Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 52
Текст из файла (страница 52)
2хл Заметим, что 1 Хз 0~ 7 '(х) ~ 25 — 0 1 при х- -ьО, отсюда 11Щ и у'(0) О. Можно построить примеры возрастающих (убывающих) функций, для которых точки, где производная обращается в О, распределены еще более сложным образом. Однако, подобнъте случаи встречаются редко, и для практических целей обычно полъзуются таким д о с т а. точным признаком: если лроизводнал у'(х) О ( О) повсюду. 272 гл. 1ч. иссладовлнив пункции с помощью производных 1132 213 ! !. ИЗУЧЕИИВ ХОДА ИЗМЕНВНИЯ ФУНКЦИИ 133] исключая разве лить конечное число значений х, то функция у(х) будет возрастаюацей (убыа аювцеЯ. Этот признак очень удобен в приложениях, 1)х Для примера рассмотрвм фушщию у(х)- (1+-~ при х 0 и докажем, что х) она в о з р а с т а е т.
Достаточно доказать, что возрастает ее логариФм Е(х) ]пу(х) =х(]п (х+ !)-]и х]. 1 Е'(х) ]]и (х+ 1) - ]и х] - — . х+1 Так как, по Формуле кояечиык приращений ]112], 1 ]п(х+1)-]пх —, где х 1 х+1, то Е'(х)»0: Е(х) возрастает, что и требуется доказать. 133.
Доказательство неравенств. Изложенный простой критерий монотонности успешно прнменяется к доказательству неравенств. 1) Докажем, что для О«х — имеем 2 2 илх — х зшх( л) Пусть у(х) = — ~0 «х~ — ) . Производная х 2 созх(х-гя т) !' л) у"'(х) - !(0» х« — ) х! ~ 2 будет отрицательна, так как х !Ех. Значит, Функция у(х) убывает иу(х) л ~У~ — ) = —, если 0 х» —. ~2) л 2 1 2) Функция у"(х) = соз х — 1+ — х! обращается при х 0 в нуль. Ее производная, 2 при х»0, .Г'(Х).= — 8]ЛХ+ХвО (Ибс 8ШХ»Х). Значит, функция у(х) для Х~О оказывается возрастающей, и при х 0 букету(х) «.У(О) О, т. е. ! соз х 1 — — х'. 2 Отсюда, аналогично, при х 0 получим.
что 1 83п х х — хе б и т. д. 3) Доказать, что лри 0 х.« — будет 2 1 цз х х+ — х'. 3 !8 Г. М. Фяхт«чгельч, г. ! 274 гл. тч. исслндонаннн вгнкцин с помощью пноиэводнык [1ЗЗ Для этого достаточно установить, что для указанных х производная функцнн тйх — х — — х', равная асс'х — 1 — х', положительна, т. е. что тд х — х ) О, 1 а а а это приводит к известному неравенству тйх) х [34 (9)). 4) Так как функция У(х)= !пх — х (х)0) имеет производную 1 4 >О при 0<х(1 х ! (О прн х)1, то функция эта возрастает, пока х изменяется в промежутке (0,1[, н убы- вает в промежутке [1,+со), Отсюда ясно, что у(!)= — 1 будет наиболь- шим значением функции, так что для х)0 1пх х — 1.
3) Рассмотрим еще функцию у(х)=х" — ах для х~0 (предполагая 0(а(1). Имеем [ )О при 0<х<1 1 (О прн х~1, н — аналогично 4) — заключим, что для х ~ 0 х" — ах 1 — а. (3) Полученное простое неравенство является источником для вывода ряда классическнк неравенств. В связи с этим полезно представить его еще и в других 4юрмах. ' а» Полагав х= —,, где а и Ь произвольные положительные числа, н обо- значая 1 — а через Ь, приведем (3) к виду а' ЬР <аа+РЬ (За) !а, Р, а, Р ) О, « + Р ГЬ 1, 1 й Иногда вводят числа й= — ) 1 н Ь'= — ) 1, так что й'= —.ЗамеЬ вЂ” 1. ' няя в предыдущем неравенстве а и Ь, соответственно через а" в Ьл, полу- чим аЬ<„— а + —,Ьм. а ! а' (Зб) !а,э~о;а,а ~й — + —, !1, 1 ! а а б) Прежде всего, неравенство (За) можно распространить на случай лю- бого числа перемножаемык степеней.
От двух к трем переход осуществляется так (с двукратным применеяием неравенства (За)): Р т !Р+т т а"ЬРст =па.(ЬР+т сР+т/ «за+(3+7). ЬР+тсач т < аа + (Р + у)~ — Ь+ — с~ = аз + РЬ+ !с, т (3+7 3+7 так что окончательно ааЬРст < аа + ЬЬ -[- ус. (а, Ь. а, а, Р, т ) О, а .!. Р .1- т П Аналогично можно было бы совершить и переход от и к и+1 и доказать— по метоту математической индукции — общее неравенство, которое (в измененнык обозначениях) имеет вид: ач ~атал...
ага < ра, + оа, +... + р ааа (ан °, ° «л, ш °... ча ~ о, сп + . + ел - !) й 1. ВэучвинВ хОдА иэмВиВиия Функции 275 Взамен 4! можно ввести произвольные числа р!)О, полагая о(= —, Р! ХР, так что сумма~В(=1. Неравенство напишется так: ! ! тв /арсара алл'т/ ~ Р!а! + Реле + ° ° ° + Риал (сч ° ° ° лл. Рь ° ° ° ° ° Ул ~ с! При Р! =Рт =...
=Рл=1 мы придем к известному неравенству л, а,+а,+...+ал )г агат ... ал « устанавливающему, что среднее геомеглрическое ряда «оложительных чисел не «релосходигл йх среднего арифметического. Таким образом, неравенство (4) является естественным обобщением этого классического утверждения. 7) Обратимся к доказательству, так называемого, неравенства Коши— Г е л ь д е р а (А. 1 Санс((у — О.
Нб!бег) ,Х --(1 "1' (Х'')"'. (лг, ь! ) о; ь. ь ~ 1, — + —, П ! 1 'в ь' К о ш и установил это неравенство для частного случая Ь = й' =21 (4) (4а) (5) л / л /л ,)„а!Ь! ~ ~( 1)'аэ ~/ 1! Ьэ. ! (5а) Предположим сначала, что ,'у',аз=') Ь,'=1, а! ( ~~ аь ~ ~ ~~~~ьь.'~' /«! / ! так что подлежащее доказательству неравенство примет вид Х'— аф! ~!. ! ! Положим в неравенстве (Зб) поочередно а =а(, Ь= Ь! (1=1,2,..., «) и просуммируем все полученные неравенства; учитывая условие (6), придем к требуемому результату. Общий случай приводитсв к рассмотренному частному, если взамем чисен аг, Ь! ввести чисаа 276 гл. щ.
исслвдовлник втнкции с помощью пноиаводных [134 лля которых уже выполняются условия типа (6). По доказанному л агЬ! ( 1, Х"- а зто равносильно (5). 8) Из неравенства К о щи — Г владе р а сразу получается еще одно важное неравенство, носящее имя Мин ковского (Н.М!охоч!ай!) л л ! л 1 ~ ~~! (а!+ Ь!)а [» = ( 1) а!а[а + ( ~~) Ьа~ (7) ! = ! !л, ат о, а ~ !! Очевидно, У (а; + Ь!)» = ~~~а; (а! + Ь!)а ' + ~ Ь! (а! + Ь!)" ' осли к каждой из последних двух сумм применить неравенство (5), то получим": Л л 1 л ! ~ (а!+Ь)" ~( ~)а!а~ ° ~ 1) (а!+Ь)!» !)а ~ + а-! а=! ! ! л ! л ! + 1 ~ Ьа 1" 1',Г (па+ Ь)!а-!! а[а' = а=! л ! л ! л ! = ( ~ ~~ а! ~ " + ~ ~~~ Ьа! ~" ~ ° ~ ~~~~~ (а! + Ь!)ь ~" г=! и, наконец сократив на последний множитель, придем к (7). Черт.
55 л Напомним, что — + —,=!! 1 1 134. Максимумы и минимумы; необходимые условия. Ясли функция у(х), определенная и непрерывная в промежутке [а, Ь), не является в нем монотон- У ной, то найдутся такие части [а, И промежутка [а, Ь), в которых на!)большее или наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т. е. между а и р.
На графике функции (черт. 55) г! а л л х таким промежуткам соответю-Х хл а ствуют характерные горбы или впадины. 1М) $1. изхчвнив хода изманвняя эвикции 277 ГовоРЯт, что фУнкЦил У(х) имеет в точке хь МаксимУм !или минимум)"', если вту точку можно окружить такой окрестностью (хь — 3, ха+6), содержащейся в промежутгуе, где задана функция, что для всех еей точен х выполняется неравенциво у(х) ( 7(хь) (или у(х) )~(хь)). Иными словами, точка х, доставляет функции Дх) максимум (минимум)„если значение у(хь) окавывается наибольшям (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности втой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки х,.
Если существует такая окрестность, в пределах которой (прн х ф хь) выполняется строгое нЕравенство у (х) с у(х ) (нли г (х) ~» г (х )), то говорят, что функция имеет в точке х, с об с т в е н н ы й максимум (минимум), в противном случае — несобственный. Если функция имеет максимумы в точках хь и х,, то, применяя к промежутку (х„х,) 2-ю теорему Вейерштрасса 1851, видим,'что наименьшего' своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке х< между хьи х, и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике — важнейшем) случае, кЬгда функция имеет вообще лишь конечное число- максимумов и минимумов, они попросту чередуются.
Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин — экстремум**. Поставим задачу 6 розысканин всех аначений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная. . Предположим сначала, что для функции у(х) в промежутке (а, д) существует конечная производная.
Если в точке х, функция имеет экстремум, то, применяя й промежутку (х, — д, х, + й), о котором была речь выше, теорему Ферма [1091, заключаем, чтоу«(хь)= =О: в этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю; такие точка будем называть стационарными ььь. Не следует думать, однзко, что каждая стационарная точка доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие не является достаточным. Мы задели, например, в !32,1)» ь По-латыни слова шахпяяш и ш1п!шчш означают <наибольшее» и <наименьшее» (значение).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
