Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Имеем 2/ уе= -2созр з!пар+сезар=2 сезар! — -ьйзр); Ь Л 1 1 м е ж д у О и — производная обращается в нуль лишь прв !й р —, р - агсгй— 2 "!Г2 7'2 (что отвечает 35'15'52"), меняя при этом знак плюс на минус. Этот угол доставляет выражеишо у наибольшее значение, а обьему е — наименьшее. !э* 292 гл. гч. нсслндовлннн и нкции с помощью ш онзводных 1140 4) Груз веса С, лежащий на горизонтальной плосксспь должен быть сдвинут приложенной к нему силой (рис. 68). Под каким углом к горвзонту — лри наличии трения — надлежат приложить зту силу, побы величина ее Р была навменьщей2 Код , 'зффицвевт трения д дав.
У к а з а н и е. Трение считается пропорциональным силе, пршкимающей тело к плоскости (закон К у л о н а), и направлено против двшкенел. Мнол:и- тель пропорциональности Н и есть екозффяциент тренвяз. Олределвм силу Е, которая соответствует далРис. 68. ному углу 9. Разлагал сепо горизонтальному я верти- кальному направлешшм, лолучим для составляющвх величины Р соз В и Е зш 9.
Сила, лршкимающая тело к плоскости, будет С- Р зш В, так что, по эшюну Кулона, трение Я -Л(С вЂ” Р эш 9); горизонтальная составляющая Р соз 6 тянущей силы Р как раз и дожкна уравновешяаать его трение: Р соз В -д (С вЂ” Р. жп 6), дС соз В+да(л 6 Речь идет о разыскании ла и мел ь щего значения этой функцни — или наибольшего значения функции у-аиВ+дзш 6 — лри изменении 6 в прол1 Р МсжУтКЕ [О, -~. ПРОИЗВОЗЩал Уе=ДСОЗВ-ЗШ В ООРШластСЯ В НУЛЬ, ЕСЛИ 189=в вли 6 агс(йд; этот угол В называетсяауглом трениюь Так как уф- -дзш 6 — соя В О, то лрилагать силу под углом трезва оказывается навболее выгодно.
Например, если нужно сдвивуть камень по деревянному настилу, то д = 0,4 и Вл22'. 5) Известно, что стоимость плавания судна в течение часа выражается в рублях змпнрической формУлой а+Ьеэ, где ли Ь вЂ” постоянные, которые должны быть установлены отдельно для каждого судна, а е — скорость судна в узлах (узел 1,85 кл~/час)*). Пря какой скороспг (еэкономическойе) судно покроет любое расстояние с наименьшими затратами2 1 На локрыгие 1 кл потребуется — часа„соответствующие затраты выразятся 4юрмулой 1,85е 1 1 ( а) — (а+ Ьез) = — ~Ьез+ — ~ .
1,85е 1,85 ~ е~ я Прираенивавия нулю провзводвую выражения У =ЬезЧ вЂ”, получим уз=2(е- е а 11 а 2а — — =О, откуда е= ~ —. Так как уе(=2Ь+ — О, то лри найденном значении е еэ ~ 2Ь ез затраты действительно доствгают н а и м е н ь ш е й величины. Численный лример: а-40, Ь=0,01, е- 1'2000ш12,6 (Узлов), *) В этой формуле лостоянная часть расхода а относятся к амортюации и к содержанию команды, а второй член Ьез — к стоимости топлива.
Ио[ % ь изучении хода измицицил Функцзги 6) Пусть электрическая лампочка может передвигаться (иапрвмер, иа блоке) по вертикальной прямой ОВ (рис. 69). На каком расстоявии от горизовтальиой плоскости ОА ее следует помесппь, чтобы а точке А этой плоскости получить наибольшую осаещеиыость7 У к а з а и и е. 0<зешеыыость,У пропорциональна эш и и обратно пропорциоыальыа квппрату расстоявиа г=АВ, т. е.
зшр у=с— гэ где с зависит от сипы света лампочки. Ясли за независимую переменную брать Ь ОВ, то Ь ипр- —, г= ~У+а' г' вы- Ы Ь у= с. (О Ь«+ ). Ф (Ь*+а )з/з Далее, провзводвая Рис. 69. аз-2Ьз (Ьз+ аз)э!з а обращается в вуль при Ь вЂ” ='0,7а, меняя зыак при переходе через это злаченые [[2 с плюса ва мвиус. Это и есть ваввыгодыейшее расстояние. Можно выбрать за независимую переменыую угол р; тогда а с — — а= — сщрйэшр, сокр сз ы дело сводится к разыскаывю наибольшего звачевия для функции у= сок'рзш 9 в промежутке ~0, — 1, Но мы уже зваем [см. задачу 3)[, что это ваыболыпее звачевие '2) досппается при угле ре дпя 1 которого гйф, —. Для расстоя'г'2 иия Ь получаем прежнее зиачев иие я гИЪ = — .
[Г2 7) Из точки А, находящейся ыа железнодорожной магистрали — ! АВ (рис. 70), грузовой поток налравляетса в точку С, отстоящую ва расстояние СВ-1 ст Рве, 70. лвыви железной дороги. Стоимость провоза весовой единицы иа едввипу расстоявия есть а — по железпой дороге и  — при гужевой траыспортвровке. К какой точке М следует проаесты шоссе МС, пабы провоз груза из А в С (по линии АМС) был возможно дешевле7 При обоэвачешшх чертежа стовмость провоза весовой едивицы груза — пря провзвольыом положеивв точки М вЂ” оказывается равной у а(а-х)+ЯР+ [э (О мх«А). 294 ГЛ.
ЧЧ. ИССЛВДОВАНИВ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ !141 Имеем Если 7см*! (ш=р), то это выражевие сохрапяет звал мивус, ве о б раша я с ь в о все в лу л ь. Функция у убывает с возрастанием х от О до А и, очеввдво, достигает своего вавмевьшего значения при х=а. В этом случае всего выгоднее начинать шоссе непосредственно у точки А. То же справедливо и при Л 1, если только одвоврсмевло ы — ~А. )'~-~я Действительно, при й «1 выражение х 'у'хэ Ф д имеет едиястееявый корень ) 1-!ге Но при сделанном предположевли этот хоревь оказывается лежащим в я е допустимого для х промежутка взмевевия (илв иа конце его), тах что внутри промежутка щювэаодвая у» охаэывается отрицательлой.
Лишь в том случае, если упомянутый корень будет . а, это звачевие х определяет положевие точки М м е ж д у А и В, при котором расходы по перевозке булут ваимевьшими. 3 а м е ч а в и е. Пользуемся случаем обратять вввмавие чзпателя ва следующее обстоятельспю. При разысхавии наибольшего или наименьшего звачеВия фуяяции для определеввого промежупш измевешш аргумента легко может овазаться, что виутри этого промежутка вовсе нет корней проюводиой (или других «подозрвтельвыхв эвачеиий). Это свидетельствует о том, что в рассматриваемом промеаутяе фул»ция оказывается мовотоиво возрастающей или убывающей и, слаловательио, доствгает хах наибольшего, тах и ваимевыпего своего значения ва ловцах птюьгшаутха.
В последвей задаче при определенных соопюшевиях между входшцими в все величивами хах раз и осуществляется подобное полов«вне. 5 2. Выпуклые (и вогвутые) функции 141. Определевве выпуклой (вогнутой) фувкцвв. После класса монотонных функций, возрастающих или убывающих, выделяется класс так называемых выпуклых или вогнутых функций. Функция Лх), определенная и не лр ер ы в над в промежутке Ж*), наэываетсл в ы и у гс л о й (выпуклой в н и з), если для любых точек х, и хз из б (х, х) выполняется неравенство Яух,+д х,~~цт 5(хг)+д .Дх.), (!) «) Здесь СЬ снова может быть замвлутым илв иет, конечным или бесконечным.
1411 1 2. ВЫПУКЛЫВ (И ВОГНУТЬЩ ФУНКЦИИ 295 каковы бы ни были положительные числа ц, и цт, в сумме дающие вдитщу. Функция называется вогнутой (выпуклой веер х), если — вместо (1) — имеем*) Х(ц,х,+аезгт) а, 3'(х)+ае ~(хД. (1а) Очевидно, что, если функция Х'(х) выпукла (вогнута), то функция — Дх) оказывается вогнутой (выпуклой), и наоборот. Это простое замечание позволит нам во многих случаях ограничиваться изучением лишь выпуклых функций. Приведенное определение выпуклой функции имеет простой геометрический смысл. Прежде всего отметим, что выражение х=а,х,+цеха (х х ), (2) при наложенных на д и да условиях, содержится между х„и х,; обратно, каждое число х, которое содержится'между хт и х, может быть единственным образом представлено в указанной форме, с.
коэффициентами х,-х Цг= ' хе-хг и (2а) х-хг х,-х,' Если рассмотреть г р а ф н к функции Дх) (рис. 71) и его дугу между точками А„(х„уг) и А (х, у,), Рис. 71. где у,=Дх,), у,=лх,), то в левой части неравенства (1) — при коэффициентах (2а) — мы имеем ординату точки А дуги А,А с абсциссой х. В правой же части этого неравенства стоит ординвта точки В хорды АтА (3) с той же абсцнссой. Таким образом, выпуклая Функция характеризуется тем, что все точки любой дуги ее графика лежат п о д ° ) повятве выпуклой (вогнутой) Функивв было введено и е и с е и о м (х.
ь. ЧУ. У. Хепмп), который исходил, однако, вз более частного соотношения, чем (1) [или (1а)1, вмелио: (в ) 1 оло отвечает в„=в,= —. В случае вепрарыввык функций, которыми мы 2 огравичиваемся, его определеиие равносильно данному в тексте. зуб гл. »ч. исслндовлнив еункции с помощью производных 1143 соответствующей хордой или на ней. (В случае вогнутой функ- ции вместо »под» следовало бы сказать »над».) Одновременно с самой фуюсцией у(х) выпуклой (вогнутой) называют и кривую у =Лх).
Триииальиым примером аыпуалой (и — одновременно — вогнутой) фушшии слулшт ли пейна л функции у(х) ах+Ь: длл нее соотношение (1) еыпслюь етсл всегда со знаком р авен стаи. Выпуклой фушшвей будет и фуиацнч у"(х)= х», его легко проверить непосредстьенно по определению: (щх, + В,х»Р- В»х»»+В,х»+те»(х, - хд' В,хх,-»в,т», если „»»0, В,+4,-1. другие примеры выпуклых функций читатель найдет ниже. 143. Простейшие предлшкевня о выпуклых функциях. 1 .
Произведение выпуклой функции на положительную постоянную есть выпуклая функкия. Г'. Сумма двух или нескольких выпуклгвх функций тоже выпукла. В обоих случаях доказательство сразу получается из определения. 3 а м е ч а н и е. Произведение двух выпуклых функций может не оказаться выпуклой функцией. Пример тому будет дан ниже (в сноске на стр. 300). 3' Если 9»(и) есть вьтуклая и притом возрастающаяся функция, а и=лх) также вьтукла, то и сложная функция 9»(1'(х)) будет выпуклой. Действительно, ванну выпуклосгиу" [см. (1)] и возрастания р имеем 9»(Лчгхг+Чаха))'и9»(чг'.У(хг)+бз У(хы) а в силУвыпУклости 9»последнеевыРажепие не пРевосходит 9 9»(У(хг)) + + уз ° 9»(лх )), так что окончательно полУчаем неРавенство гу(1(9»х -~- дзх»))ша .
Я(х) ) + дз чЯ(хД, 9»(Дх)) и =Дх) 9(и) выпукла, убывает вогнута, возрастает вогнута, убывает вьтукла вогнута вогнута вогнута вогнута вьтукла которое и представляет собой соотношение типа (1) для функции 9»(У(х)). Предлагаем читателю доказать аналогичные утверждения, содержащиеся в таблице: 1421 Ь Э.
ВЫПУКЛЫБ ~И ВОГНУТЫБ) ФУНКЦИИ 297 4'. Если у=Як) и х я(у) суть однозначные взаимно обратные функции (в соответствующих промежутках), то одновременно 7(х) вьтукла, возрастает выпукла, убывает вогнута, убывает вогнута, возраспшет выпукла, убывает вогнута, убывает х, хв хя, чтобы хоть на одном из концов значение функции было строго мень- ше, чем в точке хь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
