г) О, что при а х а-ьг) будет з (х) г е. к'(х) ( 2 ' Положим для краткости а+г) = х„и возьмем х между а и та. К промежутку [х, хе) применим формулу Ко шн а): У(х) -Пха) з"'(с) В(х) — К(ха) В (с) ") В этом — сушественное отличие от доказательства теоремы 3: здесь нельзя применить формулу Коши к промежутку [а, х1, ибо, как бы ни определять 4гункпии Дх) н к(х) в точке а, ввиду 2), из них не получить функшгй, непрерывных в этой точке. 1 а РАскРытия неОПРеделенНОстей 321 где хге с -х„, следовательно, Лк) .
1У(хя) -Г( К(х) ! У (х) - У(х) о Р(х) ! Л(х) ! ! Р(х)-У(хь) Второе слагаемое справа для х«х =а Рт) будет меньше —, в силу (1). Ввиду того же, что «(х)-ч-- при х а, первое слагаемое при этом стремится к нулю, н найдется такое Ь О (можно считать Ь. 7)), что для а=х -а+Ь первое слагаемое тоже станет меньше —.
Для 2' указанных значений х будем иметь тогда что и доказывает требуемое утиерждение"). В том случае, когда К= ~- - (и заведомо )'(х) м О, по крайней мере, вблизи а), имеем, меняя ролямиу'и я, у'(х) к(х) „. „У'(х) 1ип- —,=О, так что н !Нп — =О, „ , 1(х) откуда, наконец, 1ии — =и -, 7(х) Р(х) так как (по крайней мере вблизи а), очевидно, и Дх) О и «(х) О"*). Отметим, что доказательство без сузцественных изменений распространяется и на случай а= — -. Точно так же теорема могла бы быть доказана н для промежутка (Ь, а) (Ь а) как при конечном а, так и при а= ч- . Таким образом, на случай бесконечного предела аргумента теорема 4 распространяется автоматически.
В виде примера легко получить уже известные нам пределы: 1 1пх х 1 7) 1пп = 1вп — = 1(ш — = О я е х" я е-дх" ' х е Рх" (если Н О). *) Подчеркнем, что в нашем рассуждении мы фактически ве пользовались предположением, что 1пп 7"(х) Ч- [ср. доказательство теоремы Ш т о л ь И а в ЗЗ]. яя) Случай К= — при предположениях теоремы невозможен. 21 Г.
М. Фихтяяголме т. 1 /(х)- /(хя) .! е Напишем теперь тождество (которое легко непосредственно проверить): Ж) ~ У(")- И") 11 к( ~1(У(.)-У(") й1 Р(х) я(х) [ я(х)1[к(х)-Е(х) откуда зу2 гл. пь иссльдовянии еункции с помощью птоизводнь!х 115з хо, («ха 8) 1!гл — !лп — (а»!, д О). х + ах х е ах)па Если и 1, то отрока снова имеем иеопределеяиость того же типа —; ио, продолжая этот процесс и повторно применяя теорему 4, а конце коицоа получим а числителе степень с отрицательным (или нулевым) показателем. Поэтому, ао ясаком случае, ха ))гп — = О. «-ч ах Сделаем общее замечание относительно теорем 3 (3*) и 4. В них устанавливается предел отношения функций в п р е дп о л о же н и и, что существуе'г предел отношения производных. Но обращение этих теорем недопустимо, н первый предел может существовать при отсутствии второго.
Например, существует предел х-а- х хотя отношение производных, равное 1+соя к, предела при х чне имеет. 152. Другие виды неопределенностей. Предыдущие теоремы отно- О силнсь к неопределенностям вида — и — . О Если имеем неопределенность вцда О., то ее можно привести О к виду — или — и тогда воспользоваться правилом Л о п и т а л я. О Пусть 1пп Лх) = О, 1цп я(х) = '; х а Тогда имеем !'(х) я(х) =— Ях) я(х) я(х) ~(х) Пример. 1 х ха 1ип — = Π— Рх — о — ',-+о -р 1пх 9) 1пп (хх 1пх)- !лп — = 1пп х оо х-+о х '" «-+о (мы считаем р О). Второе из этих выражений представляет при х а неопределенность о вида —, третье — неопределенность вида —.
О' 1 4. РяскРытие неопРеделенностей згз 1 1 ,1 (х) - я(х) = — — — = 1 ! Е(х) х (х) 1 1 1 ! г(х) е(х) Пх) е(х) Часто, впрочем, того же удается достигнуть проще. П р и м е р. 1 ! хв совах — в1пхх 1О) Бт (с!ав х- — ~ =- !ии х о! хв~ х-о х' япв х но Хв,С052 Х-5!О2 Х Х,СО5Х+51ПХ Х.СОЪХ-ЯП Х Х.51П2 Х хв 5!и'х х предел первого множителя находится элементарно: х.совх+5!Ох / япх) 1ип = 11 ив ~ сов х 1- — ~ = 2, х-о х х о х а ко второму применяем теорему 3: Х СОЗХ вЂ” 5!П Х -Х 51П Х 1ип ' =1ип ,. о х япвх х о в!их«в-гх япх сов х — ! 1 3 =. 1!ш х-о Них — — Ч2 совх х 2 Таким образом, искомый предел равен — —. 3 В случае неопределенных выражений вида 1", Оо, о рекомендуется зти выражения предварительно прологарифмировать.
Пусть у = ()(х))К"); тогда 1П у = я(х) ° 1п Лх). Предел 1и у представляет собой неопределенность уже изученного типа О.. Допустим, что одним из указанных выше приемов удается найти 1пп!и у, х а который оказывается равным конечному числу /с, -!- илн Тогда Ищу, соответственно, будет е", 4- - или О. «»а П р и м е р ы.
11) Пусть яи Х)1-мхх +) "' х Требуется найти !Пп у при х-О (неопределенность вида; 1"). 21» о К виду — или — всегда можно привести и неопределенности вида Π— . Пусть имеем выражение Дх) - я(х), причем 1ппу(х) = 4-, 11ш «(х) = + -.
х а а Тогда можно произвести, например, следующее преобразование, своо дящее зто выражение к неопределенности вида —: О' 324 гл. !Ч. ИССЛРДОВАНИЬ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ )153 Если считать х 0 (этим предположением, ввиду четности функции у, можно гн РЕЗП1ЧВТЬСя), тО !п зш х — 1п х )ну= 1 — соз х Применяя теорему 3 (и используя уже найденный в предыдущем примере резуль- тат), получим: соя х 1 япх х х'сОзх — зцзх 1 1!ш1иу=йш =-1йи х-е х-е них х е х ° Яихх 3 откуда 1 — 1 1цпу=е з х-е з уе 12) '!м х у-.
~--агс!йх) '12 Прн х--1- это выражение представляет неопределенность вида Ое. Имеем !п 1 — "" - агс!8 х ) !2 !пу- 1пх По правилу Л оп и галя: 1 1 1ип 1п у= х 1-хе 1 -1- хх 1ни х е агсги х— 1-х' !йи -„=- — 1. х + 1+хе 1 так что 1пп у= —. к-+- е 8 5. Приближенное решение уравнений 153. Вводные замечания. Займемся теперь задачей о нахождения к о р и е й данной функции,Г(х), т. е. корней уравнения ~'(х) =-О. (1) Впрочем, решать эту задачу мы будем в предположении, что интересующий нас корень б изолирован, т. е. что найден содержащий его промежуток [а, б): а«б«б, в котором других корней нет.
если, сверх того, на концах промежутка фушщия у!Х) имеет значения гга) Иу"гб) разных знаков, то, как это было разъяснено в п' 81, в связи с применением !-й теоремы Боль цаво — Коши, последовательно деля на части промежуток, содержшций корень, и определяя знак функции у!х) в точках деления, можно произвольно сужать этот промежуток и тем осуществлять приближенное вычнсле- л 1+ х* — -агсейх 2 !ци х 1 х (1+ х')' — 1пп л х-+- 1 2 ! -Рхз 1 5. НРиБлиженное Решение уРАВнений 325 154] (2*) ") В старину его называли»правилом ложного положения» (гейл]а (а]51), ибо оно основано на предположении, которое, строго говоря, не отвечает действытельыости.
вне корня. Однако. этог прием, несмотря на его принципиальную простоту, на практике часто оказывается непригодным, ибо требует слишком большого коли- чества вычислений. В настоящем параграфе читатель познакомится с простейшими приемами приблюкенного вычнслеыия (изолированного) корня уравнения (1), которые более систематически и более быстро ведут к цели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
